Тема 6. Интегральное исчисление

 

Разберите решение задачи 7 данного пособия.

 

Задача 7. Найти интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение:

 

а) В этом интеграле сделаем замену переменной

Возвращаясь к исходной переменной, окончательно имеем:

б) В этом случае необходимо применить формулу интегрирования по частям:

Применение формулы интегрирования по частям, даст возможность понизить показатель степени степенной функции.

в) Запишем подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, имеем

или после приведения выражения правой части к общему знаменателю:

Полученное равенство выполняется тождественно (т.е. при любых значениях переменной x), только если

Приравняем коэффициенты при переменных в левой и в правой части равенства, получим

Используя найденное представление для подынтегральной функции, имеем:

 

Вопросы для самопроверки

1. Понятие неопределенного интеграла.

2. Первообразная функция.

3. Основные свойства неопределенного интеграла.

4. Таблица основных формул интегрирования.

5. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента.

6. Свойства неопределенного интеграла.

7. Основные методы интегрирования.

8. Непосредственное интегрирование.

9. Метод разложения.

10. Метод замены переменной.

11. Метод интегрирования по частям.

12. Интегрирование рациональных дробей и тригонометрических функций.

13. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

 

 

Тема 7. Ряды

 

Разберите решение задачи 8 данного пособия.

 

Задача 8. Написать первые три члена ряда

найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение:

Беря последовательно , запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При данный ряд принимает вид

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов, этот ряд сходится. Значит, принадлежит области сходимости данного ряда.

Пусть . Тогда заданный ряд примет вид

Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при исходный ряд сходится.

Таким образом, – область сходимости данного ряда.

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется n-ой частичной суммой числового ряда?

3. Какой числовой ряд называется сходящимся?

4. Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

5. Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

6. Назовите признак Даламбера сходимости рядов.

7. В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

8. Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

9. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

10. Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? Условно сходящимися?

11. Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

12. Как найти область сходимости степенного ряда?