Задачи С решениями на поступательное и вращательное движение твердого тела к главе 2.

Задача 2.1. Автомобиль, двигаясь равноускоренно и прямолинейно из состояния покоя по горизонтальному участку пути, за первые десять секунд набрал скорость . Определить величину ускорений точек кузова.

Решение: Прямолинейное движение твердого тела является частным случаем поступательного движения тела.Следовательно, движение кузова автомобиля можно отождествить с движением любой его точки, совершающей прямолинейное движение. В начальный момент времени кузов автомобиля находился в покое (). Тогда по формуле (1.72) можно получить величину ускорений точек при прямолинейном движении: . Ответ: .

Задача 2.2. Кривошип с помощью ползуна 1 приводит в движение кулису 2. Длина кривошипа . Кривошип вращается относительно точки по закону . Определить модуль вектора перемещения и модуль вектора скорости точки А кулисы в момент времени .

Решение: На рис.2.2 механизм показан в двух положениях – в начальном положении и в положении, для которого надо определить перемещение точки А кулисы. В движение кулису 2 приводит кривошип ОВ. Кривошип ОВ совершает вращательное движение относительно точки О по заданному в условии задачи закону. Кулиса движется поступательно, так как все её контурные линии при движении кулисы остаются параллельными сами себе. Следовательно, по основной теореме поступательного движения (п. 2.2 настоящей главы), все точки кулисы движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями, по одинаковым траекториям и имеют одинаковые перемещения. Механизмы создаются так, что движение любой точки одной части механизма сразу «отзывается» движениями точек других частей механизма. По рисунку к задаче видно, что точка В одновременно участвует во вращении кривошипа ОВ и поступательном движении кулисы 2. Перемещение точки В кривошипа (и ползуна) за промежуток времени изображается вектором , а перемещение точки В кулисы изображено вектором . В момент времени имеем угол Тогда модуль перемещения точки В кулисы будет равен , так как треугольник - равносторонний. Следовательно, Модуль перемещения точки А кулисы равен модулю перемещения точки В кулисы и равен .

Вектор скорости точки В, как точки вращающегося тела (кривошипа ОВ), в любой момент времени перпендикулярен кривошипу ОВ и равен по величине . В момент времени точка В находится в точке и движется со скоростью . То есть в данный момент времени кулиса и кривошип находятся в покое. Ответ: Модуль перемещения точки А , скорость точки А равна нулю.

Задача 2.3. Тело вращается относительно неподвижной оси по закону . Исследовать вращение тела при и определить угол поворота тела, его угловую скорость и угловое ускорение в момент времени

Решение: Заданное в условии задачи уравнение движения приведем к каноническому виду: . График этой функции показан на рис.1 к примеру. Механический смысл имеет только та часть кривой, которая лежит в области . В начальный момент времени угол поворота тела . Это положение тела принимается за начальное положение. Форма тела при этом не имеет значения, поэтому на рисунках и не показано. В промежутке времени угол возрастал по модулю, но был отрицательным. То есть тело вращалось по часовой стрелке, как показано на рис. 2 к примеру. При тело вращается против часовой стрелки, при этом, как видно по графику, в момент времени угол поворота опять . В этот момент времени тело занимает свое первоначальное положение, то есть то, в котором оно находилось в начальный момент времени . В отрицательном направлении (по часовой стрелке) тело поворачивается на угол (это примерно ). Полученные результаты позволяют обратить внимание еще раз на то что угол , который задается законом вращения – это фактически «угловая координата», отсчитываемая от некоторой произвольно выбранной плоскости. А «угловой путь», пройденный телом от положения до того же положения составлял в . Если это не понимать и судить о вращении только по значениям и , можно было бы заключить, что тело находилось в покое.

 

 

Исследуем угловую скорость тела. Угловая скорость = (). В начальный момент времени при имеем = (). Это означает, что тело начинает вращение в исследуемом промежутке времени при начальной угловой скорости - по часовой стрелке. В момент времени угловая скорость (, тогда ). Это момент мгновенного покоя тела, после которого вращение происходит в обратную сторону. Обратите внимание, что при вращении по направлению часовой стрелки (до ) угловая скорость . Когда тело остановилось () угловая скорость , а при угловая скорость (тело вращается против часовой стрелки). Угловое ускорение точки - постоянно и положительно. Это означает, что при вращении по часовой стрелке угловая скорость тела уменьшалась (и превратилась в ноль), а при вращении против часовой стрелки, угловая скорость будет увеличиваться. Это подтверждается и видом функции = . Направление вращения тела, угловая скорость и угловое ускорение показано дуговыми стрелками на рис.2 к примеру. При будем иметь: , = (), . Ответ: , (), .

Задача 2.4. Механизм, показанный на рисунке к задаче, состоит из двух параллельных кривошипов одинаковой длины . С концами кривошипов шарнирно соединен стержень . Кривошип вращается по закону (рад), где угол отсчитывается от положительного направления оси . В момент времени показать положение механизма и определить радиус кривизны траектории тоски , вектор скорости, векторы касательного, нормального и вектор полного ускорения точки . Найденные векторы изобразить на рисунке.

 

Решение: Механизм состоит из трех сочлененных тел – параллельных кривошипов и и стержня , который в процессе движения остается параллельным оси . Следовательно стержень совершает поступательное движение и к нему применима основная теорема поступательного движения. Кривошипы и совершают вращение относительно неподвижных осей, проходящих через точки и , перпендикулярно к плоскости рисунка по заданному закону. По условию задачи и формулам (2.5) и (2.7) находим: (рад), , . В начальный момент времени было , , . Другими словами, кривошип (и механизм в целом) занимал положение, показанное на рис. 2.4(б), начал движение с нулевой начальной скоростью, равноускоренно. В заданный момент времени имеем: (рад), , . Судя по значению (рад), через две секунды после начала движения кривошип, вращаясь равноускоренно, вновь на мгновение занял первоначальное положение (рис. 2.4(б)). При этом он продолжает вращаться против часовой стрелки. Найдем вектор скорости и векторы ускорений точки . По формулам (2.16), (2.17), (2.18) имеем: , , . В момент времени : , , . Применяя основную теорему поступательного движения (п. 2.2 настоящей главы), окончательно получим: , , . Направление ответствующих векторов показано на рис.2.4(б). Ответ: , , .

Задача 2.5. Тело из состояния покоя начинает вращаться и за первые достигает угловой скорости вращения в = 36 рад/с. Считая, что тело вращается равноускоренно, определить число полных оборотов, которое сделает тело за указанное время вращения.

Решение. Так как первоначально тело находилось в покое, то начальная угловая скорость . Угол поворота тела будем также отсчитывать от его начального положения, то есть предполагать, что . Для равнопеременного вращения угловое ускорение тела и угол поворота определяются по формулам (2.12) и (2.13): и . В нашем случае будем иметь: , а При одном полном обороте вокруг оси вращения тело поворачивается на угол, равный углу поворота в или . Поэтому полный угол поворота всегда равен , где -число оборотов тела вокруг оси вращения. Отсюда для момента времени справедливо уравнение . Отсюда . Ответ: .

Задача 2.6. Коленчатый вал автомобильного двигателя, имеющий частоту вращения , был предоставлен самому себе (выключили «зажигание») и из-за трения в подшипниках и в других системах двигателя, остановился в момент времени , сделав . Считая вращение вала равнопеременным, определить его угловое ускорение.

Решение. Угловое ускорение при равнопеременном вращении входит в две основные формулы (2.12), (2.13): . С учетом условия задачи в момент времени последние формулы примут вид: , . Действительно, вал в итоге остановился (), а угол вращения определяется от того положения вала, при котором он оказался представленным самому себе, то есть . Исключим время из последних формул. Для этого выражаем из первой формулы () и подставляем во вторую. Получаем . Окончательно, формула для искомой величины имеет вид:

. (*)

Определяем угол поворота вала, соответствующий сделанным до остановки одной тысячи оборотов: . Начальная угловая скорость определяется по формуле (2.10): Тогда искомая величина углового ускорения . Ответ: .

Задача 2.7. Маховик, показанный на рис.(а) к задаче, имеет в данный момент времени угловую скорость и угловое ускорение . Найти величины скорости , касательного , нормального и полного ускорений точки маховика, которая находится на расстоянии от оси вращения.

 

 

Решение. Скорость точки определяется по формуле (2.16). Тогда . Касательное ускорение точки вычисляется по формуле (2.17). Тогда . Так как знаки угловой скорости и углового ускорения различны (), то маховик вращается замедленно. Следовательно, вектор касательного ускорение точки направлен по касательной к окружности радиуса противоположно вектору скорости . Нормальное ускорение точки определяется по (2.18). Тогда . Полное ускорение точки вычисляется по формуле (2.19). Тогда = = . Вектор полного ускорения точки отклонен от вектора к вектору на угол, тангенс которого вычисляется по формуле (2.20). = (). Направление векторов показано на рис. (б) к задаче в увеличенном масштабе. Ответ: , , , .

Задача 2.8. Механизм состоит из четырех тел – двух вращающихся диска «2» и ступенчатого диска «3», груза «1», подвешенного на нерастяжимой нити, которая намотана на диск «2» без проскальзывания, и рейки «4», плотно прижатой к диску «4». Механизм приводится в движение грузом «1», который движется в положительном направлении оси по закону . Коэффициент имеет единицу измерения . Радиусы дисков , , . В момент времени определить угловые скорости и угловые ускорения дисков «2» и «3», векторы линейных скоростей и ускорений тела «1» и точек . Сколько оборотов сделает диск «3» за промежуток времени .

Замечание. Механизм, рассматриваемый в данной задаче, является учебной расчетной моделью механизмов, которые могут входить в состав различных редукторов – механизмов для уменьшения угловых скоростей и увеличения крутящих моментов. Другими словами, механизмов, применяемых для согласования вращательных движений валов двигателей и других частей машин. В качестве примера на фотографиях к задаче показаны два типа редукторов, при этом второй редуктор – «червячный» - преобразует вращение «червяка» относительно одной оси во вращение шестерни относительно другой, перпендикулярной оси. Еще один тип редуктора с коническими шестернями показан на фотографии к задаче 2.20.

 

Червячный вал

Фото 2 к задаче 2.8

Фото 1 к задаче 2.8

Решение: Механизм в момент времени показан на рисунке (а) к задаче. Линейное перемещение тела «1» и углы поворота тел «2», «3» отсчитываются от соответствующих положений тел в начальный момент времени.

1. Рассмотрим движения тела «1», которое совершает прямолинейное поступательное движение.По основной теореме поступательного движения (п. 2.2 настоящей главы) все точки этого тела движутся одинаково – совершают прямолинейные движения. Закон движения тела, то есть закон движения любой его точки, например, точки задан координатным способом. Судя по закону движения, тело «1» всегда движется в одну сторону, поэтому путь , пройденный точкой за время , равен координате точки . Проекции вектора скорости и ускорения точки равны: , .В момент времени имеем: , , .

2. Рассмотрим движение тела «2», которое совершает вращательное движение относительно неподвижной оси подшипника, перпендикулярной плоскости рисунка. Так как нить считается нерастяжимой и намотана на диск без проскальзывания, то в точках соприкосновения точки нити и диска имеют равные скорости и ускорения: , . С другой стороны, по (2.16) и (2.17) имеем: , Тогда = , = , где - угловая скорость и угловое ускорение второго диска соответственно. По (2.18) находим величину нормального ускорения = .

В момент времени получим: , , , , . Величину вектора полного ускорения вычислим по формуле = = .

3. Рассмотрим движение тела «3». Так как диски находятся в зацеплении без проскальзывания, то в точке можно записать: , , где индексы «2» и «3» указывают на соответствующие диски. Тогда , . Отсюда , . Для точки будем иметь: = , = , В момент времени получим: , , , = , .

4. Рассмотрим тело «4», которое совершает поступательное движение. В точке оно соприкасается с диском «3». Следовательно , = .

5. Наконец, определим число оборотов третьего диска. Первое тело за заданный промежуток времени прошло расстояние . Такое же расстояние проходит любая точка нерастяжимой нити. Точки диска «2», соприкасающиеся с намотанной на него нитью проходят тоже такой же путь по окружности диска. При одном полном повороте диска его произвольная точка проходит путь, равный длине окружности диска . Число поворотов получим, поделив путь, пройденный точкой нити, на длину окружности . Другими словами, второй диск совершил пол оборота. Точки диска «3» пройдут тот же путь . Поделив этот путь на длину меньшей окружности третьего диска, получим: Интересно отметить, что .

§ 2.8. Задачи для самостоятельного решения на поступательное и вращательное движение твердого тела к главе 2.

 

Задача 2.9. Шкив радиусом , вращается равномерно с частотой . Найти его угловую скорость в рад/с, а также скорость и ускорение точки, лежащей на внешнем ободе шкива. Ответ: , , .

Задача 2.10. Лопасти вентилятора вращаются с частотой . Какой длины можно сделать отдельную лопасть вентилятора, если максимальная скорость точек вентилятора не должна превышать ? Ответ: .

Задача 2.11. На вращающийся вал плотно насажен шкив диаметром , который вращается вместе с валом.Скорость точек , лежащих на внешнем ободе шкива, равна в данный момент времени . Определить частоту вращения шкива . Ответ: .

Задача 2.12. Маховик радиуса вращается равномерно вокруг своей оси, делая оборотов за половину секунды. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на внешнем ободе маховика. Ответ: , .

 

 

Задача 2.13. Механизм состоит из двух зубчатых колес 1 и 2, находящихся в зацеплении, и кривошипного механизма . Точки лежат на одной горизонтальной прямой. Кривошипы и параллельны и имеют равную длину . В точках имеют место шарнирные соединения. Механизм приводится в движение вращением против часовой стрелки кривошипа , который имеет общую ось вращения с зубчатым колесом 2 и в точке соединен с ним при помощи шарнира. Определить величину скорости точки , если величина скорости точки в данный момент времени известна и . . Ответ: .

Задача 2.14. Зубчатое колесо 1 (см. условие и рис. к зад. 2.13) вращается согласно закону . Определить величину вектора полного ускорения точки в момент времени , если , . Ответ: .

Задача 2.15. Величина нормального ускорения точки зубчатого колеса 2 равно (см. условие и рис. к зад. 2.13). Определить величину скорости точки , если , . Ответ: .

Задача 2.16. В период разгона маховик паровой турбины (см. рис. к задаче 2.7) вращается по закону Диаметр маховика . В момент времени определить количество оборотов , которое сделает маховик к этому моменту времени, угловую скорость и угловое ускорение маховика, а также величины линейной скорости , касательного , нормального и полного ускорений точек, лежащих на окружности маховика. Ответ: , , , , , , .

Задача 2.17. Конькобежец проходит закругление беговой дорожки стадиона. Центр тяжести спортсмена имеет в этот момент времени величину касательного ускорения и величину полного ускорения . Определить в этот момент времени радиус кривизны траектории центра тяжести и угловую скорость этого воображаемого радиуса , если угловое ускорение радиуса . Ответ: , .

Задача 2.18. Определить угловые скорости , угловые ускорения , линейные скорости , касательные , нормальные и полные ускорения концов секундной, минутной и часовой стрелок часов, если их длины соответственно равны , , . Ответ: , , , , , , , , , , .