Задача 1. Расчет на прочность балки на двух опорах по методу

Утверждено на заседании

кафедры сопротивления

материалов 23 ноября 2007 г.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 

по выполнению расчетно-графической работы

по сопротивлению материалов

«РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ»

 

 

Ростов-на-Дону

 

УДК 620.178.32 (076.5)

 

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы

по сопротивлению материалов «Расчет балок на прочность». – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2008. – 20 с.

 

Содержат основные теоретические положения, примеры и порядок

выполнения студентами расчетно-графической работы по сопротивлению

материалов «Расчет балок на прочность».

Рассчитаны на студентов очного обучения.

 

Составители: канд. техн. наук, доц. В.П. Бондаренко

канд. физ.-мат. наук, доц. Г.П. Стрельников

 

Редактор Т.М. Климчук

Темплан 2008г., поз. 136

Подписано в печать 16.04.08. Формат 60х84/16.

Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд.л. 1,2.

Тираж 200 экз. Заказ

 

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета.

344022, Ростов-на-Дону, Социалистическая, 162.

 

 

С Ростовский государственный

строительный университет, 2008

 

 

В расчетно-графической работе «Расчет балок на прочность» студенту предлагается выполнить расчет двух типов балок различной формы поперечного сечения.

В настоящем руководстве рассматриваются примеры решения задач в объеме, требуемом методическими указаниями.

 

Задача 1. Расчет на прочность балки на двух опорах по методу

Допускаемых напряжений

 

Исходные данные:

с = 2 м; b = 4 м; а = 1 м;

q = 10 кН/м; m =19 кНм; F =12 кН;

b = h/b = 2, 5

Рис.1

 

Для заданной расчетной схемы балки на двух опорах (рис.1) требуется:

 

1.Определить опорные реакции.

 

2.Построить эпюры поперечных сил (Q) и изгибающих моментов(M).

 

3.Из условия прочности по методу допускаемых

нормальных напряжений подобрать размеры

прямоугольного сечения (рис.2) деревянной балки

при заданных соотношениях b = h / b.

Принять допускаемое нормальное напряжение

[ s ]=12МПа.

 

4.Проверить прочность подобранного сечения по Рис.2

касательным напряжениям, приняв [ t ]=2МПа.

 

5.Для опасных сечений построить эпюры нормальных и

касательных напряжений по высоте балки.

 

6.Для этой же балки подобрать круглое поперечное

сечение диаметром d (рис.3), приняв допускаемое

нормальное напряжение [ s ]=12МПа.

 

Рис.3

 

 

Решение

Определение опорных реакций

Для балки, изображенной на рис.4, составляем три уравнения статики:

 

S F _x = 0: - H_A= 0; H_A= 0.

S M _A = 0: F ·2 - q ·4·2 – m + R_B ·5=0;

RB = 15 кН.

12·2 - 10·8 – 19 + R _B ·5=0;

-75 + R _B ·5=0;

S M _B = 0: - F ·7 - R_A ·5 + q ·4·3 - m =0;

RA = 37 кН.

- 12·7 - R_A ·5 + 10·12 -19 =0;

- 185 - R_A ·5=0;

 

Ком пунктиром показаны положения растянутых волокон.

Построение эпюр нормальных и касательных напряжений

В опасных сечениях

В опасном сечении балки M_max =24 кНм=2400 кНсм, растянуты верхние волокна (см. эпюру изгибающих моментов), поэтому нормальные напряжения в точках, лежащих на линии 1 – 1 – положительные, а в точках, лежащих на линии 3 – 3 – отрицательные (рис.6).

 

Напряжение в точках линии 1 – 1

11,6 МПа.

 

Напряжение в точках линии 3 – 3

–11,6 МПа.

 

Используя полученные данные, строим эпюру нормальных напряжений по высоте балки, которая графически изображается наклонной прямой линией (рис.6).

Опасными точками поперечного сечения называются точки, напряжения в которых достигают наибольших по величине значений.

 

В нашей задаче точки, лежащие на линиях 1 – 1 и 3 – 3, являются опасными по нормальным напряжениям. Обратите внимание, что они наиболее удалены от нейтральной линии (ось y).

 

 

Рис.6

 

Переходим к построению эпюры касательных напряжений. Как было показано выше, максимальные касательные напряжения возникают в точках сечения, лежащих на линии 2 – 2

.

 

В точках сечения, лежащих на линиях 1 – 1 и 3 – 3, касательные напряжения равны 0

.

Используя полученные данные и учитывая, что касательные напряжения по высоте поперечного сечения изменяются по параболическому закону, строим эпюру касательных напряжений, как это показано на рис.6

Точки, лежащие на линии 2 – 2, являются опасными точками по касательным напряжениям.

 

6. Подбор круглого сечения деревянной балки по методу допускаемых напряжений (рис.7)

Момент сопротивления круга диаметром d определяется по формуле

.

Приравнивая , получаем .

Из полученного соотношения определяем размер d Рис.7

d 27,316 cм.

Окончательно диаметр круглого сечения балки, с учетом технологических требований, принимаем

d = 27, 5 cм.

Проверим выполнение условия прочности. С этой целью определяем фактический момент сопротивления

 

204 0,69 см³=2040 см³.

 

Находим максимальное нормальное напряжение

1,17 6 =11,8 МПа < 12 МПа.

Условие прочности выполняется.

 

Решение

 

Расчет балки с промежуточным шарниром проведем методом составления поэтажной схемы (рис.9)

 

 

 

 

Рис.9

 

Для этого балка разрезается по промежуточному шарниру (шарнирам) и выделяются основная и подвесные балки.

Основной является та балка, которая может самостоятельно нести внешнюю нагрузку после разрезания по промежуточному шарниру (балка AB на рис.9).

Подвесная же балка не может работать самостоятельно вследствие недостаточности связей, закрепляющих ее от смещения как абсолютно твердого тела (балка BC на рис. 9).

Расчет балок производят отдельно, начиная с подвесных балок. При последующем расчете основной балки, кроме заданных внешних нагрузок, к ней должны быть приложены реакции взаимодействия с подвесными балками.

 

1.Определение опорных реакций и построение эпюр Q и M подвесной балки BC (рис.10)

a) Определение опорных реакций

S F _x = 0: - H_B= 0; H_B= 0.

 

S M _B = 0: - q ·3·1,5 + R_С ·2+ m =0;

RС = 36 кН.

- 20·4,5 + R_С ·2+ 18 =0;

-72 + R_С ·2=0;

 

S M_C= 0: - R_B ·2 + q ·3·0,5 + m =0;

- R_B ·2 + 20·1,5 +18 =0;

RB = 24 кН.

- R_B ·2 +48 =0;

 

Рис.10

 

Напряжений

 

В опасном сечении по нормальным напряжениям (сечение A на рис.12)

92 кНм=9200 кНсм.

Из условия прочности (1) определяем требуемую величину момента сопротивления

= 575 см³;

 

Рис.12

Вначале проведем подбор двутаврового сечения (рис.13) (для четных схем).

По сортаменту прокатной стали ближайшим к является значение момента сопротивления = 597 см³ , которое соответствует двутавру №33.

Итак, для двутавра №33 фактический момент сопротивления 597см³.

 

 

Рис.13

Проверяем выполнение условия прочности:

15,4 104 154 МПа < [ s ]=160 МПа.

Условие прочности выполняется. Балка недогружена. Выбираем двутавр №33.

 

Замечание. Метод расчета по допускаемым напряжениям допускает пере-

грузку балок в пределах 5 %.Т.е. величина перегрузки

5 %.

 

Проведем теперь подбор сечения, состоящего из двух швеллеров (рис.14) (для нечетных схем).

Момент сопротивления относительно оси y

 

, но , поэтому

 

.

Здесь с индексом “ шв” обозначается момент инерции и момент сопротивления одного швеллера, а без индекса - момент инерции и момент сопротивления двух швеллеров.

Рис.14 Приравнивая и , получаем, что момент со

противления одного швеллера должен удовлетворять условию

 

см³.

По сортаменту прокатной стали (прил.2) выбираем швеллер № 27, т.к. его момент сопротивления 308 см³, тогда фактический момент сопротивления

 

=2·308 см³=616 см³.

 

Для выбранного сечения проверяем выполнение условия прочности:

 

14,9 4 149 МПа < [ s ] =160 МПа.

Условие прочности выполняется. Выбираем сечение из швеллеров № 27.

Напряжениям

Касательные напряжения (t) в произвольной точке поперечного сечения определяются по формуле Д.И. Журавского

, (3)

где Q - абсолютная величина поперечной силы (определяется по эпюре

поперечных сил);

- абсолютное значение статического момента площади отсеченной

части фигуры;

b (z) - толщина поперечного сечения на расстоянии z от оси y;

- осевой момент инерции.

Максимальные касательные напряжения определяются в опасном сечении (Q = Q _max) в точках поперечного сечения, лежащих на оси y, поэтому b (z)= d для двутавра и b (z)=2 d для двух швеллеров. Отсеченная часть - верхняя половина поперечного сечения, поэтому = - для двутавра и =2 -для сечения из двух швеллеров. ( - статический момент половины сечения. Для прокатных профилей эта величина приводится в сортаменте).

Условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде

[ t ], (4)

где [ t ] - допускаемое касательное напряжение. Для стальных элементов

[ t ]= 0, 6[ s ].

В нашем примере опасным сечением по касательным напряжениям является сечение А (рис.12)

Q _max = 44 кН

Из сортамента прокатной стали для двутавра №33 определяем следующие значения:

h =33 см; b =14 см; d =0,7 см; t =1,12 см; J _y=9840 см⁴; 339 см⁴.

Проверяем выполнения условия прочности (4)

2,16 55 = 21,7 МПа < 96 МПа.

Условие прочности по касательным напряжениям выполняется.

Определяем максимальное касательное напряжение для сечения из двух швеллеров №27. Из сортамента прокатной стали для швеллера №27 определяем следующие значения:

 

h =27 см; b =9,5 см; d =0,6 см; t =1,05 см; J _y=4160 см⁴; 178 см⁴.

= 1,56 89 =15,7 МПа < 96 МПа.

 

Условие прочности по касательным напряжениям для двух швеллеров №27 выполняется.

Утверждено на заседании

кафедры сопротивления

материалов 23 ноября 2007 г.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 

по выполнению расчетно-графической работы

по сопротивлению материалов

«РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ»

 

 

Ростов-на-Дону

 

УДК 620.178.32 (076.5)

 

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы

по сопротивлению материалов «Расчет балок на прочность». – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2008. – 20 с.

 

Содержат основные теоретические положения, примеры и порядок

выполнения студентами расчетно-графической работы по сопротивлению

материалов «Расчет балок на прочность».

Рассчитаны на студентов очного обучения.

 

Составители: канд. техн. наук, доц. В.П. Бондаренко

канд. физ.-мат. наук, доц. Г.П. Стрельников

 

Редактор Т.М. Климчук

Темплан 2008г., поз. 136

Подписано в печать 16.04.08. Формат 60х84/16.

Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд.л. 1,2.

Тираж 200 экз. Заказ

 

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета.

344022, Ростов-на-Дону, Социалистическая, 162.

 

 

С Ростовский государственный

строительный университет, 2008

 

 

В расчетно-графической работе «Расчет балок на прочность» студенту предлагается выполнить расчет двух типов балок различной формы поперечного сечения.

В настоящем руководстве рассматриваются примеры решения задач в объеме, требуемом методическими указаниями.

 

Задача 1. Расчет на прочность балки на двух опорах по методу

Допускаемых напряжений

 

Исходные данные:

с = 2 м; b = 4 м; а = 1 м;

q = 10 кН/м; m =19 кНм; F =12 кН;

b = h/b = 2, 5

Рис.1

 

Для заданной расчетной схемы балки на двух опорах (рис.1) требуется:

 

1.Определить опорные реакции.

 

2.Построить эпюры поперечных сил (Q) и изгибающих моментов(M).

 

3.Из условия прочности по методу допускаемых

нормальных напряжений подобрать размеры

прямоугольного сечения (рис.2) деревянной балки

при заданных соотношениях b = h / b.

Принять допускаемое нормальное напряжение

[ s ]=12МПа.

 

4.Проверить прочность подобранного сечения по Рис.2

касательным напряжениям, приняв [ t ]=2МПа.

 

5.Для опасных сечений построить эпюры нормальных и

касательных напряжений по высоте балки.

 

6.Для этой же балки подобрать круглое поперечное

сечение диаметром d (рис.3), приняв допускаемое

нормальное напряжение [ s ]=12МПа.

 

Рис.3

 

 

Решение

Определение опорных реакций

Для балки, изображенной на рис.4, составляем три уравнения статики:

 

S F _x = 0: - H_A= 0; H_A= 0.

S M _A = 0: F ·2 - q ·4·2 – m + R_B ·5=0;

RB = 15 кН.

12·2 - 10·8 – 19 + R _B ·5=0;

-75 + R _B ·5=0;

S M _B = 0: - F ·7 - R_A ·5 + q ·4·3 - m =0;

RA = 37 кН.

- 12·7 - R_A ·5 + 10·12 -19 =0;

- 185 - R_A ·5=0;