Методы синтеза оптимальных систем управления

1.4.1.Общие положения

В общем случае автоматическая система управления (в дальней­шем "система" состоит из объекта управления ОУ, регулятора Р и программатора (задатчика) П Рис. 1.13)

Задача синтеза оптимальной системы состоит в том, чтобы для заданного объекта рассчитать регулятор и программатор, которые в определенном смысле наилучшим образом решают поставленную задачу управления. В соответствии с этим рассматриваются две задачи:

- синтез оптимального программатора;

- синтез оптимального регулятора.

Математически эти задачи могут быть сформулированы единооб­разно и решаются одними и теми же методами. Но целесообразно их раздельное рассмотрение, так как решение первой задачи - определе­ние программного управления, а второй - управление с обратной свя­зью.

Программное управление - это управление в виде функции от времени, управление с обратной связью - управление в виде функции от фазовых координат.

Системы с оптимальным программатором называют оптимальными по режиму управления, а системы с оптимальным регулятором - оптималь­ными по переходному режиму. Система называется оптимальной, если оптимальными являются программатор и регулятор.

1.4.2.Общая постановка задачи оптимального управления

Задача синтеза оптимальных систем управления формулируется как вариационная задача. Пусть уравнение объекта задается в нор­мальной форме

. (1.207)

или в скалярном виде

,

– фазовый вектор;

– вектор управления.

На управление и фазовый вектор могут быть наложены ограниче­ния в виде уравнений связи

,

или в виде включения в множества

, (1.208)

где U_t, X_t, - некоторые заданные множества, зависящие от времени. Причем

,

т.е. U_t - подмножество r-мерного пространства;

X_t - подмножество n-мерного пространства.

Краевые (граничные) условия - ограничения на фазовый вектор в на­чальный t₀ и конечный t_f моменты времени:

. (1.209)

Вектор X(to) называют левым, а вектор X(t_f) - правым концом траектории.

Критерий оптимальности, являющийся числовым показателем каче­ства системы, задается в виде функционала

J=J[u(t),x(t)]. (1.210)

Задача оптимального управления формулируется следующим обра­зом: при заданных уравнении объекта управления (1.207), ограничениях (1.208) и краевых условиях (1.209) требуется найти такие программное управление U*{t) или управление с обратной связью U*[X(t),t] и фа­зовую траекторию X*(t), при которых критерий (1.210) принимает мини­мальное {или максимальное) значение.

Управления U* (t), U*[X(t),t] и траектория X*(t) называются оптимальными.

Классификация задач оптимального управления

По виду ограничения разделяют задачи оптимального управле­ния:

классического типа, когда ограничения задаются в виде ра­венства

;

неклассического типа, когда ограничения задаются в виде неравенств

.

Задачи неклассического типа можно преобразовать к задачам классического типа введением дополнительных переменных.

По виду краевых условий различают задачи:

- с фиксированными (закрепленными) концами, когда каждое из множеств Xo,X_f состоит из одной точки [X (t₀) =X₀;X (t_f) =X_f;X₀,X_f - за­данные точки];

- с подвижным правым концом (X_f состоит более, чем из одной точки), с подвижным левым концом (Х₀ состоит более, чем из одной точки), с подвижными концами (оба конца подвижны);

- со свободным правым концом (X_f совпадает со всем фазовым пространством, т.е. на правый конец никаких ограничений не наложе­но).

По времени начала и окончания процесса различают задачи:

- с фиксированным временем, когда начальный t₀ и конечный t_f моменты времени фиксированы;

- с нефиксированным временем, когда один из моментов времени t₀ или t_f не фиксирован.

По критерию оптимальности различают:

- задачу Больца; при этом критерий имеет вид

,

- задачу Лагранжа; при этом критерий имеет вид

,

- задачу Майера; при этом критерий имеет вид

.

Задача Майера в частном случае, когда функционал имеет вид J=g₀[X(t_f),t_f] называется задачей терминального управления, когда функционал имеет вид J=[t_f-t₀] - задачей максимального (оптимально­го) быстродействия.

Путем преобразования переменных можно перейти от одной задачи к другой, в этом смысле они эквивалентны.

1.4.3.Метод классического вариационного исчисления (метод множителей Лагранжа)

Понятия вариационного исчисления.

Переменная величина J[X(t)] называется функционалом, завися­щим от функции X(t), если каждой функции X(t) (из некоторого класса функций) соответствует число J.

Аналогично можно определить функционалы, зависящие от не­скольких функций.

Функционал J[X(t)] достигает на X*{t) минимума, если его зна­чение на любой близкой к X*(t) кривой X(t} не менее, чем J[X*(t)], т.е.

.

Аналогично определяется кривая, на которой реализуется макси­мум. В этом случае для всех кривых, близких к X*(t).

Введем понятие близости кривых. Кривые X(t) и близки в смысле близости нулевого порядка, если разность мала. Кривые X(t) и близки в смысле 1-го порядка, если малы разности и ,и, наконец, указанные кривые близки в смысле k-го порядка, если

где - производные i-го порядка;

x - достаточно малое число

На рис.1.2представлены кривые, близкие в смысле нулевого и первого порядка соответственно.

Рис.2.Кривые близкие в смысле нулевого (а) и первого (б) порядков.

 

Если функционал J[X(t)] достигает на кривой X* (t) минимума (максимума) по отношению ко всем кривым, близким к X*(t) в смысле близости нулевого порядка, то такой минимум (максимум) называется сильным.

Если же этот функционал достигает минимума (максимума) лишь по отношению к кривым, близким к X*(t) в смысле близости 1-го по­рядка, то такой минимум (максимум) называют слабым.

Разность функций называют вариацией аргумента X(t) функционала J[X(t)].

Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера

Исследуем на экстремум функционал

, (1.211)

где - непрерывная и трижды дифференцируемая функция своих аргументов.

Искомая функция, для которой J[X(t)] принимает экстремальное значение, удовлетворяет краевым условиям

X(t₀)=X₀; X(t_f)=X_f. (1.212)

Задача о нахождении экстремума функционала (1.211) при условиях (1.212), в которой X₀, X_f - заданные числа, называется вариационной задачей с закрепленными концами. Непрерывно дифференцируемые функции X(t), определенные на [t₀,t_f] и удовлетворяющие условиям (1.212), называются допустимыми функциями.

Допустим, решение этой задачи - X*(t). Тогда возьмем некото­рую функцию X(t) и составим параметрическое семейство кривых

, (1.213)

где a - некоторое число.

Закрепим концы кривых этого семейства в концевых точках:

X(t₀,a)=X₀; X(t_f,a)=X_f. (1.214)

Подставим выражение (1.213) в функционал (1.211) с учетом опреде­ления вариации и ее производной

, (1.215)

получим

. (1.216)

В связи с нашим предположением, что X*(t) - решение задачи (1.211), (1.212), то J(a) имеет экстремум при a=0, так как X (t,0}=Х*(t). Тогда можно использовать необходимое условие экстремума функции одной переменной:

,

из которого после подстановки в него (1.216) получим

.

Используя (1.213) и (1.216) представим это уравнение в виде

. (1.217)

После интегрирования по частям 2-го слагаемого с учётом того, что имеем:

.

Используя краевые условия (1.214) и подставляя это выражение в (4.11), получим окончательно

. (1.218)

В выражении (1.218) под интегралом стоит произведение вариации 3x(t) r, которая является произвольной величиной на (а, b) и некоторая функция

,

заданная на функции , доставляющей экстремум функционалу (1.211).

Тогда в соответствии с основной леммой вариационного исчисления из (1.218) следует, что

, (1.219)

которое выполняется на экстремалях X*(t). Действительно, пусть

, (1.220)

на отрезке [t₁, t₂] Î [t₀, t_f ] и сохраняет на нем знак. Тогда в силу произвольности выбора , а, следовательно и dx(t), выберем dx(t) такую, чтобы она сохраняла знак на [t₁, t₂] и dх (t) =0 при t Î [t₀, t₁] и t Î [t₂,t_f]. Тогда интеграл (1.218) будет отличен от нуля, а, следова­тельно, предположение (1.220) неверно.

Итак, мы получили необходимое условие экстремума задачи (1.211), (1.212) в виде уравнения (1.219), которое носит имя Эйлера.

В развернутом виде (после дифференцирования по t) это уравнение принимает вид с учетом

,

. (1.221)

Его решения x(t,C₁,C₂), где C₁,C₂ - постоянные, определяемые граничными условиями (1.212), называется экстремалями.

Если функционал (1.211) содержит , что встречается в задачах управления, то следует рассмотреть задачу поиска экстремума функ­ционала

, (1.222)

при выполнении граничных условий

. (1.223)

Повторяя все действия, выполненные при выводе уравнения Эйле­ра, нетрудно показать, что экстремум функционала (1.222) является решением уравнения Эйлера-Пуассона:

. (1.224)

Решение этого уравнения х(t,C₁, C₂, С₃, С₄) содержит постоянные d, которые определяются из граничных условий (1.223).

Задача с подвижными концами и нефиксированным временем начала и конца

Если концы подвижны, а время зафиксировано, то в этом случае вариационная задача состоит в определении экстремума функционала

. (1.225)

Как и ранее, составим параметрическое семейство кривых (1.213), причем концы этих кривых принадлежат кривым X(t₀) и X(t_f):

. (1.226)

Подставляя (1.213) в (1.225) и учитывая (1.215), получим

. (1.227)

Используя, как и ранее, необходимые условия экстремума и тот факт, что экстремум J достигается на х*(t)=x(t,0), получим уравнение

,

в котором, интегрируя по частям второе слагаемое под интегралом и используя (2,3) и (1.216), получим

. (1.228)

Так как функция x*(t) должна доставлять экстремум при фиксиро­ванных х* (t₀) и x*(t_f), то она должна удовлетворять уравнению Эйле­ра

, (1.229)

а в силу произвольности и и их независимости, то и уравнениям

, (1.230)

которые называются условиями трансверсальности. Если в вариа­ционной задаче оставить свободными также t₀, t_f, то функционал (1.225) принимает вид

. (1.231)

Проделав выкладки как и ранее, но учитывая, что g₀ является функцией t₀, t_f, уравнение (1.228) принимает вид:

(1.232)

.

В силу независимости вариаций и из усло­вий оптимальности х*(t) получим условия (1.229), (1.230) и дополни­тельно к условиям трансверсальности условия

. (1.233)

Уравнение Эйлера-Лагранжа

Рассмотрим задачу Эйлера-Лагранжа, состоящую в отыскании экстремума функционала

, (1.234)

при условиях

; (1.235)

; (1.236)

(1.237)

где все f_i,j_k - дифференцируемые по своим аргументам функции.

В отличие от предыдущих задач на аргументы функционала нало­жены не только краевые условия (1.236), но и дополнительные ограни­чения (связи (1.235), (1.236)) и они уже не являются независимыми. Для решения задачи (1.234)- (1.237) составим функцию Лагранжа:

, (1.238)

где y₀, y_i, l_k- так называемые коэффициенты Лагранжа, причем y₀, l_k - константы, a y_iв общем случае - функция времени (в задачах оптимизации обычно полагают, что y₀=-1).

Задача (1.234)- (2.27} сводится к решению простейшей вариационной задачи:

. (1.239)

Эта задача имеет смысл, если только не все множители y₀, y_i, l_k равны одновременно нулю.

В задаче (1.239) роль аргумента играет вектор у=(x, y, l)^т и в силу (1.219) уравнения Эйлера для всех составляющих вектора у имеют вид

, (1.240)

. (1.241)

Можно проверить, что уравнения (1.241) совпадают с (1.235) и (1.236), поэтому для решения задачи (2. 23)-(1.236) достаточно урав­нений (1.240), ограничений (1.235), (1.236) и краевых условий (1.237).

Уравнения (1.240) называются уравнениями Эйлера-Лагранжа.