Изучение закономерностей упругого и неупругого соударения тел

В работе предлагается исследовать удары шаров различных размеров и масс, изготовленных из разных материалов.

Время удара чрезвычайно мало, и мы не обладаем приборами, способными в течение этого интервала времени измерить несколько значений сил, с которыми взаимодействуют тела, или ускорений этих тел. Поэтому исследование динамики удара не может быть проведено экспериментально. С другой стороны, некоторые характеристики удара можно получить используя законы сохранения. Определим эти характеристики.

Наиболее простым для анализа является случай прямого удара шаров. Допустим, что один из шаров покоится в лабораторной системе отсчета, и учтем, что удар шаров является центральным.

Направим ось x системы координат вдоль линии удара в направлении движения бьющего шара. В проекции на эту ось закон сохранения импульса примет вид

, (4)

где m ₁ и m ₂ - массы соударяющихся шаров, v ₁ - модуль вектора скорости бьющего шара непосредственно перед ударом, u _1x и u _2x - проекции на ось x скоростей бьющего и покоящегося шаров сразу после удара. Закон сохранения энергии для процесса удара можно записать, считая потенциальную энергию шаров в месте удара равной нулю:

. (5)

Здесь W - часть начальной механической энергии системы, перешедшая во внутреннюю. Если справедливо выражение (4), из (5) легко найти:

. (6)

Очевиден смысл d - это доля начальной механической энергии, перешедшая во внутреннюю. Параметр K называется коэффициентом восстановления, онзависит только от начальных и конечных скоростей соударяющихся тел:

. (7)

Легко понять целесообразность введения величины K. Обратите внимание, что в знаменателе дроби (7) стоит скорость первого шара относительно второго до удара, а в числителе скорость второго шара относительно первого после удара. Т.к. при абсолютно упругом прямом центральном ударе относительная скорость меняет знак, оставаясь неизменной по величине (докажите), а при абсолютно неупругом ударе относительная скорость равна нулю, коэффициент восстановления варьируется в пределах

. (8)

Фактически, K характеризует "степень упругости" удара: чем ближе K к единице, тем удар более упругий, а значит, столкнувшиеся тела в большей степени восстанавливают свою форму.

Обратите внимание (см. формулу (6)), что доля механической энергии, переходящей во внутреннюю, зависит не только от "степени упругости" удара K, но и от соотношения масс соударяющихся тел.

В процессе удара шары действуют друг на друга с некоторой силой F, называемой силой удара. Как следует из уравнений (1), суммарный за время удара импульс этой силы определяет изменения импульсов каждого из шаров. Так для первоначально покоящегося шара можно записать:

, (9)

где t - длительность удара. Т.к. в нашем распоряжении нет приборов для измерения силы удара, на основании (9) можно получить лишь среднее ее значение:

. (10)

Цели работы: 1) Экспериментальная проверка справедливости закона сохранения импульса для случая прямого удара двух шаров. 2) Получение количественной информации о самом ударе с помощью законов сохранения (определение коэффициента восстановления K и доли кинетической энергии, перешедшей во внутреннюю). 3) Оценка средней силы удара.

Для доказательства справедливости закона сохранения импульса необходимо располагать способами независимого измерения всех масс и скоростей, входящих в уравнение (4). Массы шаров определяются взвешиванием, возможность измерения скоростей предоставляет установка, описанная ниже.

Имея данные о скоростях и массах шаров, в случае выполнения закона сохранения импульса, можно найти долю начальной механической энергии, перешедшей в результате удара во внутреннюю.

Для измерения средней силы удара необходимо согласно (10) измерить еще и длительность удара.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

Приборы и принадлежности: установка для измерения скорости шаров, весы, набор исследуемых шаров.

Для проверки закона сохранения импульса эксперимент должен удовлетворять следующим двум условиям: а) исследуемая система должна быть замкнутой, либо в момент удара все внешние силы должны уравновешиваться друг другом, б) должна быть обеспечена возможность независимого измерения скоростей сталкивающихся тел. Этим требованиям в значительной степени соответствует экспериментальная установка, представленная на рис. 9. С ее помощью можно исследовать удар двух шаров 1 и 2, подвешенных на нитях 3. Скорости шаров в нижних точках их траекторий можно связать с углами максимального отклонения нитей от вертикали в процессе качания. Для измерения этих углов под шарами имеются шкалы 4. В конце правой шкалы расположен электромагнит 5 с тумблером. Он определяет начальное положение бьющего шара 1 и обеспечивает его пуск при отключении тумблера. Предварительно необходимо отрегулировать положение нитей в местах их крепления 6 к стойке так, чтобы удар шаров был прямым и в момент удара сила тяжести компенсировалась бы натяжением нитей. В упражнении 2 используется установка, оснащенная электронным секундомером, который позволяет автоматически измерять время механического контакта при столкновении металлических шаров. Для этого к шарам прикрепляются тонкие электропровода, замыкание и размыкание которых в процессе удара включает и выключает электронный микросекундомер.

Рис. 9

Установим связь между скоростью шара v в нижней точке его траектории и максимальным углом отклонения нити от вертикали a. Если в процессе качания на нити шар массой m поднимется на высоту h, v легко получить из закона сохранения энергии1 (см. рис. 9):

, (11)

где g - ускорение свободного падения. Из геометрических соображений очевидно, что

. (12)

где l - расстояние от точки подвеса до центра масс шара. В итоге получаем для скорости шара:

. (13)

Упражнение 1. Проверка закона сохранения импульса

при прямом ударе двух шаров.

В данном упражнении необходимо, во-первых, проверить справедливость уравнения (4) в случае столкновения стальных, алюминиевых и пластмассовых шаров в их различных сочетаниях, а также при столкновении пластилиновых шаров. Во-вторых, рассчитать потери кинетической энергии в процессе ударов.

ХОД РАБОТЫ

1. Выберите исследуемые комбинации шаров (не менее трех пар) и определите массы шаров на весах. Пластилиновые шары предварительно должны быть согреты в руках, чтобы при столкновении происходило их слипание.

2. Отрегулируйте подвески шаров для выполнения условия прямого удара. При этом центры шаров должны лежать на одной горизонтальной прямой в плоскости падения бьющего шара, нити подвески должны быть параллельны, а шары должны касаться друг друга.

3. Установите электромагнит на правой шкале на отметке 10-15^ос тем расчетом, чтобы после удара шары не отскакивали за пределы левой шкалы.

4. Включите установку в сеть переменного тока и тумблером, расположенным на передней панели стойки включите электромагнит.

5. Правый (бьющий) шар зафиксируйте с помощью электромагнита в исходном положении a₁*. Затем тумблером выключите электромагнит, шар освободится и столкнется с левым. После первого столкновения шаров отметьте и запишите их максимальные отклонения a₁ и a₂ по правой и левой шкалам. Если второй шар после удара отскакивает за пределы шкалы, то необходимо уменьшить угол отклонения бьющего шара a₁*, опустив электромагнит.

6. Вычислите по формуле (13) соответствующие значения скоростей v ₁, u _1x, u _2x. Учтите, что при обратном отскоке бьющего шара u _2x<0

7. Вычислите отношение импульсов системы шаров до и после удара. Оцените погрешность полученного результата.

8. Вычислите значения коэффициента восстановления K (7) и потерю кинетической энергии W (6) для каждой комбинации шаров. Сравните их между собой и объясните причины различия.

9. Результаты измерений и расчетов удобно представить в виде таблицы:

 

Типы шаров	m 1, кг	m 2, кг	a1^*	a1	a2	v 1, м/c	u 1x, м/c	u 2x, м/c		K	d

Упражнение 2. Оценка средней силы удара металлических шаров

Это упражнение выполняется на установке аналогичной, описанной выше, но снабженной электронным микросекундомером.

ХОД РАБОТЫ

1. Прикрепите электропровода к исследуемой паре шаров. Подвесьте шары на нитях.

2. Включите установку в сеть переменного тока 220 В. Нажмите последовательно кнопки «Сеть» и «Сброс» на панели установки. Если установка исправна, на табло появятся нули.

3. Установите электромагнит на заданный угол и укрепите на нем бьющий шар.

4. Нажмите кнопку «Пуск». После столкновения на табло появится время удара t. Запишите его и нажмите кнопку «Сброс». После появления нулей установка готова к новому измерению. Повторите измерения несколько раз и проведите соответствующую статистическую обработку результатов.

5. По формуле (10) рассчитайте среднюю силу удара F.

6. Проведите аналогичные измерения для любой другой пары металлических шаров. Сравните их между собой.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ

1. Каковы наиболее существенные особенности явления удара?

2. В чем отличия и сходства абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов?

3. Приведите примеры абсолютно неупругих ударов.

4. Удар часто используют в технике для изменения формы изделия (ковка, штамповка, клепка и т.п.), или для перемещения тел в среде с большим сопротивлением (забивание гвоздей, свай и т.п.). В первом случае стараются, чтобы масса изделия и наковальни во много раз превосходили массу молота. Во втором случае, наоборот, - масса молотка во много раз превышает массу забиваемого гвоздя. Почему? Какие типы ударов в этих случаях предпочтительнее? Почему?

5. Обобщите формулы (4) - (7) на случай когда оба шара до удара движутся.

6. В каких случаях скорость бьющего шара в результате прямого центрального удара меняет направление на обратное?

7. Опишите идею эксперимента и экспериментальную установку.

8. Перечислите причины и оцените величину систематических ошибок измерения скорости шаров в данной работе.

9. Какие особенности экспериментальной установки позволяют минимизировать эти погрешности?

10.Как влияет температура пластилиновых шаров до удара на величину коэффициента восстановления K.

11.*Покажите, что на данной установке выполнение закона сохранения импульса автоматически доказывает выполнение закона сохранения момента импульса.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 12.