Расчет доверительного интервала для индивидуальных значений результативного признака

При построение доверительного интервала для индивидуальных значений результативного признака , в отличие от доверительного интервала для функции регрессии необходимо учитывать вариацию вокруг линии регрессии. В результате стандартная ошибка индивидуальных значений при равна

(107)

Доверительный интервал примет вид:

(108)

где

- предельная ошибка

(109)

Точность интервала рассчитывают как отношение максимального значения интервала к минимальному значению

(110)

Чем меньше отношение, тем меньше интервал, то есть он более точен.

 

Расчет доверительных интервалов для параметров уравнения регрессии

Для свободного члена уравнения регрессии доверительный интервал имеет вид:

(111)

Где

- предельная ошибка

(112)

- стандартная ошибка

(55)

Для коэффициента регрессии доверительный интервал имеет вид:

(113)

где

- предельная ошибка

(114)

- стандартная ошибка

(52)

Пример 20. По данным примера 7 и примера 9, необходимо:

1. провести прогнозирование на основе парной линейной модели регрессии для индивидуального значения результативного признака при .

2. рассчитать доверительные интервалы для

а) функции регрессии

б) индивидуального прогнозного значения , при

в) свободно члена уравнения регрессии

г) коэффициента регрессии

Решение.

1) Рассчитаем прогнозное значение результативного признака, подставив индивидуальное значение фактора в линейное уравнение регрессии

2) Рассчитаем доверительные интервалы

a) Доверительный интервал прогноза для функции регрессии рассчитаем как:

 

Где:

Для расчетов используем таблицу 39.

табличное значение критерия Стьюдента для числа степеней свободы и определенного уровня значимости .

Доверительный интервал прогноза показывает, что с вероятностью прогнозное значение средней прибыли по совокупности предприятий для конкретного значения фактора будет находиться в интервале от 36,35258 до 40,05834, не принимая нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми.

Таблица 39

№
	37,80	0,30	0,09	37,792344	1,886044	0,000059
	38,00	0,50	0,25	38,028410	1,376710	0,000807
	39,00	0,70	0,49	38,264476	0,947377	0,540996
	37,50	0,80	0,64	38,382510	0,762711	0,778824
	39,50	0,90	0,81	38,500543	0,598044	0,998914
	36,80	1,10	1,21	38,736609	0,328711	3,750454
	40,00	1,30	1,69	38,972676	0,139378	1,055395
	40,10	1,60	2,56	39,326775	0,005378	0,597877
	40,00	1,70	2,89	39,444808	0,000711	0,308238
	39,00	2,20	4,84	40,034974	0,277378	1,071171
	38,00	2,50	6,25	40,389074	0,683378	5,707675
	41,00	2,60	6,76	40,507107	0,858712	0,242944
	41,60	2,70	7,29	40,625140	1,054045	0,950352
	41,00	3,00	9,00	40,979240	1,760045	0,000431
	41,90	3,20	10,24	41,215306	2,330712	0,468806
Итого	591,20	25,10	55,01	591,199992	13,009333	16,472942
В среднем		1,673333

 

б) Рассчитаем доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения , при

Доверительный интервал примет вид:

Доверительный интервал прогноза показывает, что с вероятностью прогнозное значение индивидуальной средней прибыли для конкретного значения фактора будет находиться в интервале от 35,148114 до 41,262806, не принимая нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми.

в) Рассчитаем доверительный интервал для свободного члена уравнения .

где

Доверительный интервал прогноза показывает, что с вероятностью значение параметра находится в интервале от 36,147123 до 38,729365, не принимая нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми.

г) Для коэффициента регрессии доверительный интервал имеет вид:

где

Доверительный интервал показывает, что с вероятностью прогнозное значение будет находиться в интервале от 0,505907 до 0,674425, не принимая нулевых значений, т.е. является статистически значимым.

Контрольные вопросы

 

1. Что такое корреляция?

2. Что такое регрессия?

3. Какая корреляция, регрессия называется парной?

4. Какая корреляция, регрессия называется множественной?

5. Что такое линейная корреляция, регрессия? Какой функцией она выражена?

6. Что такое нелинейная корреляция, регрессия? Какой функцией она выражена?

7. Какие методы используют для определения вида функции в парной регрессии?

8. Какой вид имеет модель парной линейной регрессии?

9. Какой вид имеет модель множественной линейной регрессии?

10. Каким требованиям должен отвечать фактор в модели парной регрессии?

11. Приведите уравнение парной линейной регрессии.

12. Что такое случайная величина в модели парной линейной регрессии?

13. Какой метод позволяет минимизировать сумму квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических?

14. Приведите систему уравнений для расчета параметров парной линейной регрессии.

15. Приведите готовые уравнения для расчета параметров парной линейной регрессии.

16. Что такое свободный член уравнения? Каков его экономический смысл?

17. Что показывает коэффициент парной линейной регрессии?

18. Какой вид имеет корреляционная таблица, и для чего она используется?

19. Что показывает график «корреляционное поле»?

20. Приведите формулы расчета линейного коэффициента парной корреляции.

21. В каком интервале могут принимать значения линейного коэффициента парной корреляции?

22. Приведите формулу расчета линейного коэффициента парной детерминации, что он показывает?

23. Какой критерий позволяет определить существенность уравнения парной линейной регрессии?

24. Приведите формулу расчета фактического критерия Фишера (F-критерия) для парной линейной модели.

25. В каком случае уравнение парной линейной регрессии признается статистически значимым?

26. Какой критерий позволяет определить существенность параметров уравнения и коэффициента корреляции ?

27. Приведите формулы расчета критерия Стьюдента (t-критерия) для параметров уравнения и коэффициента корреляции , в случае парной линейной модели.

28. В каком случае параметры уравнения и коэффициент корреляции уравнения парной линейной регрессии признаются статистически значимыми?

29. Какие функции относятся к нелинейным относительно включенного в модель фактора (независимой переменной), но линейным относительно результата (зависимой переменной)?

30. Какие функции относятся к нелинейным относительно включенного в модель результата, но линейным относительно фактора?

31. Что такое линеаризация нелинейных функций, ее цель?

32. Как проводится линеаризация полиномов разных степеней?

33. Как проводится линеаризация равносторонней гиперболы?

34. Как проводится линеаризация степенной функции?

35. Как проводится линеаризация показательной функции?

36. Что показывает коэффициент средней эластичности?

37. Приведите формулу расчета коэффициента средней эластичности для линейной функции.

38. Приведите формулу расчета коэффициента средней эластичности для функции параболы второго порядка.

39. Приведите формулу расчета коэффициента средней эластичности для функции равносторонней гиперболы.

40. Приведите формулу расчета коэффициента средней эластичности для степенной функции.

41. Приведите формулу расчета коэффициента средней эластичности для показательной функции.

42. Какой показатель характеризует силу связи в нелинейных моделях?

43. Приведите формулу расчета индекса корреляции для парной нелинейной модели.

44. В каком интервале может принимать значение индекс корреляции?

45. Что показывает индекс детерминации для парной нелинейной модели?

46. Приведите формулу расчета индекса детерминации для парной нелинейной модели.

47. Какой критерий позволяет определить существенность уравнения парной нелинейной регрессии?

48. Приведите общую формулу расчета фактического критерия Фишера для парной нелинейной модели?

49. Приведите формулу расчета фактического критерия Фишера для степенной и показательной функций.

50. Приведите формулу расчета фактического критерия Фишера для второго порядка .

51. Приведите формулу расчета фактического критерия Фишера для параболы третьего порядка .

52. В каком случае уравнение парной нелинейной регрессии признается статистически значимым?

53. Что позволяет оценить средняя ошибка аппроксимации?

54. Приведите формулу расчета средней ошибки аппроксимации.

55. Чему равен допустимый предел средней ошибки аппроксимации?

56. Какой вид имеет доверительный интервал для уравнения регрессии ?

57. Приведите формулу расчета стандартной ошибки для уравнения регрессии .

58. Приведите формулу расчета доверительного интервала для уравнения регрессии .

59. Какой вид имеет формула доверительного интервала для индивидуальных значений результативного признака ?

60. Приведите формулу расчета стандартной ошибки для индивидуальных значений результативного признака .

61. Приведите формулу расчета доверительного интервала для индивидуальных значений результативного признака .

62. Какой вид имеет формула доверительного интервала для свободного члена уравнения регрессии ?

63. Приведите формулу расчета стандартной ошибки для свободного члена уравнения регрессии .

64. Приведите формулу расчета доверительного интервала для свободного члена уравнения регрессии .

65. Какой вид имеет формула расчета доверительного интервала для коэффициента регрессии ?

66. Приведите формулу расчета стандартной ошибки для коэффициента регрессии .

67. Приведите формулу расчета доверительного интервала для коэффициента регрессии .

Вопросы к тестам

1. Корреляция – это:

а) функция, позволяющая по величине одного корреляционно связанного признака вычислять средние значения другого;

б) взаимосвязь между признаками, заключается в изменении средней величины результативного признака в зависимости от значения фактора (факторов);

в) функция, позволяющая по величине одного функционально связанного признака вычислять средние значения другого.

 

2. Регрессия – это:

а) функция, позволяющая по величине одного корреляционно связанного признака вычислять средние значения другого;

б) взаимосвязь между признаками, заключается в изменении средней величины результативного признака в зависимости от значения фактора (факторов);

в) функция, позволяющая по величине одного функционально связанного признака вычислять средние значения другого.

 

3. Корреляция, регрессия парная это:

а) взаимосвязь между несколькими признаками, один из которых является результативным признаком , другие факторными признаками ;

б) корреляция, регрессия между двумя признаками: результативным и факторным ;

в) функция, позволяющая по величине одного функционально связанного признака вычислять средние значения другого.

 

4. Корреляция, регрессия множественная это:

а) взаимосвязь между несколькими признаками, один из которых является результативным признаком , другие факторными признаками ;

б) корреляция, регрессия между двумя признаками: результативным и факторным ;

в) корреляция, регрессия между двумя функционально связанными признаками: результативным и факторным .

 

5. Модель парной регрессии имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

6. Модель множественной регрессии имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

7. Фактор, который будет использован в парной модели, должен отвечать следующим требованиям:

а) его влияние на результат можно пренебречь;

б) он должен находиться в функциональной зависимости с результатом;

в) его влияние на результат должно быть таким, что влиянием всех остальных факторов можно пренебречь.

 

8. В парной регрессии используются следующие виды функций:

а) все за исключением линейной;

б) все за исключением нелинейной;

в) линейная и нелинейные.

 

9. Выбор функции в модели парной регрессии может быть осуществлен следующими методами:

а) графический метод, аналитический и экспериментальный;

б) только аналитический метод;

в) только экспериментальный.

 

10. Графический метод выбора функции в модель парной регрессии:

а) опирается на изучение природы взаимосвязи между исследуемыми явлениями;

б) функция подбирается экспериментально через анализ качества побора функции, путем сравнения остаточной дисперсии рассчитанной для разных моделей;

в) заключается в построении и исследовании графика «корреляционное поле», на основании которого делается вывод о виде функции описывающей взаимосвязь между явлениями.

 

11. Аналитический метод выбора функции в модель парной регрессии:

а) опирается на изучение природы взаимосвязи между исследуемыми явлениями;

б) функция подбирается экспериментально через анализ качества побора функции, путем сравнения остаточной дисперсии рассчитанной для разных моделей;

в) заключается в построение и исследование графика «корреляционное поле», на основании которого делается вывод о виде функции описывающей взаимосвязь между явлениями.

 

12. Экспериментальный метод выбора функции в модель парной регрессии:

а) опирается на изучение природы взаимосвязи между исследуемыми явлениями;

б) функция подбирается экспериментально через анализ качества побора функции, путем сравнения остаточной дисперсии рассчитанной для разных моделей;

в) заключается в построение и исследование графика «корреляционное поле», на основании которого делается вывод о виде функции описывающей взаимосвязь между явлениями.

 

13. Расчет парной линейной регрессионной модели заключается в нахождении уравнения вида:

а) ;

б) ;

в) .

 

14. Величина в линейном уравнении регрессии это:

а) случайная величина (возмущение, шум). Показывает влияние не учтенных в модели факторов, а также случайных ошибок;

б) коэффициент регрессии. Показывает, на сколько единиц, в среднем изменится результативный признак, если факторный признак увеличится на одну единицу;

в) это теоретическое значение результативного признака при и только в этом случае имеет экономический смысл, если данный параметр экономического смысла не имеет.

 

15. Параметр в линейном уравнении регрессии это:

а) случайная величина (возмущение, шум). Показывает влияние не учтенных в модели факторов, а также случайных ошибок;

б) коэффициент регрессии. Показывает, на сколько единиц, в среднем изменится результативный признак, если факторный признак увеличится на одну единицу;

в) это свободный член уравнения регрессии, теоретическое значение результативного признака при и только в этом случае имеет экономический смысл, если данный параметр экономического смысла не имеет.

 

16. Параметр в линейном уравнении регрессии это:

а) случайная величина (возмущение, шум). Показывает влияние не учтенных в модели факторов, а также случайных ошибок;

б) коэффициент регрессии. Показывает, на сколько единиц, в среднем изменится результативный признак, если факторный признак увеличится на одну единицу;

в) это свободный член уравнения регрессии, теоретическое значение результативного признака при и только в этом случае имеет экономический смысл, если данный параметр экономического смысла не имеет.

17. МНК для расчета параметров уравнения регрессии дает систему уравнений:

а) ;

б) ;

в) .

 

18. Для расчета параметров функции регрессии используют готовые уравнения:

а) и ;

б) и ;

в) и ;.

 

19. Корреляционная таблица это:

а) таблица, в которой записываются частоты сочетаний результативного и факторного показателей;

б) таблица, в которой записываются частоты отношений результативного и факторного показателей;

в) таблица, в которой записываются частоты произведений результативного и факторного показателей.

 

20. Корреляционное поле это:

а) столбиковая диаграмма, характеризующая единицу наблюдения по одному признаку;

б) точечный график, характеризующий единицу наблюдения по двум точкам;

в) точечный график, характеризующий единицу наблюдения по двум признакам.

 

21. Интенсивность связи между двумя признаками, в случае линейной модели, показывает:

а) линейный коэффициент парной корреляции;

б) линейный график «корреляционное поле»;

в) линейная корреляционная таблица.

 

22. Линейный коэффициент парной корреляции рассчитывается по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

23. Линейный коэффициент парной корреляции может принимать значения в интервале:

а) от 0 до 1;

б) от -1 до +1;

в) от -∞ до +∞.

 

24. Часть вариации результативного признака, которая сложилась под влиянием включенного в парную модель фактора, показывает:

а) линейный коэффициент парной корреляции;

б) линейный график «корреляционное поле»;

в) линейный коэффициент парной детерминации.

 

25. Линейный коэффициент парной детерминации рассчитывают:

а) извлекая квадратный корень из линейного коэффициента парной корреляции;

б) ;

в) .

 

26. Линейный коэффициент парной детерминации может принимать значения в интервале:

а) от 0 до 1;

б) от -1 до +1;

в) от-∞ до +∞.

 

27. Оценка существенности уравнения парной линейной регрессии в целом проводится с помощью:

а) критерия Фишера;

б) критерия Боэля-Мориота;

в) критерия Стьюдента.

 

28. Фактическая величина F-критерия для парной линейной регрессии рассчитывается по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

 

29. Уравнение парной линейной регрессии признается статистически значимым если:

а) фактическое значение F-критерия меньше табличного;

б) фактическое значение F-критерия меньше табличного не менее чем в 2 раза;

в) фактическое значение F-критерия больше табличного.

 

30. Значимость параметров уравнения линейной регрессии и коэффициента корреляции проверяют при помощи:

а) критерия Тичера;

б) критерия Боэля-Мориота;

в) критерия Стьюдента.

 

31. Критерий Стьюдента для коэффициента регрессии рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

32. Критерий Стьюдента для параметра рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

33. Критерий Стьюдента для параметра рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) или .

 

34. Параметры уравнения и коэффициент корреляции при парной линейной регрессии признаются статистически значимыми если:

а) фактическое значение t-критерия больше табличного;

б) фактическое значение t-критерия меньше табличного не менее чем в 2 раза;

в) фактическое значение t-критерия меньше табличного.

 

35. Регрессиями нелинейными относительно включенного в модель факторного признака, но линейными относительно результативного признака являются:

а) степенная;

б) показательная;

в) полиномы разных степеней;

 

36. Регрессиями нелинейными относительно включенного в модель результативного признака, но линейными относительно факторного признака являются:

а) степенная;

б) равносторонняя гипербола;

в) полиномы разных степеней.

 

37. Формула расчета параболы второго порядка имеет вид:

а) ;

б) ;

в)

 

38. Формула расчета равносторонней гиперболы имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

 

39. Формула расчета степенной функции имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

 

40. Формула расчета показательной функции имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

 

41. Формула расчета экспоненциальной функции имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

 

42. Линеаризацию регрессии параболы второго порядка проводят заменяя переменные:

а) ;

б) ;

в) ;

 

43. Линеаризацию степенной функции проводят логарифмированием:

а) ;

б) ;

в) ;

 

44. Линеаризацию показательной функции проводят логарифмированием:

а) ;

б) ;

в) ;

 

45. Коэффициент средней эластичности показывает:

а) на сколько единиц изменится величина результативного признака, если величина включенного в модель фактора увеличится на один процент;

б) на сколько процентов изменится величина результативного признака, если величина включенного в модель фактора увеличится на одну единицу;

в) на сколько процентов изменится величина результативного признака, если величина включенного в модель фактора увеличится на один процент.

 

46. Коэффициент средней эластичности для парной линейной регрессии рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

47. Коэффициент средней эластичности для уравнения регрессии параболы второго порядка рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

48. Коэффициент средней эластичности для уравнения регрессии равносторонней гиперболы рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

49. Коэффициент средней эластичности для уравнения степенной регрессии рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

50. Коэффициент средней эластичности для уравнения показательной регрессии рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

51. Индекс парной нелинейной корреляции показывает:

а) тесноту взаимосвязи между результативным и факторным показателями;

б) направление взаимосвязи между результативным и факторным показателями;

в) направление взаимосвязи между факторным и результативным показателями.

52. Индекс парной нелинейной корреляции может принимать значения в интервале:

а) от 0 до 1;

б) от -1 до +1;

в) от-∞ до +∞.

 

53. Индекс парной нелинейной корреляции рассчитывается по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

 

54. Индекс парной нелинейной детерминации показывает:

а) тесноту взаимосвязи между результативным и факторным показателями;

б) направление взаимосвязи между результативным и факторным показателями;

в) долю вариации результативного признака, обусловленную влиянием включенного в модель фактора.

 

55. Индекс парной нелинейной детерминации рассчитывается по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

 

56. Оценка существенности уравнения парной нелинейной регрессии в целом проводится с помощью:

а) критерия Боэля-Мориота;

б) критерия Фишера;

в) критерия Стьюдента.

 

57. Общая формула фактической величины F-критерия для парной нелинейной регрессии рассчитывается по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

 

58. Уравнение парной нелинейной регрессии признается статистически значимым если:

а) фактическое значение F-критерия меньше табличного;

б) фактическое значение F-критерия меньше табличного не менее чем в 2 раза;

в) фактическое значение F-критерия больше табличного.

 

59. Расчет величины фактического значения F-критерия для степенной и показательной функций регрессии производится по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

 

60. Расчет величины фактического значения F-критерия для функции регрессии параболы второго порядка производится по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

 

61. Значимость параметров нелинейной функции регрессии и индекса корреляции проверяют при помощи:

а) критерия Тичера;

б) критерия Боэля-Мориота;

в) критерия Стьюдента.

 

62. Для расчета средней ошибки аппроксимации используют формулу:

а) ;

б) ;

в) .

 

63. Доверительный интервал для уравнения регрессии имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

64. Стандартное отклонение для расчета предельной ошибки рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .