Метод Ньютона (метод касательных).

Суть метода состоит в том, что на -й итерации в точке строится касательная к кривой и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 1.6). Если задан интервал изоляции корня , то за начальное приближение принимается тот конец отрезка, на котором

. (1.1)

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке с координатами и , имеет вид:

(1.2)

Рис. 1.6. Метод касательных.

За следующее приближение корня примем абсциссу точки пересечения касательной с ocью OX. Из (1.2) при , получим

(1.3)

При этом необходимо, чтобы .

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках , и т.д. Формула для -го приближения имеет вид:

(1.4)

Для завершения итерационного процесса можно использовать условия или .

Объем вычислений в методе Ньютона больше, чем в других методах, поскольку приходится находить значение не только функции , но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше.

Пример 1.2. Решить уравнение на отрезке методом Ньютона c точностью .

Решение. Определим первые и вторые производные заданной функции : ; . Проверим выполнение условия сходимости на концах заданного интервала: - не выполняется, - выполняется. За начальное приближение корня можно принять . Находим первое приближение:

.

Аналогично находится второе приближение:

.

Третье приближение:

.

Так как , итерационный процесс заканчивается. Таким образом, приближенным решением данного уравнения является .

На рис. 1.7 приведена программа решения данного уравнения методом Ньютона. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение и точность вычисления.

CLS DEF FNF(X)=X^3+X-1 DEF FNP(X)=3*X+1 INPUT X, E 1 X=X-FNF(X)/FNP(X) PRINT X, FNF(X) IF ABS(FNF(X)/FNP(X))>E THEN 1 END

Рис. 1.7. Программа нахождения корней методом Ньютона на языке QUICK BASIC.

 

Пример 1.3. Решить уравнение на отрезке методом Ньютона c точностью с помощью программы Excel.

 

	A	B	C	D
	x	F(x)	F'(x)	погрешность
	1,00000
	0,75000	1,00000	4,00000	0,25000
	0,68605	0,17188	2,68750	0,06395
	0,68234	0,00894	2,41198	0,00371
	0,68233	0,00003	2,39676	0,00001
Рис. 1.8. Решение уравнения методом Ньютона с помощью программы Excel.

 

Порядок решения (рис. 1.8).

1) Ввести в ячейки A1:D1 заголовки столбцов.

2) В ячейку A2 – значение начального приближения

3) В ячейку B3 – формулу функции =A2^3+A2-1

4) В ячейку C3 – формулу производной функции =3*A2^2+1

5) В ячейку A3 – формулу первого приближения =A2-B3/C3

6) В ячейку D3 – погрешность =ABS(A3-A2)

7) Выделить ячейки A3:D3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:D4, A5:D5, и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения.

8) В столбце A найти значение корня, соответствующее заданной точности.

Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке A6 (погрешность в ячейке D6).

 

Метод простой итерации.

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение необходимо привести к виду .

В качестве можно принять функцию , где M ‑ неизвестная постоянная величина, которая определяется из условия сходимости метода простой итерации . При этом для определения M условие сходимости записывается в следующем виде:

или . (1.5)

Если известно начальное приближение корня , подставляя это значение в правую часть уравнения , получаем новое приближение .

Далее подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение , получаем последовательность значений:

, ,..., , k = 1,2,...,n.

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т.е. .

Геометрическая интерпретация метода простой итерации. Построим графики функций и . Корнем уравнения является абсцисса пересечения кривой с прямой (рис. 1.11). Взяв в качестве начальной точки , строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунка видно, что если на отрезке (рис. 1.9а), то последовательные приближения колеблются около корня. Если же производная (рис. 1.9б), то последовательные приближения сходятся монотонно.

 

а)	б)
Рис. 1.9. Геометрическая интерпретация метода простой итерации.

Пример 1.4. Решить уравнение на отрезке методом простой итерации c точностью .

Решение. Из условия сходимости (1.5) , при определяем .Пусть .

Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение

,

получаем последовательность значений:

, но , поэтому продолжаем вычисления.

Теперь и приближенным решением данного уравнения c точностью является .

На рис.1.10 приведена программа решения данного уравнения методом простой итерации. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение, точность вычисления и значение постоянной М.

CLS DEF FNF(X)= X^3+X-1 INPUT X, E, M 1 X = X - FNF(X)/M PRINT X, FNF(X) IF ABS(FNF(X)/M)>E THEN 1 END

Рис. 1.10. Программа решения уравнения методом простой итерации на языке QUICK BASIC.

Пример 1.4. Решить уравнение на отрезке методом простой итерации c точностью с помощью программы Excel.

 

	A	B	C	D
	x	f(x)	M	погрешность
	0,8			0,2
	0,7376	0,312		0,0624
	0,70982	0,13889		0,02777881
	0,69633	0,06746		0,01349237
	0,68954	0,03396		0,00679209
	0,68606	0,01738		0,0034769
	0,68427	0,00897		0,00179463
Рис.1.11. Решение уравнения методом простой итерации с помощью программы Excel.

Порядок решения (рис. 1.11).

1) Ввести в ячейки A1:D1 заголовки столбцов.

2) В ячейку A2 – значение начального приближения

3) В ячейку B3 – формулу функции =A2^3+A2-1

4) В ячейку C2 – значение M 5

5) В ячейку A3 – формулу первого приближения =A2-B3/$C$2

6) В ячейку D3 – погрешность =ABS(A3-A2)

7) Выделить ячейки A3:D3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:D4, A5:D5, и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения.

8) В столбце A найти значение корня, соответствующее заданной точности.

Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке A9 (погрешность в ячейке D9).