Полная проверка прочности балки при изгибе.

Полная проверка прочности балки при изгибе.

Как показал опыт эксплуатации изгибаемых элементов конструкций, разрушение их начинается с крайних волокон, где возникают наибольшие норм. напряжения

Вычисляем главное напряж. для целого ряда точек по высоте сечения можно построить эпюры Ϭ₁ и Ϭ_3. Зачастую скачки на эпюрах Ϭ₁ и Ϭ₃ превышают Ϭ_max.Поэтому возник. необходимость полной проверки прочности балки

1) По нормальным напряжениям в сечении где возникает наиб. изгибающий момент:

2) По касат. напряжению в сечении где возникает наибольшая поперечная сила:

3) По главным напряжениям в точке примыкания полки к стенке(т.А) в сечении, где одновременно возникают наиб. изгибающий момент и поперечная сила. Проверка в опасной т.А осуществл. по одной из теорий прочности. Сначала в этой точке определ. главные напряж. по ф-ле:

 

Подставляем главное напряжение в условие прочности по теории наиб. касат. напряжений:

Ϭ₁ - Ϭ₃ R 3-я теория прочности или теор. наиб касат напряжений

Аналогично условие прочности по теории энергоформы изменения примет вид:

4-я теор. прочности

Деформации при изгибе.

При действии нагрузок балка деформируется, а её ось искривляется. Изогнутую ось балки можно характеризовать двумя параметрами: 1) прогибом y; 2) углом поворота сечения Ɵ. (Рисунок 1)

Прогибом балки в данном сечении наз. перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендик. оси балки.

Углом поворота сечения наз. угол поворота поперечного сечения к своему первоначальному положению.

Изогнутая ось балки наз. упругой линией.

Определение перемещений Ɵ и y необходимы для расчёта элемента на жёсткость. Условие жёсткости требует что бы максимальный прогиб и угол поворота не превышали допускаемых значений

– условие жёсткости.

Допускаемый прогиб устанавливается нормами проектирования в зависимости от назначения конструкции. Для балок это обычно - длина пролёта.

Приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Рассмотрим балку нагруженную силой F. (рисунок 2)

– первая производная от прогиба равна углу поворота сечения

Ранее была установлена зависимость ; из высшей математики известно , т.к. – величина малая, ей можно пренебречь, получим

Приравниваем правые части ур-ий (1) и(2)

- приближённое дифференциальное ур-е изогнутой оси балки.

Знаки кривизны и изгибающего момента совпадают если изогнутую ось поместить в 1-ом квадранте координатных осей т.е. начало координат выбирать в центре тяжести крайнего левого сечения балки, ось ординат направлять вверх, ось абсцисс совмещать с осью прямой балки: M_x>0, 1/p>0; M_x<0, 1/p<0.

С учётом этого диф-ое ур-е в дальнейшем будет записываться со знаком +.

Основы метода сил.

расчет по методу сил осуществляеться в след. порядке:

1) Устанавливаем степень статической неопределимости

2) Выбираем основную и эквивалентную системы. отбрасывая линии связи и заменяя их неизвестными силами Х1,Х2,Х3.

3) Записывают условия эквивалентности заданой и эквиваленнтной систем по перемещению

заданая система эквив.сист

Если у заданной сист перемещение по направлению неизвестных сил Х1,х2,Х3 отсутствует.то условия эквивалентности будут иметь вид: =0, , =0.

Выразим эти перемещения от каждой неизвестной силы и от внешней нагрузки

= ,

= ,

. Перемещения:

Что касается неизвестных Х1,Х2,Х3, то их влияние на перемещение можно представить ввиде:

= Х1; = Х2; = Х3 т.е определение перемещений от единич. сил приложенных в направл. связей умножают их на соответствующие неизвестные силы X. после этого ур-е перемещений по направлению 3-х неизвестных связей примут вид:

=0

=0

=0

Получ. ур-я наз. каноническими ур-ми метода сил. Коэффициенты и др. явл. единичными перемещениями,тк вызваны единичными силами.

Перемещение явл. грузовыми перемещениями,тк вызваны задаными нагрузками и наз. связаными ими грузовыми членами.

1) Опред. методом Мора-Верещагина

= , = , =

В соответствии с теорией о взаимности перемещений:

2) После определения коэффициентов и грузовыхчленов канонических ур-ий при совместном их решении находят значения усилий в связях х1,х2,х3.

3) Используя уравнения статики находят все неизвестные реакции опор.

 

Нецентренное растяж,сжатие

Возник,когда на элемент конструкции действ сила или равнодей-щая сил по прямой, ll-ной его продольной оси, но не совпадающая с ней.

 

 

Xf,Yf-точки прилож силы в глав центр осях

Силу F переносим в ц.т. сечения. В результате получаем сжимающую силу F и 2 момента-Mx и My.

Внутренние силы будут равны N=-F(тк сжим).

Эпюры внутр сил Mx=F*Yf (Yf-расст до оси X), My=F*Xf.

Рис.

 

 

При нецентр растяж-сжат все сеч-ия равноопасны и эпюры внутр сил строить не обязательно.

Нормальное напряж в любой точке попер сечения

Сигма=+ - N/A+ - Mx*Y/Ix+ -My*x/Iy (1) X и Y-коорд точек, в котор опред напряж в глав центр осях.Знак слагаемых выбира по харак деформ в точке. Если точка от вну силы сжим –, если растяж +. Формулы:

Для внецентр Растяж: Сигма=(1)=F/A+ F*Yf*Y/Ix+F*Xf*X/Iy

Сиг=F(1/A + Yf*Y/Ix + Xf*X/Iy)

Для внецентр сжат: Сиг=- F(1/A + Yf*Y/Ix + Xf*X/Iy)

Величины корд подстав со своими знаками

 

 

Ядро сечения

Некоторые материалы:кирпичная кладка,грунт,бетон-плохо сопротивляются растяжению.Поэтому при внецентренном сжатии нельзя допускать,чтобы в точках сечения возникало растяжение,поэтому важно определить зону приложения нагрузки(ядро сечения) обеспечивающую во всех точках сечения только сжатие. Как известно н.л. делит сечение растян. и сжатую области,при приложении силы на границе ядра сечения н.л. касается сечения.рассмотрим прямоугольное сечение: A=bh,Ix=bh^3/12,Iy=b^3h/12, Координаты ядра сечения определяем по формулам:Xя=-Iy/AXн,Yя=-Ix/AYн.Проведем н.л. по краю сечения.н.л.1-1 отрезает отезки Xн= ∞.Ун=h/2. Xя=-Iy/a ∞=0.Yя=-2bh^3/12bhh=-h/6.н.л. 2-2 Xн=b/2.Yн= ∞.Хя=-2b^3h\12bhb=-b\6.Yя=0.

Соединив полученные точки 1 и 2,получим ядро сечения

Рассмотрим круглое сечение A=пd^2/4,Ix=Iy=пd^4\64,Хн=-d\2,Yн= .Xя=8пd^4\64пdd^2=d/8

Ядро сечения-область располагающаяся в центре сечения при приложении силы к которой во всем сечении будут возникать напряжения одного знака.

 

 

РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Поскольку стержни рассчитывающиеся на устойчивость находятся под действием сжимающейся силы, условия прочности и условия устойчивости записываются аналогично. Условия прочности на сжатие:

δ=F\A≤R

R=δ0\K

Опасное напряжение для пластичных напряжений равно пределу текучести δ0=δy. Для хрупких материалов опасное напряжение равно пределу прочности

Условие устойчивости

δ=F\A≤Ry

Ry=δy\Ky

Коэффициент (фи) зависит от гибкости стержня и определяется по таблице по λ и материалу стержня.

Условие устойчивости имеет вид:

δ=F\A≤Ry

При расчете на прочность учитывается ослабленное сечение.

 

30. ПРОВЕРОЧНЫЙ И ПРОЕКТИРОВОЧНЫЙ РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

При проверочном расчете, когда площадь поперечного сечения задана, проверяют условие устойчивости след. образом:

1)определяют минимальный радиус инерции i_min =

2)определяют гибкость стойки ʎ=

3)по гибкости и материалу стержня определяют коэф-т φ; ʎ → φ
4)определяется расчетное сопротивление на устойчивость Ry= R* φ
5)проверяется устойчивость
При проектировочном расчете площадь сечения и коэфф-ент продольного изгиба не известны.
Для подбора поперечного сечения одной из величин необходимо задаваться. Обычно φ:
1)принимаем φ=0,5
2)определяем требуемую площадь поперечного сечения т.е. ; A ≥

3) i_min = 4) ʎ= 5) ʎ → φ 6) провер. условие устойчивости

7) сравниваем и R. Если расхождение не превышает 5%,то расчет заканчивается,в противном случае задается новое значение .
, и далее расчет повторяется.

 

31. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
Если к стержню одновременно приложены продольная сила N и поперечная нагрузки, то возникает продольно-поперечный изгиб.

Изгибающий момент в сечении на расстоянии z можно рассматривать как сумму двух моментов. М= - (М_о+ N_у) , где Мо- изгибающий момент от поперечных нагрузок,
Ny-изгибающий момент от продольной силы.
Запишем диф-ое уравнение изогнутой оси балки
EJy”=M
EJy”=-(Mo+Ny) *
-----------------------
E Jy”+Ny=-Mo
y”+ y= -

=K²
y”+ K²y=-

Решение этого уравнения представляет собой сумму 2 интегралов: интегр. однородного уравнения и частного интеграла неоднород. уравнения. Такая задача имеет сложное решение. Поэтому использ. приближ. метод решения т.е. задается деформация балки или стойки,но таким образом чтобы удовлетвор-сь граничные условия.
При продольном изгибе было установлено,что балка изгибается по синусоидальному закону.
Предположим,что и заданная балка деф-ся по такому же закону.
y=y_max sin z; Проверим выполнение граничных условий.
z=0 → y=0
z=1 → y=0
z=1/2 → y= y_max продиференцир. заданное выражение *
y’= y_max cos
y”= - y_max sin z подставим значение 2-ой производной в выр-ие *
EJ y_max sin z=Mo+Ny

при z= /2 y= EJ y_max = Mo+Ny_{max обозначение} =Fэ – Эйлерова сила

здесь µ=1 Fэ= y_max -Ny_max =Мо
y_max= y_max= y_max-полный прогиб от совместного действия поперечных и продольных сил.
Зная максим. прогиб и внутр. силы запишем условия прочности.

σ_max= + =
ПРИМЕР: Проверить прочность и устойчивость стойки.

[ №18 Jx=1090 см⁴ ; i_x=7,24 см; Wx=121 cм³ ; A=20,7 см; Е=210 Гпа; R=200Мпа

σ_max= + =
Момент инерции и мом. сопротивл. берутся относит. оси перпендикулярной пл-ти действия поперечной нагрузки.

y_max= ; Fэ=

y_o = = Fэ=705 кН

y_max = Проверим прочность σ_max= 181Мпа
Проверяем на устойчивость плоскость действия попереч. сил
σ_max=
ʎ= =110

σ_max =109,4Мпа <R

 

Продолный удар.

РИСУНОК.

 

 

; ; ; .Воспользуемся приближ. значением . ,где V=Al- объём тела. Из выражения следует, что чем больше модуль Юнга и меньше объем тела, тем больше динамич. напряжение. Динамич. коэф-ент если неподвижное тело имеет выточки(рисунок). = ; = - . Предположим,что длина очень мала, то приближенно можно записать = . Предположим что стержни равнопрочны , то динамич. коэф-ты равны = ; = ↔ . Поэтому

динамич. напряжение во втором стержне больше.

 

 

Поперечный удар

На балку падает груз F с высоты h (РИСУНОК)

 

 

Предположим что груз падает по середине пролётной балки ;М_мах = (из справочника)

; ; , где гиб в точке падения груза от его статического действия. ; ; ; ; )= ,где i- радиус инерции, расстояние от нейтральной линии до наибольшей удалённой точки. Динамическое напряжение при поперечном ударе можно уменьшить путём установки податливой опоры пружины(РИСУНОК)

увеличивается, -уменьшается↔уменьшается динамич. напряжение.

 

37. Испытание материалов на удар (ударная проба).

Механические характеристики материалов устанавливаются при медленном погружении, с увеличением скорости нагружения увеличиваются предел прочности и предел текучести.

 

Для оценки пригодности материала к динамическим нагрузкам производится ударная проба материала. Испытание проводится на механическом копре.

 

В результате опыта определяется не напряжение, а работа затраченная на разрушение и определяется ударная вязкость.

a_k (Дж/м²),

 

где А – работа.

Чем больше ударная вязкость, тем лучше материал сопротивляется ударным нагрузкам.

 

 

Полная проверка прочности балки при изгибе.

Как показал опыт эксплуатации изгибаемых элементов конструкций, разрушение их начинается с крайних волокон, где возникают наибольшие норм. напряжения

Вычисляем главное напряж. для целого ряда точек по высоте сечения можно построить эпюры Ϭ₁ и Ϭ_3. Зачастую скачки на эпюрах Ϭ₁ и Ϭ₃ превышают Ϭ_max.Поэтому возник. необходимость полной проверки прочности балки

1) По нормальным напряжениям в сечении где возникает наиб. изгибающий момент:

2) По касат. напряжению в сечении где возникает наибольшая поперечная сила:

3) По главным напряжениям в точке примыкания полки к стенке(т.А) в сечении, где одновременно возникают наиб. изгибающий момент и поперечная сила. Проверка в опасной т.А осуществл. по одной из теорий прочности. Сначала в этой точке определ. главные напряж. по ф-ле:

 

Подставляем главное напряжение в условие прочности по теории наиб. касат. напряжений:

Ϭ₁ - Ϭ₃ R 3-я теория прочности или теор. наиб касат напряжений

Аналогично условие прочности по теории энергоформы изменения примет вид:

4-я теор. прочности

Деформации при изгибе.

При действии нагрузок балка деформируется, а её ось искривляется. Изогнутую ось балки можно характеризовать двумя параметрами: 1) прогибом y; 2) углом поворота сечения Ɵ. (Рисунок 1)

Прогибом балки в данном сечении наз. перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендик. оси балки.

Углом поворота сечения наз. угол поворота поперечного сечения к своему первоначальному положению.

Изогнутая ось балки наз. упругой линией.

Определение перемещений Ɵ и y необходимы для расчёта элемента на жёсткость. Условие жёсткости требует что бы максимальный прогиб и угол поворота не превышали допускаемых значений

– условие жёсткости.

Допускаемый прогиб устанавливается нормами проектирования в зависимости от назначения конструкции. Для балок это обычно - длина пролёта.