Методика изучения нумерации целых неотрицательных чисел

Методика изучения нумерации целых неотрицательных чисел

 

План

1. Подготовительный период к изучению нумерации чисел (вводные уроки математики).

2. Методика изучения нумерации чисел первого десятка.

3. Методика изучения нумерации чисел в пределах 100:

а) числа от 11 до 20;

б) числа от 21 до 100.

4. Методика изучения нумерации чисел в пределах 1000.

5. Методика изучения нумерации многозначных чисел.

 

Из курса математики известно, что системой счисления называют язык для наименования чисел, их записи и выполнения действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах один и тот же знак (из принятых в данной системе) может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.

Например, в числе 29 цифра 9 обозначает количество единиц, а в числе 97 – количество десятков.

В непозиционных системах каждый знак обозначает одно и то же число, независимо от позиции (например, римские цифры: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000).

Из позиционных систем самой распространенной является десятичная (сложилась на основе группировки десятков в 6 в. н.э. в Индии). В десятичной системе счисления для записи чисел используют 10 цифр (знаков): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуют конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 2745 является краткой записью числа: 2·10³+7·10²+4·10¹+5·10⁰. Числа 10⁰=1, 10¹, 10², 10³ называют разрядными единицами первого, второго, третьего, …, (п-1) разряда. При этом 10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10.

Умения, а затем и навыки, читать и записывать числа в десятичной системе счисления формируется у младших школьников поэтапно и тесно связано с такими понятиями, как число, цифра, разряд, класс, разрядные единицы, разрядные десятки, разрядные сотни и т.д., разрядные слагаемые.

Рассмотрим традиционный подход к изучению нумерации чисел, который нашел отражение в учебниках М1М, М2М, М3М, М4М. напомним, что данный курс построен концентрично, т.е. в нем выделены концентры «Десяток», «Сотня», Тысяча», «Многозначные числа».

 

3 1

1+3=4

1 3

2+2=4

2 2

 

После разложения предметов на две группы устанавливается количество элементов в каждом подмножестве путем пересчета. Количество элементов в каждой группе обозначается цифрой и обобщается: как можно получить число 4? Действия математизируются.

Затем состав числа закрепляется в процессе проведения дидактических игр («Наряди елочку», «Засели домик»).

После изучения чисел от 1 до 10 вводится число 0. Число 0 является характеристикой пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента. Для того чтобы учащиеся могли представить себе такое множество, предлагаются упражнения в отсчитывании предметов по одному до тех пор, пока не останется ни одного предмета (облетают листья с ветки, улетают птицы из гнезда, ученик отдает тетради и т.д.).

Например:

- На веточке 3 листочка. Подул ветер и один листочек улетел. Сколько осталось? (3-1=2).

- Увеличилось или уменьшилось количество листочков? (уменьшилось).

- Сколько листочков останется, если упадет еще один? (число листочков уменьшится еще на один. 2-1=1).

- Сколько листочков останется, если и последний улетит? (нисколько, 0, 1-1=0).

- Число, которое записывают при помощи цифры 0, показывает, что ни одного листочка не осталось.

Таким образом, 0 вводится как результат вычитания.

Другой методический прием связан с установлением соответствия между числовой фигурой (или рисунком) и цифрой, обозначающей количество предметов.

 

3 5 0

	●		●●		● ● ●		● ● ● ●

 

1 2 3 4 0

Этим подходом можно воспользоваться до изучения сложения и вычитания, на этапе формирования представлений о количественном числе.

Возможен и такой подход, при котором 0 является не только результатом вычитания, но выступает компонентом действия сложения. Для этой цели предлагается задание:

Что изменилось?

 

 

Дети обычно отвечают: ничего не изменилось.

- Может, кто-нибудь догадается, какую математическую запись можно использовать для этого случая? (5+0=5, 5-0=5).

После знакомства с числом 0 переходят к его сравнению с другими числами. Например, опираясь на решение задачи про листья, выясняют, сколько листьев было, сколько упало, больше или меньше листьев стало после того, как один упал. Результат сравнения записывают:

2<3, 1<2, 0<1.

На основе таких упражнений устанавливают, что в ряду чисел 0 должен стоять перед числом 1.

 

Общие положения.

Известно, что наряду с концентрами «Десяток» и «Сотня» в начальном курсе математики выделяется концентр «Тысяча». Это объясняется тем, что при изучении трехзначных чисел учащиеся усваивают качественно новые сведения из области нумера­ции чисел и очень важные алгоритмы выполнения арифметических операций.

Изучая нумерацию трехзначных чисел, ученики знакомятся с новым разрядом — сотен. Тем самым завершается формирование класса единиц. Это позволяет в дальнейшем делать более крупные шаги в изучении нумерации: числа, большие тысячи, будут вводиться не по разрядам, а по классам.

При изучении концентра «Тысяча» расширяются знания учащихся об операциях сложения и вычитания. Они усваивают приемы письменного сложения и вычитания, которые впоследствии используются и на множестве многозначных чисел.

Нумерация чисел

При изучении нумерации чисел в пределах десяти естественными наглядными пособиями были множества реальных предметов, более абстрактные множества — палочек, геометрических фигур. Изучение нумерации в пределах ста потребовало более сложных пособий, например, таких, как абак. Однако для того чтобы изобразить, например, число 500, потребовался бы абак с 50 карманами. Поэтому при изучении нумерации сложения и вычитания в пределах тысячи используется позиционный абак. Особенность его состоит в том, что наглядный материал, изображающий единицы, десятки и сотни, имеет один и тот же вид — это или косточки счетов, или квадраты, или палочки. Зато карманы абака — их всего три - выполняют разные функции. Палочка, находящаяся в крайнем левом кармане (рис. 30), означает единицу.

Если палочку положить в средний карман, она будет означать десяток, а если в крайний правый, - то сотню. Заметим, что принцип изображения чисел на непозиционном абаке был другим: карманам не приписывалось какое-либо определенное значение, а различались символы, которыми их заполняли.

Вместо абака, изображенного на рисунке, могут использоваться абаки других конструкций

 

Желательно, чтобы каждый учащийся имел абак для индивидуальной работы.

Другим важным наглядным пособием, используемым в концентре «Тысяча», является арифметический «ящик» или его модификации

Такой ящик представляет собой набор элементов трех видов: кубики для изображения единиц; бруски, состоящие из 10 кубиков и служащие для обозначения десятков; пластины, состоящие из 10 брусков, обозначающих сотни. Десять пластин составляют куб — символ тысячи.

Для демонстраций у доски и индивидуальной работы удобен более простой вариант арифметического «ящика». Роль единиц играют квадраты, десятков — полоски, состоящие из 10 квадратов. Большие квадраты, состоящие из 10 полосок или 100 маленьких квадратов, служат для изображения сотен. Эти материалы могут быть изготовлены из плотной бумаги или картона.

Нумерация чисел от 10 до 100 изучалась в три приема: нумерация чисел второго десятка, круглых десятков, остальных двузначных чи­сел. Это объяснялось тем, что образование названий чисел второго десятка, круглых десятков и остальных двузначных чисел имеет
особенности.

Названия трехзначных чисел образуются либо из названия круглых сотен, либо из названия круглых сотен и двузначных или однозначных чисел в сочетании. Поэтому знакомство учащихся с нумерацией трехзначных чисел осуществляется в два приема. Сначала школьники учатся называть и записывать трехзначные числа, оканчивающиеся нулями, а потом остальные трехзначные числа.

Круглые сотни. Сущность методики знакомства учащихся с числами этого вида состоит, во-первых, в том, чтобы показать им, что считать сотнями можно так же, как единицами и десятками, и что любое число сотен в пределах десяти имеет особое название.

Вначале учащиеся подсчитывают количество квадратов, укладываемых по одному в наборное полотно: «Один, два,..., девять».

Затем в наборное полотно по одной укладываются полоски («десятки»). По мере заполнения полотна учащиеся считают: «Один десяток квадратов, два десятка квадратов,..., девять десятков квад­ратов». Обращается внимание, что количество квадратов можно называть по-другому: «Десять квадратов, двадцать,..., девяносто квадратов».

Рассматривается модель новой счетной единицы — больший квадрат (пластинка), состоящий из 10 полосок. Так как каждая полоска содержит 10 квадратов-единиц, то констатируется, что пластинка содержит 100 таких квадратов. Поэтому, когда в наборное полотно пластинки укладываются по одной, школьники считают: «Одна сотня квадратов, две сотни квадратов,..., девять сотен квадратов». Учитель говорит, что число квадратов в каждом из этих случаев можно назвать: сто, двести,..., девятьсот. Обращается внимание учащихся на особенности и сходство в названиях сотен: две-сти, три-ста, четыре-ста, пять-сот,..., девять-сот.

Одновременно с названием круглых сотен выполняются операции сложения и вычитания: 5 сот. + 3 сот.= 8 сот., 7 сот.—2 сот. = 5 сот. и т. д. С помощью наглядных пособий учащиеся учатся отвечать на вопросы: «Сколько десятков в сотне,..., какое число соответствует 20 десяткам, 50 десяткам, 6 сотням?» и т. д.

Устная нумерация трехзначных чисел. Параллельно с заучиванием учащимися названий круглых сотен начинается рабо­та над устной нумерацией остальных трехзначных чисел. Это свя­зано с тем, что при счете сотнями у учащихся может сложиться впечатление, что за числом сто, например, непосредственно следует двести, за двести — триста и т. д. Появление названий трехзнач­ных чисел происходит «естественно», при выполнении учениками упражнений такого вида: «Назови число квадратов, изображенных на наборном полотне»

 

Учащиеся отвечают: «сто и два­дцать три», «триста и сорок», «двести и пять». Предлагается называть число квадратов без использования союза «и»: сто двадцать три, триста сорок и т. д.

Затем предлагаются более сложные упражнения: необходимо назвать число, состоящее из 2 сотен и 5 единиц; 7 сотен и 8 десятков; 9 сотен, 2 десятков и 6 единиц и т. д. По возможности эти упражнения выполняются без использования наглядных пособий.

Одновременно учащимся предлагаются упражнения другого рода. Они отвечают на вопросы: «Сколько сотен, единиц и десятков содержится в числах пятьсот сорок три, двести шестьдесят один, шестьсот два, сто семьдесят?»

Они также должны выполнять разнообразные упражнения.

· Назови по порядку числа от девяносто семи до ста четырех, от ста девяносто девяти до двухсот трех и т. д.

· Назови число, следующее за числом триста девяносто девять; число, меньшее на единицу, чем пятьсот; большее на два, чем восемьсот девяносто девять, и т. д.

· Назови числа, которые находятся между числом триста двадцать шесть и триста тридцать один, и т. д.

· Для работы над этими упражнениями используются модели числового луча — числовая лента, рулетка.

Письменная нумерация трехзначных чисел. Работа над устной нумерацией проводится с опорой на арифметический ящик (его модификации). При изучении письменной нумерации используется позиционный абак. Прежде чем приступить к изучению записи трехзначных чисел, учащиеся учатся изображать на абаке число элементов некоторого множества, и наоборот, определять число элементов множеств по изображению на абаке. В качестве множеств могут использоваться множества квадратов, представленных отдельными квадратами, полосками и пластинками.

Обучение работе с абаком сводится к формированию у учащихся достаточно простого алгоритма. В абаке есть спицы. Крайняя справа предназначена для изображения количества единиц, т. е. отдельных квадратов. На нее нанизывается столько косточек, сколько отдельных квадратов изображено. На вторую спицу нанизываются косточки, которые показывают, сколько полосок (десятков), содер­жит данное число. Наконец на третью спицу — косточки, соответствующие сотням (пластинкам) данного числа. Все эти пояснения следуют по ходу изображения числа (квадратов) на абаке.

Например, на абаке нужно отложить число 567. Для наглядности его можно представить в виде множества квадратов (пластинок, полосок и отдельных квадратов). Затем, в соответствии с числом единиц (квадратов), десятков (полосок), сотен (пластинок), заполняются спицы абака

В дальнейшем при выполнении подобных упражнений («Изобразите на абаке число») можно не представлять число в наглядном виде.

Полезны упражнения и другого вида: назвать число, изображенное на абаке. Операции рассмотренного алгоритма выполняются в обратном порядке: сначала подсчитывается количество косточек на спице сотен и называется число сотен в числе, затем — количество косточек на спице десятков и называется число десятков и т. п. Рядом с соответствующими спицами абака записываются цифры.

Учащимся предлагается записывать в тетради цифры, соответствующие показаниям абака, в таком же порядке (слева направо), в каком расположены на абаке спицы сотен, десятков и единиц. Каждую цифру пишут в отдельную клетку тетради. Так появляются записи: 667, 445 и т. д. Трехзначные числа на первых порах читаются с опорой на абак.

Поясним последнее на примере. На доске записывается число 327. Требуется объяснить, что означает эта запись.

Учитель: Что означает цифра 3?

Ученик: Это означает, что на спице сотен три косточки.

Учитель: Что показывают эти косточки?

Ученик: В числе 3 сотни.

Учитель: Что означает цифра 2?

Учитель: Какое же число записано на доске? Ученик: Триста двадцать семь.

С помощью абака рассматривается запись трехзначных чисел особого вида: 200, 209, 290, 400, 470, 407, 500, 505 и т. п. При необходимости снова можно использовать арифметический «ящик».

Например, ставится задача изобразить на абаке и записать число двести. В этом числе 2 сотни, значит, на спице сотен абака откладываются две косточки. Нужно ли откладывать косточки на спице десятков? Очевидно, что нет, так как свободных десятков в числе двести нет. Все они заключены в двух сотнях — двадцать полосок объединены в две пластинки. Такое объяснение позволяет избежать неверной формулировки: «в числе двести нет десятков». Аналогично объясняется отсутствие единиц в разряде единиц числа 200. В соответствии с иллюстрацией на абаке записывается I число 200.

В дальнейшем, когда учащиеся смогут записывать и читать трехзначные числа без опоры на абак, они учатся представлять такие числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Из концентра «Сотня» известно, как на языке математики записывается, что число 46, например, состоит из 4 десятков и 6 единиц: 46 = 40 + 6. Этот способ обобщается для трехзначных чисел: число 256 состоит из 2 сотен, 5 десятков и 6 единиц, поэтому 256 = 200 + 50 + 6. Рассматриваются и более сложные случаи: 206 = 200 + 6, 250 = 200 + 50 и т. д. Одновременно изучаются и случаи вычитания, основанные на знании разрядного состава трехзначного числа: 842 - 2 = 840, 842 - 40 = 802, 842 - 800 = 42, 570 - 70 = 500, 570 - 500 = 70, 409 - 9 = 400, 409 - 400 = 9 и т. д.

При выполнении упражнений такого рода учащиеся, с одной стороны, закрепляют знание разрядного состава и поместного значения цифр в трехзначном числе, с другой,— готовятся к изучению операций сложения и вычитания на множестве трехзначных чисел.

Важную роль в изучении нумерации трехзначных чисел играют составные именованные числа, выраженные в мерах длины, стоимости. Использование таких чисел возможно на любом этапе знакомства учащихся с позиционным принципом нумерации. В частности, использование мер длины может помочь учащимся представлять некоторые трехзначные числа в виде двузначных именованных чисел. Такой прием в дальнейшем используется для вычисления значения сумм и разностей определенного вида. Например, чтобы показать, что число 490 содержит 49 десятков и может быть представлено в виде 49 десятков, рассматривается следующая система упражнений: «Сколько дециметров содержится в 4 м и 9 дм? в 490 см? в 590 см?» и т. д.

Сравнение чисел в пределах 1 000 осуществляется аналогично сравнению чисел в пределах 100. Прежде всего необходимо установить, что всякое трехзначное число, даже самое маленькое, больше любого, даже самого большого, двузначного числа (100 > 99). Этим самым сравнение чисел в пределах 1000 сводится к сравнению трехзначных чисел.

На примерах выясняется, что из двух трехзначных чисел то больше, у которого цифра сотен больше (321 > 285, 505 > 396 и т. п.). Если же цифры сотен двух сравниваемых чисел равны, то сравниваются цифры десятков, и то число больше, у которого цифра десятков больше (485 > 478, 315 > 308 и т. п.). Если же и цифры десятков равны, то сравниваются цифры единиц, и то число больше, у которого цифра единиц больше (576 > 572, 105 > 101 и т. п.).

Два трехзначных числа равны тогда и только тогда, когда цифры их одноименных разрядов (сотен, десятков, единиц) равны (одинаковы).

Описанный алгоритм можно представить (для учителя, конечно) в виде схемы.

Пусть необходимо сравнить два трёхзначных числа:

цифры сотен, десятков и единиц числа А₂

Однако эта схема алгоритма построена нерационально, хотя по дидактическим соображениям более понятна. Циклический характер процесса сравнения отражается в более простой схеме

Введем следующие обозначения: А и В — сравниваемые числа

Этот алгоритм легко обобщается для сравнения двух многозначных чисел: А = а_па_п-₁...а₀, B = b_mb_m- ₁ ...b₁b₀

Методика изучения нумерации целых неотрицательных чисел

 

План

1. Подготовительный период к изучению нумерации чисел (вводные уроки математики).

2. Методика изучения нумерации чисел первого десятка.

3. Методика изучения нумерации чисел в пределах 100:

а) числа от 11 до 20;

б) числа от 21 до 100.

4. Методика изучения нумерации чисел в пределах 1000.

5. Методика изучения нумерации многозначных чисел.

 

Из курса математики известно, что системой счисления называют язык для наименования чисел, их записи и выполнения действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах один и тот же знак (из принятых в данной системе) может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.

Например, в числе 29 цифра 9 обозначает количество единиц, а в числе 97 – количество десятков.

В непозиционных системах каждый знак обозначает одно и то же число, независимо от позиции (например, римские цифры: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000).

Из позиционных систем самой распространенной является десятичная (сложилась на основе группировки десятков в 6 в. н.э. в Индии). В десятичной системе счисления для записи чисел используют 10 цифр (знаков): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуют конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 2745 является краткой записью числа: 2·10³+7·10²+4·10¹+5·10⁰. Числа 10⁰=1, 10¹, 10², 10³ называют разрядными единицами первого, второго, третьего, …, (п-1) разряда. При этом 10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10.

Умения, а затем и навыки, читать и записывать числа в десятичной системе счисления формируется у младших школьников поэтапно и тесно связано с такими понятиями, как число, цифра, разряд, класс, разрядные единицы, разрядные десятки, разрядные сотни и т.д., разрядные слагаемые.

Рассмотрим традиционный подход к изучению нумерации чисел, который нашел отражение в учебниках М1М, М2М, М3М, М4М. напомним, что данный курс построен концентрично, т.е. в нем выделены концентры «Десяток», «Сотня», Тысяча», «Многозначные числа».