Подбор прямоугольного сечения деревянной балки по методу

допускаемых напряжений

 

Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям по методу допускаемых напряжений имеет вид:

s _max [ s ] (1)

В этой формуле:

s _max - максимальное нормальное напряжение;

M_max - максимальное по абсолютной величине значение изгибающего

момента (определяется по эпюре изгибающих моментов);

- момент сопротивления относительно оси y;

[ s ] - допускаемое нормальное напряжение.

 

Сечение, в котором изгибающий момент принимает максимальное по абсолютной величине значение, называют опасным сечением балки по нормальным напряжениям.

 

Из условия прочности (1) определяется требуемая величина момента сопротивления по формуле:

. (2)

Размеры сечения подбираются из условия: .

 

В опасном сечении по нормальным напряжениям M _max=24 кНм=2400кНсм, растянуты верхние волокна (см. эпюру изгибающих моментов).

Из условия прочности определяем требуемую величину момента сопротивления

2000 см³.

Для прямоугольного поперечного сечения момент сопротивления выражается через размеры h и b (рис.5)

.

Используя заданное в условии соотношение

b = h/b = 2,5 выражаем момент сопротивления через один из размеров, например b (h = 2,5 b),

 

.

 

Рис.5

Приравнивая , получаем 2000 см³.

Из полученного соотношения определяем размер b

b 12,4 35 cм=12,4 см.

Принимаем b =12,5 см. Тогда h = 2,5 b = 2,5·12,5 см= 31,2 5 см =31, 5 см.

 

Замечание. Размеры сечений деревянных элементов, согласно требованиям

технологии, округляются до размера кратного 0,5см.

Проверяем выполнение условия прочности. С этой целью определяем фактический момент сопротивления

= 206 7,187 см³=2070 см³.

Находим максимальное нормальное напряжение

 

1,15 94 11,6 МПа < [ s ]=12 МПа.

Условие прочности выполняется.

 

Проверка прочности подобранного сечения балки по касательным напряжениям

 

Сечение, в котором поперечная сила принимает максимальное по абсолютной величине значение, называют опасным сечением балки по касательным напряжениям.

Максимальные касательные напряжения возникают в опасном сечении балки в точках сечения, лежащих на нейтральном слое и для прямоугольного сечения вычисляется по формуле

,

где A = bh – площадь поперечного сечения.

Условие прочности записывается в виде

[ t ].

Здесь Q - максимальное по абсолютной величине значение поперечной си-

лы (определяется по эпюре поперечных сил);

[ t ] - допускаемое касательное напряжение.

При принятых размерах сечения b =12,5 см, h = 31, 5 см.

[ t ] =2МПа.

Условие прочности по касательным напряжениям выполняется.

 

 

Построение эпюр нормальных и касательных напряжений

В опасных сечениях

В опасном сечении балки M_max =24 кНм=2400 кНсм, растянуты верхние волокна (см. эпюру изгибающих моментов), поэтому нормальные напряжения в точках, лежащих на линии 1 – 1 – положительные, а в точках, лежащих на линии 3 – 3 – отрицательные (рис.6).

 

Напряжение в точках линии 1 – 1

11,6 МПа.

 

Напряжение в точках линии 3 – 3

–11,6 МПа.

 

Используя полученные данные, строим эпюру нормальных напряжений по высоте балки, которая графически изображается наклонной прямой линией (рис.6).

Опасными точками поперечного сечения называются точки, напряжения в которых достигают наибольших по величине значений.

 

В нашей задаче точки, лежащие на линиях 1 – 1 и 3 – 3, являются опасными по нормальным напряжениям. Обратите внимание, что они наиболее удалены от нейтральной линии (ось y).

 

 

Рис.6

 

Переходим к построению эпюры касательных напряжений. Как было показано выше, максимальные касательные напряжения возникают в точках сечения, лежащих на линии 2 – 2

.

 

В точках сечения, лежащих на линиях 1 – 1 и 3 – 3, касательные напряжения равны 0

.

Используя полученные данные и учитывая, что касательные напряжения по высоте поперечного сечения изменяются по параболическому закону, строим эпюру касательных напряжений, как это показано на рис.6

Точки, лежащие на линии 2 – 2, являются опасными точками по касательным напряжениям.

 

6. Подбор круглого сечения деревянной балки по методу допускаемых напряжений (рис.7)

Момент сопротивления круга диаметром d определяется по формуле

.

Приравнивая , получаем .

Из полученного соотношения определяем размер d Рис.7

d 27,316 cм.

Окончательно диаметр круглого сечения балки, с учетом технологических требований, принимаем

d = 27, 5 cм.

Проверим выполнение условия прочности. С этой целью определяем фактический момент сопротивления

 

204 0,69 см³=2040 см³.

 

Находим максимальное нормальное напряжение

1,17 6 =11,8 МПа < 12 МПа.

Условие прочности выполняется.