Линеаризация степенной функции 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Линеаризация степенной функции



(72)

проводят путем логарифмирования обеих частей уравнения, получая уравнение вида:

(73)

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

(74)

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

(75)

Также можно использовать уравнения:

(76)

(77)

Рассчитав параметры , и составив линейное уравнение регрессии необходимо провести его потенцирование, чтобы вернуться к степенной функции.

(78)

Пример 13. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятиям сферы торговли. Рассчитать степенную функцию

Таблица 31.

  37,8 0,3
  38,0 0,5
  39,0 0,7
  37,5 0,8
  39,5 0,9
  36,8 1,1
  40,0 1,3
  40,1 1,6
  40,0 1,7
  39,0 2,2
  38,0 2,5
  41,0 2,6
  41,6 2,7
  41,0 3,0
  41,9 3,2

Решение. Для расчета параметров данной функции проведем ее линеаризацию, прологарифмировав обе части уравнения

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

В таблице 32 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 32

  37,80 0,30 1,577492 -0,522879 -0,824837 37,183851
  38,00 0,50 1,579784 -0,301030 -0,475562 37,910774
  39,00 0,70 1,591065 -0,154902 -0,246459 38,397333
  37,50 0,80 1,574031 -0,096910 -0,152539 38,592153
  39,50 0,90 1,596597 -0,045757 -0,073056 38,764817
  36,80 1,10 1,565848 0,041393 0,064815 39,060772
  40,00 1,30 1,602060 0,113943 0,182544 39,308870
  40,10 1,60 1,603144 0,204120 0,327234 39,619441
  40,00 1,70 1,602060 0,230449 0,369193 39,710581
  39,00 2,20 1,591065 0,342423 0,544817 40,100534
  38,00 2,50 1,579784 0,397940 0,628659 40,295293
  41,00 2,60 1,612784 0,414973 0,669262 40,355237
  41,60 2,70 1,619093 0,431364 0,698418 40,413002
  41,00 3,00 1,612784 0,477121 0,769493 40,574705
  41,90 3,20 1,622214 0,505150 0,819461 40,674075
Итого 591,20 25,10 23,929804 2,037398 3,301443 590,961438
В среднем     1,595320 0,135827 0,220096  
      0,089930    

 

Подставим полученные значения в уравнение

Выполним потенцирование полученного уравнения

Подставляя в полученное уравнение значение фактора , рассчитаем .

 

Линеаризация показательной функции

Показательная функция

(79)

также проводят путем логарифмирования обеих частей уравнения:

(80)

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

(81)

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

(82)

Также можно использовать уравнения:

(83)

(84)

Рассчитав параметры , и составив линейное уравнение регрессии необходимо провести его потенцирование, что бы вернуться к показательной функции.

(85)

Пример 14. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятиям сферы торговли. Рассчитать показательную функцию

Таблица 33

  37,8 0,3
  38,0 0,5
  39,0 0,7
  37,5 0,8
  39,5 0,9
  36,8 1,1
  40,0 1,3
  40,1 1,6
  40,0 1,7
  39,0 2,2
  38,0 2,5
  41,0 2,6
  41,6 2,7
  41,0 3,0
  41,9 3,2

Решение. Для расчета параметров данной функции проведем ее линеаризацию, прологарифмировав обе части уравнения

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

В таблице 34 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 34

  37,80 0,30 1,577492 0,473248 37,806262
  38,00 0,50 1,579784 0,789892 38,032035
  39,00 0,70 1,591065 1,113745 38,259157
  37,50 0,80 1,574031 1,259225 38,373226
  39,50 0,90 1,596597 1,436937 38,487635
  36,80 1,10 1,565848 1,722433 38,717477
  40,00 1,30 1,602060 2,082678 38,948692
  40,10 1,60 1,603144 2,565031 39,298106
  40,00 1,70 1,602060 2,723502 39,415272
  39,00 2,20 1,591065 3,500342 40,006365
  38,00 2,50 1,579784 3,949459 40,365268
  41,00 2,60 1,612784 4,193238 40,485616
  41,60 2,70 1,619093 4,371552 40,606323
  41,00 3,00 1,612784 4,838352 40,970608
  41,90 3,20 1,622214 5,191085 41,215278
Итого 591,20 25,10 23,929804 40,210718 590,987319
В среднем   1,673333 1,595320 2,680715  
  0,867289      

 

Получили линеаризованное уравнение

Произведем потенцирование линейного уравнения для возврата к показательной функции.

Подставим в полученное уравнение значения фактора , рассчитаем значения .



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-29; просмотров: 1922; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.195.23.152 (0.016 с.)