Тема 1. Элементы линейной алгебры

МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания

для студентов первого курса заочной формы обучения

 

 

 

Смоленск - 2016

ВВЕДЕНИЕ

Одним из видов самостоятельной учебной работы студентов является выполнение контрольной работы. Система контрольных заданий активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса математики. Выполнение этих заданий необходимо для закрепления теоретических знаний и приобретения практических навыков решения типовых задач.

Настоящие методические указания предназначены для студентов-заочников и охватывают материал разделов курса высшей математики: «Элементы линейной алгебры», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве», «Введение в анализ», «Производная и дифференциал», «Приложения производной», «Интегральное исчисление», «Ряды».

Методические указания содержат образцы решения некоторых задач, вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельного решения, что позволяет студентам-заочникам проверить уровень своей подготовленности по каждой теме общего курса высшей математики.

 

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий.

Если в процессе изучения материала или при решении задач у студента возникают трудности, то можно обратиться к преподавателю для получения устной или письменной консультации.

После изучения определенной темы по учебнику, решения задач, необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы.

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тетради, титульный лист, который оформляется согласно образцу (приложение А).

2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.

3. Решение задач следует излагать подробно.

4. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.

5. Контрольные работы должны выполняться студентом-заочником самостоятельно! Несамостоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по изучаемой теме.

Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, а именно, студент не сможет ответить на вопросы преподавателя по решению задач контрольной работы, то она не будет зачтена.

6. Получив от преподавателя прорецензированную работу (как зачтенную, так и незачтённую), студент должен исправить все отмеченные ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

1. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики [Текст]: учебно-справочное пособие / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2014. - 724 с. - (Бакалавр). - ISBN 978-5-9916-3680-3:

2. Высшая математика [Текст]: учеб. пособие / В.И. Малыхин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2012. - 365 с. - (Высшее образование). - ISBN 978-5-16-002625-1: 380.

3. Высшая математика для экономистов: учебник (под редакцией Н.Ш. Кремера,-3-е изд. –М.: ЮНИТИ, 2010. -480 с.

 

Дополнительная литература:

1. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учебно-справочное пособие (Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин.-М.: Высшее образование, 2007. – 647 с.

2. Справочник по математике для экономистов (учебное пособие под редакцией Ермакова В.И.) – М.: ИНФРА, 2009. – 256 с

 

 

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

 

Тема 3. Введение в анализ

 

Разберите решение задачи 4 данного пособия.

 

Задача 4. Вычислить пределы:

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

Решение:

а) Подставим предельное значение аргумента в функцию, стоящую под знаком предела, получим:

.

б) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (x+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (x+3) отличен от нуля при :

.

в) Очевидно, что имеет место неопределенность .

Для ее раскрытия предлагается числитель и знаменатель разделить на x в наивысшей степени (в нашем случае наивысшая степень x равна трем) и после сокращения применить свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, получим:

г) При выражение дает неопределенность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на , получим неопределенность которую можно раскрыть как в предыдущем примере:

д) Обозначим . Тогда и и при . Применяя свойство пределов и формулу первого замечательного предела

имеем:

е) При выражение является неопределенностью вида . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при величины и применим формулу второго замечательного предела:

.

Тогда имеем:

.

Пусть . Тогда и при . Переходя к переменной y, получим:

 

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение понятия функции.

2. Что называется областью определения функции? Областью значений функции?

3. Перечислите основные элементарные функции. Назовите их основные свойства.

4. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры?

5. Что называется пределом числовой последовательности?

6. Сформулируйте определение предела функции.

7. Назовите основные свойства пределов функции.

8. Какая функция называется бесконечно малой? Бесконечно большой?

9. Назовите свойства бесконечно малых функций.

10. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

11. Какие логарифмы называются натуральными?

12. Дайте определение односторонних пределов функции в точке.

13. Какая функция называется непрерывной в точке?

14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? Второго рода?

15. Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.

 

 

Тема 7. Ряды

 

Разберите решение задачи 8 данного пособия.

 

Задача 8. Написать первые три члена ряда

найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение:

Беря последовательно , запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При данный ряд принимает вид

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов, этот ряд сходится. Значит, принадлежит области сходимости данного ряда.

Пусть . Тогда заданный ряд примет вид

Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при исходный ряд сходится.

Таким образом, – область сходимости данного ряда.

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется n-ой частичной суммой числового ряда?

3. Какой числовой ряд называется сходящимся?

4. Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

5. Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

6. Назовите признак Даламбера сходимости рядов.

7. В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

8. Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

9. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

10. Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? Условно сходящимися?

11. Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

12. Как найти область сходимости степенного ряда?

 

Контрольная работа

по дисциплине _______________________________________________

на тему: ______________________________________________________

 

_________________________________________________________________

Выполнил студент___________группы

______________________________

(Ф.И.О.)

______________________________

(подпись)

Проверил:________________________

(должность, ученая степень)

 

__________________________

(Ф.И.О.)

__________________________

(Оценка)

__________________________

(подпись)

__________________________

(Дата)

Регистрационный номер__________

_______________________________

 

Смоленск

Г.

МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания

для студентов первого курса заочной формы обучения

 

 

 

Смоленск - 2016

ВВЕДЕНИЕ

Одним из видов самостоятельной учебной работы студентов является выполнение контрольной работы. Система контрольных заданий активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса математики. Выполнение этих заданий необходимо для закрепления теоретических знаний и приобретения практических навыков решения типовых задач.

Настоящие методические указания предназначены для студентов-заочников и охватывают материал разделов курса высшей математики: «Элементы линейной алгебры», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве», «Введение в анализ», «Производная и дифференциал», «Приложения производной», «Интегральное исчисление», «Ряды».

Методические указания содержат образцы решения некоторых задач, вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельного решения, что позволяет студентам-заочникам проверить уровень своей подготовленности по каждой теме общего курса высшей математики.

 

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий.

Если в процессе изучения материала или при решении задач у студента возникают трудности, то можно обратиться к преподавателю для получения устной или письменной консультации.

После изучения определенной темы по учебнику, решения задач, необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы.

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тетради, титульный лист, который оформляется согласно образцу (приложение А).

2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.

3. Решение задач следует излагать подробно.

4. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.

5. Контрольные работы должны выполняться студентом-заочником самостоятельно! Несамостоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по изучаемой теме.

Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, а именно, студент не сможет ответить на вопросы преподавателя по решению задач контрольной работы, то она не будет зачтена.

6. Получив от преподавателя прорецензированную работу (как зачтенную, так и незачтённую), студент должен исправить все отмеченные ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

1. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики [Текст]: учебно-справочное пособие / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2014. - 724 с. - (Бакалавр). - ISBN 978-5-9916-3680-3:

2. Высшая математика [Текст]: учеб. пособие / В.И. Малыхин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2012. - 365 с. - (Высшее образование). - ISBN 978-5-16-002625-1: 380.

3. Высшая математика для экономистов: учебник (под редакцией Н.Ш. Кремера,-3-е изд. –М.: ЮНИТИ, 2010. -480 с.

 

Дополнительная литература:

1. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учебно-справочное пособие (Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин.-М.: Высшее образование, 2007. – 647 с.

2. Справочник по математике для экономистов (учебное пособие под редакцией Ермакова В.И.) – М.: ИНФРА, 2009. – 256 с

 

 

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

 

Тема 1. Элементы линейной алгебры

 

Разберите решения задач 1 и 2 данного пособия.

Задача 1. Даны матрицы А и В:

а) найти произведение матриц А и В;

б) вычислить определитель матрицы А;

в) записать транспонированную матрицу А^Т;

г) показать, что след матрицы А равен следу матрицы А^Т.

,

 

Решение:

 

а) найти произведение матриц А и В, если

 

Произведением матрицы на матрицу называется такая матрица , что

Главным свойством этой операции является то, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Чтобы получить элемент, стоящий в i-той строке и j-том столбце матрицы – произведения, нужно элементы i-той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-того столбца второй матрицы и произведения сложить. Далее перебираем все столбцы второй матрицы и все строки первой матрицы.

б) вычислить определитель матрицы А

Определителем или детерминантом квадратной матрицы А порядка n называется число, вычисляемое по определенному правилу по элементам матрицы. Определитель матрицы А порядка n обозначается через или D_n.

 

Определитель матрицы 3-го порядка вычисляется по правилу:

Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы есть произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Каждому произведению приписывается знак. Для того, чтобы запомнить, какие произведения берут со знаком плюс, какие со знаком минус, полезно правило треугольников, схематически изображенное на схеме метода.

Справедлива теорема позволяющая вычислить определитель матрицы любого порядка:

Теорема. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Найдем определитель матрицы

Это определитель четвертого порядка (матрица содержит 4 строки и 4 столбца). Вычислим его разложением по элементам строк или столбцов. Рациональнее находить значение определителя разложением по элементам 3-ей строки или 1-го столбца, т.к. наличие нуля в определителе уменьшает вычисления. Используем разложение определителя по элементам 3-ей строки, получим определители 3-его порядка, которые вычислим по правилу треугольников:

в) записать транспонированную матрицу А^Т

Матрица , полученная из матрицы путем замены строк на столбцы, называется транспонированной к матрице А и обозначается А^Т.

Если матрица А имеет вид то транспонированная к ней матрица .

 

г) показать, что след матрицы А равен следу матрицы А^Т

Следом квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов. След обозначается trA.

,

 

 

Задача 2. Решить методом Гаусса систему уравнений.

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы, и с помощью элементарных преобразований приведем эту матрицу к ступенчатому виду:

Пояснения к преобразованиям:

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:

Результат записываем в третью строку:

Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО:

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2:

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

 

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым: .

Ответ: .

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго и третьего порядка.

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Напишите формулу Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса?

6. Что называется матрицей?

7. Как определяются действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению данной матрицы? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформулируйте теорему Кронекера-Капели?

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений?

12. В чем заключается суть метода Гаусса решения системы линейных уравнений?

13. Какова геометрическая интерпретация системы линейных уравнений и неравенств?