Управляемость и стабилизируемость систем

Управляемость. Общие положения

При создании систем управления необходимо установить возможность перевода объекта из заданной начальной точки или области в заданную конечную точку или область, т.е. управляемость системы. Управляемость зависит от структуры системы, состава органов управления, значений параметров, располагаемой энергии управления. В простых случаях эта задача решается интуитивно на основе опыта и знаний. Однако в сложных случаях возможны ошибки при выборе структуры управления, в результате чего объект управления не будет обладать указанными свойствами.

Существуют различные виды управляемости в зависимости от условий перехода и ограничений, накладываемых на управление. Типы переходов иллюстрируются рис. 1.7.

В случае (рис. 1.7а) рассматривается переход из произвольной точки n-мерного пространства состояний, в произвольную точку этого пространства, причем никаких ограничений на характер движения, кроме конечности времени перехода t_i – t₀, не накладывается (). Если в пространстве состояний задана замкнутая область G и должен обеспечиваться переход из любой точки этой области в произвольную точку без выхода за пределы области G, то существует ограничение типа неравенств в пространстве состояний (рис. 1.7б) этой области в произвольную точку без выхода за пределы области G, то существует ограничение типа неравенств в пространстве состояний (рис. 1.7б).

Переход из заданной области пространства состояний полной размерности n в заданную область меньшей размерности иллюстрируется рис. 1.7г. Противоположным предыдущему, является случай, когда управление должно обеспечить перевод системы из любой точки области меньшей размерности в любую точку области полноразмерной области (рис. 1.7в).

Рис. 1.7д соответствует управляемости в малом. Управление должно обеспечить переход из любой точки Х₀ пространства состояний R_n в любую точку малой n-мерной окрестности точки Х₀ ().

Случай (рис. 1.7е) соответствует переходу из заданной области подпространства меньшей размерности m<n в замкнутую область того же подпространства (случай неполной управляемости).

Важное практическое значение имеет случай, когда задается множество программных траекторий Х₀(t) перехода из одной точки Х₀(t₀) в другую Х₀(t₁). Система считается управляемой, если существуют управления, обеспечивающие движение по заданной траектории при условии:

Х(t₀)= Х₀(t₀), Х(t₁)= Х₀(t₁).

Определим свойство управляемости и установим критерий управляемости.

Пусть объект задан уравнением:

,

где Х – вектор фазовых координат,

U – вектор управления,

Rⁿ, R^r – пространства фазовых координат и допустимых управлений соответственно.

При этом допустимое множество U_t значений управления совпадает со всем пространством R^r, и допустимым управлением является любая кусочно-непрерывная вектор-функция, принимающая значения из R^r.

Объект называется вполне или полностью управляемым, если для любой пары точек Х⁰ и Х^f на Rⁿ существует допустимое управление на конечном интервале [t₀, t_f], переводящее объект из точки X(t₀)=X⁰ в точку X(t_f)=X^f.

Для линейного стационарного объекта можно принять t₀=0 и зафиксировать одну из точек, например, положить Х⁰=0 или X^f=0.

Уравнение линейного объекта

(1.124)

где А, В – матрицы коэффициентов.

При произвольном начальном условии решение уравнения (1.124) имеет вид:

. (1.125)

При Х⁰=0

, (1.126)

где К(t,τ) – переходная матрица системы.

Тогда задача перевода объекта (1.124) из произвольной начальной точки X(t₀)=X⁰ в точку X(t_f)=X^f равносильна задаче его перевода из начальной точки X(t₀)=0 в точку X(t_f)=X^f – К(t_f, t₀)Х⁰.

Аналогично, задача перевода объекта (1.124) из начальной точки X(t₀)=X⁰ в произвольную конечную точку X(t_f)=X^f равносильна задаче его перевода из начальной точки X(t₀)=К⁰-Х^-1(t_f,t₀) в точку X(t_f)=0.

Объект называется вполне управляемым, если для любой точки X^f из Rⁿ существует допустимое управление на конечном интервале [t₀,t_f], переводящее объект из точки X(t₀)=0 в точку X(t_f)=X^f, или объект называется вполне управляемым, если для любой точки X^f из Rⁿ существует допустимое управление на конечном интервале [t₀,t_f], переводящее объект из точки X(t₀)=X⁰ в точку X(t_f)=0.

1.2.2.Критерии управляемости

Для нестационарного линейного объекта

, , , (1.127)

где A(t),B(t) – матрицы коэффициентов.

Решение уравнения (1.127) будем искать в виде х=Ху, где Х=Х(t) – решение уравнения . Подстановка в (1.127) дает уравнение

.

Поэтому

.

Интегрирование последнего уравнения дает решение:

а, следовательно, для х=Ху получим

.

Используя свойство решения Х(t₀)=I, а, значит, и Х^-1(t₀)=I, можно записать

и ввести матрицу Коши для системы (1.127)

К(t,s)=Х(t)Х^-1(s), К(t₀,t₀)=Е.

Матрица Коши обладает очевидным свойством

К(t₀,t₀)= К(t,s) К(s,t₀).

Таким образом, решение системы уравнений (1.127) можно представить в виде

Объект называется вполне управляемым, если для любой точки Х^f из rⁿ существует допустимое управление на конечном интервале [t₀,t₁], переводящее любой объект из точки Х(t₀)=0 в точку Х(t_f)=Х^f, или объект называется вполне управляемым, если для любой точки Х⁰ из rⁿ существует допустимое управление на конечном интервале [t₀,t_f], переводящее объект из точки Х(t₀)=Х⁰ в точку Х(t_f)=0.

Рассмотрим критерий управляемости для линейных непрерывных систем.

Теорема. Непрерывная линейная система (1.124) является полностью управляемой тогда и только тогда, когда симметрическая матрица размера nхn

, (1.128)

положительно определена для некоторого t₁>t₀.

Доказательство. Прежде всего, рассмотрим квадратную форму

где – некоторый вектор состояния.

Очевидно, что r=кв есть некоторая матрица, а – вектор-строка . Тогда – есть вектор-столбец.

Таким образом,

а следовательно, матрица n как минимум положительно полуопределена и для положительной определенности нужно доказать ее невырожденность.

Достаточность. Из уравнения (1.125) для t=t_f получим

. (1.129).

В качестве управления выберем функцию

(1.130),

где у – некоторый вектор. Подставим u() в уравнение (1.129)

.(1.131)

Тогда, учитывая, что матрица n не вырождена, а следовательно, существует n^-1, пусть

. (1.132).

Подставив (1.132) в (1.130) и (1.129), получим

.

Это требуемый результат и, как следствие, система является управляемой.

Необходимость. Полагаем, что система (1.124) управляема, т.е. независимо от начального состояния Х₀ может быть реализовано управление u(t), обеспечивающее переход из (t₀, х₀) в состояние (t_f, х_f). Для простоты осуществим переход из х₀=0 в х_f 0. Для этого используем управление из (1.130) и запишем

.

После интегрирования левой и правой частей получим

Обращаясь к (1.128), можем записать

, (1.133)

и считаем, что матрица является вырожденной, т.е. Так как – непрерывны, то из (1.133) следует, что =0 и, подставив в (1.129) и учитывая, что х₀=0, получим

,

а это противоречит понятию управляемости. Тогда в (1.133) мы должны положить, что n(t_f, t₀) является невырожденной матрицей.

Отметим, что управляемость является свойством динамической системы и не зависит от избранной системы координат, т.е. не зависит от канонической формы представления системы.

Можно отметить также, что функция (1.130)

, (1.134)

представляет собой закон управления с целью перехода системы из заданного начального положения к началу координат. Отсюда очевидна связь понятий управляемости и управления.

Можно также показать, что функция (1.130) минимизирует «работу» управления при переходе из х(t₀) к началу координат на фиксированном отрезке [t₀,t_f], т.е. получено решение частной задачи оптимального управления, о котором речь пойдет несколько позже.

Для стационарных систем вопрос об управляемости может быть решен на основе следствия рассмотренной теоремы.

1.2.3.Управляемость линейных стационарных объектов

Введем в рассмотрение матрицу управляемости размером (nхnr)

Y=[B AB A²B … A^n-1B]. (1.135)

Справедлив следующий критерий управляемости: линейный стационарный объект (1.124) вполне управляем тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости равен n.

В соответствии с теоремой Гамильтона-Кэли, любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Так как характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:

det(SE-A)=Sⁿ-C₁S^n-1-C₂S^n-2-…-C_n=0,

то, используя теорему, можно записать для матрицы А соотношение

Aⁿ=C₁A^n-1+C₂A^n-2+…+C_nE. (1.136)

Докажем необходимость и достаточность утверждения.

Необходимость. Известно, что система вида имеет переходную матрицу поэтому решение уравнения имеет следующий вид:

. (1.137)

Учитывая, что показательная функция e^m разлагается в ряд Тейлора следующего вида

,

можно е^Аt представить в виде

, (1.138)

обозначим в (1.137)

.

Тогда при х(0)=0 из (1.137) с учетом (1.138) получаем для х(t_f)

Умножив обе части равенства (1.136) справа на В, получим

.

Умножим обе части последнего равенства на А

.

Подставим в последнее равенство выражение для АⁿВ

,

или

.

Проделав аналогичные операции l раз будем иметь

,

т.е. при любом l Aⁿ⁺¹B является линейной комбинацией матриц A^кB, .

Таким образом, Х(t_f) представляется в виде линейной комбинации векторов, представляющих собой столбцы матрицы управляемости (1.135) и при любом допустимом управлении точка Х(t_f) принадлежит подпространству, порожденному столбцами матрицы управляемости Y.

Поэтому, если ранг матрицы Y меньше n, то существуют точки, не принадлежащие указанному подпространству, куда нельзя перевести объект (1.124) из точки Х(0)=0.

Достаточность. Пусть ранг матрицы Y равен n. При Х(0)=0 и t= t_f имеем

Объект вполне управляем, если приведенное интегральное уравнение при произвольном х^f и rⁿ имеет решение в классе допустимых управлений.

Будем искать решение в виде

где z – вектор из rⁿ. Подставив это выражение в интегральное уравнение, получим

Х=Dz,

где

Таким образом, вопрос о существовании решения интегрального уравнения свелся к вопросу о существовании решения алгебраического уравнения. Это уравнение имеет решение при произвольном х^f, если det D 0.

Допустим противное: det(D)=0. Тогда соответствующее однородное уравнение имеет ненулевое решение, т.е. существует вектор х_L≠0 такой, что

Умножив слева на и подставив выражение для D, получим

.

В силу непрерывности подинтегрального выражения последнее равенство возможно, если при всех

. (1.139)

Но, учитывая, что

,

после дифференцирования (1.139) по , получим

,

или при

.

Заметим, что .

Из последних равенств следует, что ненулевой вектор ортогонален всем вектор - столбцам матрицы управляемости У, а это невозможно, так как по условиям ранг матрицы У равен n. Следовательно, допущение о том, что , неверно. Критерий управляемости доказан.

Таким образом, управляемость объекта полностью определяется матрицами А и В. Поэтому критерий управляемости можно сформулировать следующим образом: пара (А,В), в которой А и В - матрицы размерности и соответственно, называются вполне управляемой, если объект вполне управляем.

Свойство управляемости не зависит от выбора системы координат. Если объект вполне управляем, то его область управляемости совпадает со всем фазовым пространством.

1.2.4.Каноническая форма управляемости

Если объект не вполне управляем, то он не может быть переведён из точки в точку, которая не принадлежит подпространству , порождённому вектор – столбцами матрицы управляемости У. Область управляемости совпадает с подпространством , поэтому называется подпространством управляемости. Пусть ранг матрицы У равен l<n. Сформируем не особую матрицу преобразования

, (1.140)

такую, что , причём

, ,

и вектор-столбец матрицы образуют базис l-мерного пространства, а вектор – столбцы вместе с вектор - столбцами образуют базис n-мерного пространства.

В качестве можно выбрать строки со всеми элементами, равными нулю, кроме элемента, индекс которого соответствует рассматриваемой управляемой (или неуправляемой) координате. Этот элемент равен единице.

Используя (1.140), преобразуем (1.124)

(1.141)

где .

Для обратной матрицы можем произвести разбиение на подматрицы и следующим образом:

,

где содержит l столбцов, а -(n-1) столбцов:

.

Учитывая определение обратной матрицы ,можем получить

, (1.142)

откуда следует, что

. (1.143)

Таким образом, из (1.143) можно утверждать, что все вектор - столбцы из строго принадлежат , а вектор - столбцы из , напротив, лежат только вне , т.е. для .

Тогда для (1.141) можно записать

,

. (1.144)

Так как все вектор - столбцы матрицы лежат в , то вектор - столбцы лежат в , что с очевидностью следует из того, что для любой строки , которая соответствует неуправляемой координате , так как не содержит элементов, отличных от нуля на месте управляемых координат.

Следовательно, используя первое из соотношений (1.143) и не забывая, что состоит из вектор – столбцов, лежащих строго в (т.е. инвариантно преобразованию А), получим

.

Очевидно, что состоит из вектор - столбцов, которые могут содержать ненулевые элементы, соответствующие управляемым координатам. Следовательно, в общем случае

.

Учтём также, что все вектор - столбцы матрицы В лежат в , так как все элементы строк, соответствующие неуправляемым координатам, должны быть равными нулю. (Иначе, просто неуправляемость по этим координатам нарушается). Тогда и, учитывая все предыдущее, (1.141) принимает вид

. (1.145)

Следовательно, поведение полностью независимо, тогда как на оказывает влияние и U.

Структурная схема вполне управляемой системы S, которую формально можно разбить на две подсистемы и , может быть представлена, как на рис. 1.8а. Если же управляющее воздействие U не подаётся на вход подсистемы и отсутствует связь , то получим пример не вполне управляемой системы (рис. 1.8б).

Для иллюстрации приведения к канонической форме рассмотрим систему:

Матрица управляемости и её ранг равны:

Следовательно, система не вполне управляема. Неуправляемой координатой является . Тогда в качестве базиса в можем принять строки: , которые дополним строкой .

Матрица Т принимает вид

.

Обратная матрица

Отсюда следует

.

1.2.5.Стабилизируемость

Если линейный объект не вполне управляем, то его вектор состояния можно представить в виде

,

где – вектор ортогональный всем элементам из , т.е. элемент из ортогонального дополнения , называемого подпространством неуправляемости.

Из ранее доказанного критерия управляемости следует, что объект не может быть переведён из точки в точку , если или принадлежат . Поэтому возникает вопрос, всегда ли необходимо, чтобы объект был вполне управляемым, если условия работы таковы, что в процессе функционирования система управления попадает в . Оказывается, что для синтеза устойчивой системы управления важны не полная управляемость, а стабилизируемость.

Стационарный линейный объект

,

называется стабилизируемым, если в представлении неуправляемая составляющая при .

Очевидно, что вполне управляемый объект является стабилизируемым, так как x=0. Асимптотически устойчивый объект является стабилизируемым, так как при , тогда U(t)=0.

В случае канонической формы управляемости составляющая имеет вид

,

поэтому в этой системе координат только при .

Из канонической формы управляемости видно, что объект является стабилизируемым в том и только в том случае, если матрица является асимптотически устойчивой, т.е. её собственные значения отрицательные вещественные части. Стабилизируемость объекта полностью определяется матрицами А и В.

Пример 1.6. Смесительный бак (см. пример 1.2) при условии описывается дифференциальным уравнением состояния

Как было показано, эта система не является управляемой. Матрица имеет характеристическое число , откуда следует, что система является стабилизируемой. Это означает, что при неправильном значении приращения концентрации оно в итоге будет стремиться к нулю.