Тема 5. Приложения производной

 

Разберите решение задачи 6 данного пособия.

 

Задача 6. Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение:

Исследование функции проведем по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и ее точки перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

1. Функция определена при всех значениях аргумента x, кроме x=1.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах и . В точке x=1 функция терпит разрыв второго рода.

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств f(-x)=f(x) (тогда f(x) – четная функция) или f(-x)=-f(x) (тогда f(x) – нечетная функция) для любых x и –x из области определения функции:

следовательно, f(-x) f(x) и f(-x) -f(x), т.е. данная функция не является ни четной ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

Производная при x=0 и - не существует при x=1. Тем самым имеем две критические точки: . Но точка не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 3): .

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку x=0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, точка А(0; -1) – точка минимума функции.

Рис. 3

На рис. 3 знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной , а стрелками – возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

Вторая производная равна нулю () при и - не существует при x=1. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 4): . На правом интервале вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах , тем самым график является вогнутым. При переходе через точку меняет свой знак, поэтому - абсцисса точки перегиба.

Следовательно, - точка перегиба графика функции.

Рис. 4

6. x=1 – точка разрыва функции, причем

Поэтому прямая x=1 является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:

Тогда

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя.

Значит, прямая y=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 5.

Рис. 5

 

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теоремы Роля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

2. Какая функция называется возрастающей? Убывающей?

3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания и убывания функции.

4. Какие точки называются стационарными? Критическими?

5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

6. Какая кривая называется выпуклой? Вогнутой?

7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?

8. Сформулируйте достаточный признак существования точек перегиба кривой.

9. Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?

10. Назовите схему исследования функции и построения ее графика.

11. В каком случае применяется правило Лопиталя при вычислении пределов?