Глава 2. Поступательное и вращательное движения твердого тела

ГЛАВА 2. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

В первой главе мы изучили кинематику точки - то есть движение объекта, который не имеет ни формы, ни размеров, и не был связан с телами конечных размеров. Переходим к кинематике твердого тела, то есть к изучению различных видов движения твердых тел. Изучив движение тела, всегда будем переходить к определению кинематических характеристик движения отдельных точек этого тела.

Поступательное движение твердого тела

 

2.1. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая АВ, мысленно проведенная в этом теле, движется, оставаясь параллельной своему начальному направлению (рис.2.1).

Классическим примером тела, совершающего поступательное движение, является спарник паровоза. На фото 1 спарники показаны стрелками. Они параллельны рельсам. На рис. 2.2. спарник схематично изображен стержнем CD. Спарник блокирует колеса тепловоза и при вращении колес остается параллельным самому себе, то есть движется поступательно. Точки спарника С и D, равно как и все другие точки спарника, описывают одинаковые по форме траектории в виде циклоиды.

Фото 1

 

Еще одним примером поступательного движения является движение кабин «колес обозрения». Принципиальная схема движения всех, даже самых знаменитых колес обозрения Мира, одинакова. На фото 2 показано детское колесо обозрения, которое приводится в движение людьми. На фотографии четко видна параллельность всех сидений в разных их положениях. Само колесо вращается, а сидения для детей движутся поступательно.

Фото 2

2.2. Основная теорема поступательного движения. При поступательном движении все точки тела описывают тождественные параллельные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые векторы скорости и ускорения , . А и В – две произвольные точки тела (рис.2.3).

Примечание: Две кривые называются тождественными, если они совпадают при наложении. Совпадающие точки тождественных кривых называются соответствующими. Две тождественные кривые называются параллельными, если касательные к ним, проведенные в соответствующих точках, параллельны.

Доказательство: Рассмотрим поступательное движение твердого тела в некоторой неподвижной системе отсчета (рис.2.3). На теле выберем две произвольные точки и . Эти точки вместе с телом совершают движение. Законы движения этих точек зададим векторным способом: . В точке с телом жестко свяжем подвижную систему координат , оси которой параллельны осям неподвижной системы координат . Система координат вместе с телом будет совершать поступательное движение. Положение точки в подвижной системе координат определяется радиус – вектором . Вектор - постоянный вектор, так как длина его постоянна в силу принятой гипотезы об абсолютно твердом теле, а направление его в пространстве не изменяется в силу поступательности движения, совершаемого телом. Тогда, применяя правило треугольника для сложения векторов, получаем (см. рис. 2.3а):

()

 

Продифференцируем по времени равенство (). С учетом (так как = ), получаем:

.

Последнее равенство с учетом (1.13) можем записать:

 

.

 

Другими словами, векторы скоростей двух произвольных точек тела, совершающего поступательное движение, равны. Следовательно, векторы скоростей всех точек тела равны.

Чтобы доказать равенство векторов полных ускорений точек, продифференцируем еще раз равенство . Будем иметь:

.

C учетом формулы (1.15) получим:

.

Следовательно, в силу произвольности выбора точек и , векторы полных ускорений всех точек тела тоже равны.

Тождественность траекторий точек и тела следует из того, что эти траектории, при необходимости, можно получить одну из другой параллельным смещением одной из них на величину . Следовательно, в силу произвольности выбора точек и , можно утверждать, что и траектории всех точек тела тождественны и параллельны. Теорема доказана.

 

Рисунок 2.4 иллюстрирует качественную картину расположения векторов скоростей и ускорений трех точек твердого тела (само тело не показано – оно может иметь произвольную форму и размеры), совершающего в некоторый момент времени поступательное движение. Из теоремы, в частности, следует, что одинаковыми по величине и параллельными оказываются и векторы касательных и нормальных ускорений различных точек тела, так как вектор полного ускорения , а траектории точек тождественны и параллельны.

 

Вокруг неподвижной оси

Вращательное движение (вращение) вообще - одно из самых часто встречающихся движений твердых тел. Оно встречается и в «чистом» виде, когда ось вращения тела неподвижна, и может быть одной из составляющих более сложного движения. Вращаются, например, роторы турбин электростанций, коленчатый вал двигателя, карданный вал и шестерни коробки передач автомобиля, лопасти вентилятора, ротор генератора, вращается пуля в полете. При работе вращаются башенные краны, отдельные части экскаваторов, отдельные части стационарных бетономешалок и «миксеров», развозящих готовый бетон, кузов самосвала при разгрузке, многие части ручного электроинструмента, шпиндели металлообрабатывающих станков и так далее и тому подобное.

 

2.4. Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси будем называть такое его движение, при котором хотя бы две точки тела остаются в покое (рис.2.5).

Фото 3

.

Фото 4

 

Часть неподвижной оси вращения (неподвижность оси видна по положению оси относительно неподвижного тела – строящегося здания) отмечена на фотографиях прямой линией .

На фото 2 показано вращающееся колесо обозрения. Само колесо вращается относительно неподвижной горизонтальной оси, но сидения для детей движутся поступательно.

 

Равномерное вращение.

2.15. Вращение тела на промежутке времени называется равномерным, если угловая скорость тела в этом промежутке времени постоянна (w = const).

Из (2.5) следует: . Проинтегрируем это равенство при w = const. Получим:

. Отсюда . ()

Для определения постоянной интегрирования примем начальные условия в виде: , где - заданный начальный угол поворота. Тогда уравнение () при принимает вид: . Находим . Видим, что механический смысл постоянной интегрирования – это начальный угол, с которого началось вращение тела. Окончательно, из () получаем:

 

(2.8)

 

Равнопеременное вращение

 

2.17. Вращательное движение твердого тела на промежутке времени называется равнопеременным, если угловое ускорение в этом промежутке времени постоянно(e = const).

Интегрируя один раз первую из формул (2.7) при e = const и начальных условиях , где - начальная угловая скорость, получаем:

 

(2.11)

 

Вопросы для самоконтроля к главе 2

1. Какое движение твердого тела называется поступательным?
2. Сформулируйте и докажите основную теорему поступательного движения.
3. Запишите уравнения поступательного движения твердого тела.
4. Какое движение твердого тела называется вращательным движением твердого тела относительно неподвижной оси?
5. Как называются связи, с помощью которых закрепляется ось вращения твердого тела?
6. Запишите закон вращательного движения твердого тела и поясните его.
7. Как вычисляются угловая скорость и угловое ускорение вращающегося тела при известном законе вращения? В каких единицах они измеряются?
8. Какие вращения твердого тела называются равномерными вращениями и равнопеременными вращениями твердого тела? Получите законы этих вращений.
9. Опишите векторное представление угловой скорости и углового ускорения.
10. Опишите движение отдельной точки вращающегося твердого тела – плоскость движения, траекторию движения, направление движения.
11. Как вычисляются величины линейных скоростей, касательных, нормальных и полных ускорений точек вращающегося тела?
12. Как направлен вектор скорости произвольной точки вращающегося тела?
13. Выведите формулы для векторов касательного и нормального ускорений точек вращающегося тела.
14. Изобразите графически поля векторов скоростей, касательных ускорений и нормальных ускорений точек вращающегося тела.

 

 

ГЛАВА 2. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

В первой главе мы изучили кинематику точки - то есть движение объекта, который не имеет ни формы, ни размеров, и не был связан с телами конечных размеров. Переходим к кинематике твердого тела, то есть к изучению различных видов движения твердых тел. Изучив движение тела, всегда будем переходить к определению кинематических характеристик движения отдельных точек этого тела.