Показатели, характеризующие тенденцию динамики

Система показателей, характеризующих тенденцию динамики, должна определять следующие свойства этой тенденции:

величину изменения уровня, как в абсолютном, так и в относительном выражении;

равномерность или неравномерность изменения уровня;

выражать тенденцию в форме некоторого достаточно простого уравнения, наилучшим образом аппроксимирующего фактическую тенденцию динамики.

Абсолютное изменение уровней или абсолютный прирост - это разность между сравниваемым уровнем и уровнем более раннего периода, принятым за базу сравнения. Если эта база непосредственно предыдущий уровень, показатель называют цепным, если за базу взят, например, начальный уровень, показатель называют базисным. Формулы абсолютного изменения уровня:

цепной вариант: ;

базисной вариант: .

Абсолютное изменение уровня, не является постоянной величиной, т.е. изменяется с некоторым ускорением. Ускорение рассчитывается для цепного варианта и представляет собой разность между абсолютным изменением за данный период и абсолютным изменением за предыдущий период одинаковой длительности:

Для сравнения развития разных объектов, особенно если их абсолютные характеристики различны, используют относительные показатели динамики. Меньший уровень абсолютного прироста еще не есть меньший темп развития, и это показывает относительная характеристика тенденции динамики - темп роста.

Темп роста - это отношение сравниваемого уровня (более позднего) к уровню, принятому за базу сравнения (более раннему). Темп роста исчисляется в цепном варианте - к уровню предыдущего года, а в базисном варианте - к одному и тому же, обычно начальному уровню. Он говорит о том, сколько процентов составляет сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу, или во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, принятого за базу. Формулы темпа роста:

цепной вариант:

базисный вариант:

Относительным приростом называется отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню. Формулы относительного прироста:

цепной вариант:

базисный вариант:

Можно выделить следующие основные соотношения между цепными и базисными показателями:

Сумма цепных абсолютных изменений равна базисному абсолютному изменению:

Произведение цепных темпов изменения равно базисному темпу изменения

Сумма цепных темпов прироста не равна базисному темпу прироста. Значения цепных темпов прироста, рассчитанных каждый к своей базе, различаются не только числом процентов, но и величиной абсолютного изменения, составляющей каждый процент. Поэтому складывать или вычитать цепные темпы прироста нельзя.

Для обобщения характеристик тенденции за длительный период и по различным периодам необходимы средние показатели динамики - средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средние темпы роста.

Средний уровень интервального динамического ряда определяется как простая арифметическая средняя уровней за равные промежутки времени:

или как взвешенная арифметическая средняя уровней за неравные промежутки времени, длительность которых и является весами.

Средний уровень, рассчитываемый для моментального ряда называют хронологической средней и вычисляют по формуле:

Средний абсолютный прирост определяется как частное от деления базисного абсолютного изменения на число осредняемых отрезков времени от базисного до сравниваемого периода:

Средний темп изменения определяется как геометрическая средняя из цепных темпов роста за n лет или из базисного темпа роста за указанный период времени:

Средний темп роста так же, как и средний прирост, следует сопровождать указанием двух единиц времени: периода, который им характеризуется, и периода, на который рассчитан темп. Например, среднегодовой темп за последнее десятилетие; среднемесячный темп за полугодие и т.п.

Расчет параметров тренда

Понятие «тренд» было введено в статистику английским статистиком Гукером, которым он предложил обозначать уравнение тенденции.

Первым шагом в определении тренда необходимо выявить тип тенденции, а эта задача не является чисто математической. Наличие колебаний уровней крайне усложняет выявление типа тенденции и требует всестороннего подхода к этой проблеме, прежде всего качественного изучения характера развития объекта. При этом необходимо учитывать условия развития объекта в изучаемом периоде и характер действия основных факторов развития.

В крупных системах, где действует большое количество факторов, резкие, скачкообразные изменения в ряду динамики крайне редки. Большие и сложные системы обладают значительной инерцией, и для скачкообразного, резкого изменения тенденции такой системы требуются большие затраты ресурсов. Напротив, в масштабе несложных систем вполне возможны резкие изменения, переходы от одной тенденции к другой.

Одним из основных типов уравнений тренда является линейная форма тренда:

где - уровни, освобожденные от колебании, выровненные по прямой;

b - начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени t;

a - среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени); константа тренда.

Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимопогашении особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелинейность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т.е. в прямолинейном тренде.

Параметры тренда рассчитываются из следующих соотношений:

Если поместить начало отсчета в середину динамического ряда, то åt будет равняться нулю и формулы существенно упростятся:

, .

 

В статистических исследования используются и другие формы трендов – параболические, экспоненциальные, логарифмические, степенные, гиперболические и логистические. Параболическая форма тренда выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного развития, например снятии ограничений. Экспоненциальный тренд выражает тенденцию ускоренного (замедленного) и все более ускоряющегося (замедляющегося) возрастания уровней. Развитие любого объекта по экспоненциальному закону может продолжаться только небольшой исторический период времени, ибо ресурсы для любого процесса развития всегда встретят ограничения. Логарифмический тренд пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного возможного значения. Замедление роста становится все меньше и меньше, и при достаточно большом t логарифмическая кривая становится мало отличимой от прямой линии. Логарифмический тренд пригоден для отображения эффективности системы при ее совершенствовании без качественных, коренных преобразований. Степенная форма - гибкая, пригодная для отображения изменений с разной мерой пропорциональности изменений во времени. Гиперболический тренд выражает тенденцию замедляющегося снижения (или роста) уровня, стремящегося к некоторому пределу.

Логистическая кривая имеет форму латинской буквы S положенной на бок, отчего еще называется S-образной кривой. Она имеет два перегиба: от ускоряющегося роста к равномерному (вогнутость) и от равномерного роста посреди периода к замедляющемуся (выпуклость).

Устойчивость тенденции можно оценить с помощью коэффициента корреляции рангов Ч. Спирмена, который считается по формуле:

.

При полном совпадении (полной противоположности) рангов уровней и номеров периодов по их хронологическому порядку коэффициент Спирмена равен +1 (-1), что соответствует полной устойчивости возрастания (убывания) уровней.

Пример 5. Определим устойчивость тенденции по данным из таблицы 6 - числа зарегистрированных преступлений, связанных с незаконным оборотом наркотиков в Российской Федерации (в единицах) за год с 1996г. по 2010 г. Промежуточные результаты оформим в виде следующей таблицы.

 

Таблица 8

 

Расчетное значение коэффициента корреляции по рангам составит:

, что свидетельствует о слабой устойчивости наблюдаемой тенденции и довольно сильной колеблемости.

Показатели колеблемости

Изучение колебаний уровней динамического ряда имеет важное значение для анализа и регулирования сезонных социальных процессов. Различают три основных типа колебаний.

Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременных отклонениях уровней от тренда в одну и в другою сторону (рис. 5).

Рис. 5. Пилообразная колеблемость

Циклическая долгопериодическая колеблемость состоит в том, что отклонения уровней от тренда сначала постепенно увеличиваются, затем постепенно уменьшаются, и меняя свой знак на противоположный вновь начинают увеличиваться (рис. 6). Такая колеблемость свойственна, например, солнечной активности и связанными с ней процессами на Земле.

Рис. 6. Циклическая долгопериодическая колеблемость

Случайно распределенная во времени колеблемость возникает при наложении нескольких колебаний с различными циклами, но может проявляться в результате хаотичных колебаний основного действующего фактора (рис. 7).

Рис. 7. Случайно распределенная во времени колеблемость

Основными показателями силы колебания уровней являются: амплитуда отклонений уровней отдельных периодов или моментов от тренда, среднее абсолютное отклонение уровней от тренда, среднеквадратическое отклонение уровней от тренда. Относительное линейное отклонение от тренда и коэффициент колеблемости вычисляются путем деления соответствующих абсолютных показателей на средний уровень за весь изучаемый период.

Среднее линейное отклонение вычисляется из соотношения:

,

где yi – фактический уровень;

- выровненный уровень (тренд);

n – число уровней;

p – число параметров тренда (для линейной формы тренда p=2).

Среднеквадратическое отклонение вычисляется из соотношения:

.