Расчет на прочность и жесткость ломаных стержней

4.1 Построение эпюр внутренних усилий в раме.

Рамой называется ломаный стержень, состоящий стоек и ригелей, соединенных жесткими или шарнирными узлами (рис. 4.1).

В плоских рамах, в отличии от балок, возникают три внутренних усилия: М – изгибающий момент, Q – поперечная сила и N – продольная сила, которые определяются методом сечений. Напомним, что изгибающий момент в сечении равен сумме моментов всех сил, приложенных к оставшейся части, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения. Поперечная сила равна сумме проекций тех же сил на поперечную ось стержня, а продольная сила равна сумме проекций этих же сил на продольную ось стержня.

Порядок построения эпюр:

1. Определяются опорные реакции (для консольных стержней (рис. 4.1,б) можно обойтись без определения реакций).

2. Рама разбивается на участки. Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил или моментов, начало и конец распределенной нагрузки, узлы рамы.

3. Для каждого участка записываются выражения для внутренних усилий, производится вычисление этих усилий в пределах участка.

4. Выбирается масштаб эпюр таким образом, чтобы наибольшая ордината не превышала 1/3 ÷ 1/4 габарита рамы, и строятся эпюры M, Q, N. Эпюры Q, N строятся в одном масштабе.

5. Делается проверка построенных эпюр на соответствие приложенной нагрузки и по равновесию узлов рамы, рамы в целом.

Пример 4.1 Построить эпюры внутренних усилий в трехшарнирной раме (рис. 4.2).

 

 

1. Обозначим в соответствии с видом опор опорные реакции (рис. 4.3) и определяем их значение, используя уравнения равновесия.

Σ m_A = 0, - q ··5∙2.5 + R_B ·6 = 0. R_B = 6.25 кН.

Σ m_В = 0, - q ·5·2.5 - R_А ·6 = 0. R_А = - 6.25 кН. Меняем направление реакции R_А и считаем ее положительной (R_А = 6,25кН) и направленной в низ.

Учитывая, что в шарнире С изгибающий момент отсутствует, можно записать:

Σ m_C^пр = 0. R_B ·4 - H_B ·5 = 0, H_B = 5 кН.

Σ m_C^лев = 0. R_А ·2 + q· 5 · 2.5 – H_A ·5 = 0, H_A = 10 кН.

Проверка.

Σ х = 0. q ·5 - H_A - H_B = 0.

Σ y = 0. - R_A + R_B = 0.

 

2. Обозначаем участки (рис. 4.4). В качестве «оставшейся части» оставляем ту часть рамы, к которой приложено меньше усилий.

 

 

Правила знаков, применяемые при построении эпюр внутренних усилий:

3. Записываем выражения для внутренних усилий.

1-й участок, 0 < х ₁ < 5 м.

N ₁ = R_A = 6.25 кН.

Q ₁ = H_A - q∙x ₁, Q_{x= 0} = H_A = 10 кН, Q_{x= 5} = H_A = 10 - 3∙5 = - 5 кН.

М ₁ = - H_A∙x ₁ + q∙x ₁ ∙x ₁/2. Получили уравнение квадратной параболы. Для ее построения необходимо вычислить три значения момента.

М_{х = 0} = 0, М_{х = 5} = - 10∙5 + 3∙5²/2 = - 12,5 кНм,

М_{х = 2,5} = - 10∙2,5 + 3∙(2,5)²/2 = - 15,6 кНм.

2-й участок, 0 < х ₂ < 6 м.

N ₁ = - H_B = - 5 кН.

Q ₁ = - R_B = - 6.25 кН.

М ₁ = - H_B∙ 5 + R_B∙x ₂. М_{х = 0} = - 25 кНм, М_{х = 6} = - 25 + 6,25∙6 = 12,5 кНм,

2-й участок, 0 < х ₃ < 5 м.

N ₁ = - R_B = - 6.25 кН.

Q ₁ = H_B = 5 кН.

М ₁ = - H_B∙x ₃. М_{х = 0} = 0, М_{х = 5} = - 25 кНм,

4. Строим эпюры (рис. 4.6)

 

5. Проверяем равновесие узлов. Вырежем поочередно узлы рамы с действующими в их элементах внутренними усилиями, и запишем для них уравнения равновесия (рис. 4.7). При проверке моментов пунктиром отмечены растянутые волокна.

На рисунке 4.7 видно, что все уравнения равновесия (Σ х = 0, Σ y = 0, Σ m = 0) для узлов выполняются.

 

Осуществим проверку равновесия рамы в целом (рис. 4.8). Для этого восстановим значения реакций, используя эпюры внутренних усилий.

В точке А вертикальная реакция будет направлена вниз, поскольку левая стойка растянута, а правая реакция (т. В) направлена вверх, т. к. правая стойка сжата.

Обе горизонтальные реакции в опорах · А и В будут направлены влево, поскольку по знаку эпюры Q (знак «+») они должны вращать элемент по часовой стрелке.

 

Записываем уравнения равновесия:

Σ х = 0. q ·5 - H_A - H_B = 3∙5 – 10 – 5 = 0.

Σ y = 0. - R_A + R_B = - 6,25 + 6,25 = 0.

Σ m _A = 0, - q ·5·2.5 + R_B 6 = 3·5·2.5 – 6.25·6 =

= - 37.5 + 37.5 = 0.

 

4.2 Определение перемещений в стержневых системах

Методом Мора

 

Это универсальный метод, который заключается в использовании известной теоремы Мора о равенстве возможной работы внешних и внутренних сил и используется для определения линейных перемещений и углов поворота в любой стержневой системе от произвольной нагрузки. Метод широко применяется и при расчете статически неопределимых систем.

Пусть 1-е (грузовое) состояние представляет собой нагруженную стержневую систему заданной нагрузкой, а 2-е (единичное) состояние вызвано единичной нагрузкой Р = 1, действующей в направлении искомого перемещения. Тогда в соответствии с указанной выше теоремой получаем выражение, которое называют интегралом Мора (13)

(4.1)

где: D ¾ искомое перемещение; М_р, Q_p, N_p ¾ внутренние усилия в стержневой системе, вызванные заданной внешней нагрузкой; М ₁, Q ₁, N ₁ ¾ внутренние усилия в стержневой системе, вызванные единичной нагрузкой, приложенной по направлению искомого перемещения в той точке (сечении), где определяется перемещение (при нахождении линейного перемещения прикладывается единичная сила Р = 1, при вычислении угла поворота прикладывается единичный момент m = 1); EI, EA, GA ¾ жесткости при изгибе, растяжении (сжатии) и сдвиге соответственно; m ¾ поправочный коэффициент, учитывающий распределение касательных напряжений в поперечном сечении; l ¾ длина участка.

Суммирование производится по всем участкам стержневой конструкции.

При расчете балок средней и большой длины и рамных конструкций влиянием продольной и поперечной сил (вторым и третьим членами формулы (4,1)) можно пренебречь в силу их малого влияния на деформации изгиба. В этом случае интеграл Мора примет вид:

(4.2)

При расчете стержней, работающих только на растяжение (сжатие), и ферм в (4,1) останется только второй интеграл.

(4.3)

В конструкциях, испытывающих значительные поперечные силы (например, в коротких балках), необходимо учитывать влияние поперечных сил.

 

Пример 4.2. Вычислить прогиб и угол поворота свободного конца консоли (т. В) (рис. 4.9) от действия распределенной нагрузки.

1. В данной задаче один участок. Запишем для него выражение изгибающего момента в грузовом состоянии (рис. 4.9, а):

2. Для вычисления прогиба свободного конца (т. В) прикладываем в этой точке единичную силу Р = 1, т. е. создаем 1-е единичное состояние (рис. 4.9, б) и записываем выражение для единичного момента

3. Записываем и вычисляем интеграл Мора, используя выражение (4.2):

Знак «+» у D говорит о том, что перемещение происходит по направлению единичной силы Р =1.

4. Для вычисления угла поворота прикладываем в заданном сечении (т. В) единичный момент (рис. 4.9, в) и записываем выражение для единичного момента М ₂ на данном участке:

М ₂ = m = 1.

5. Вычисляем интеграл Мора при 2-м единичном нагружении:

Знак «минус» говорит о том, что перемещение (поворот сечения С) происходит против направления единичного момента m = 1, т. е. по часовой стрелке.

Пример 4.3. Определить вертикальное перемещение 3 узла фермы от заданной нагрузки (рис. 4.10). Жесткость стержней ЕА = const.

Для определения перемещений в данной стержневой системе необходимо воспользоваться формулой Мора в виде:

(5.3)

1. Определяем усилия в стержнях фермы N_p от заданной нагрузки. (рис. 4.10, а). Вначале определим реакции. В силу симметрии:

R_A = R_B = 1.5 P= 9 кН.

Вырезая узел 1 и узел 5 можно увидеть, что

N ₁₂ = N ₅₆ = - 1.5 P = - 9 кН,

N ₁₃ = N ₃₅ = 0.

Вырезая узел 4 получим N ₃₄ = P.

Далее, вырежем узел 2 (рис. 5.3). (sina = 0.6, cosa = 0.8)

S y = 0,

- P – N ₁₂ – N ₂₃sina = 0.

S x = 0

N ₂₄ + N ₂₃cosa = 0. N _{24 =} - 5 ∙ 0.8 = - 4 кН.

В силу симметрии N ₃₆ = N ₂₃ = 5 кН, N ₄₆ = N ₂₄ = - 4 кН.

2. Определяем усилия в стержнях фермы от единичной нагрузки, действующей в направлении искомого перемещения (рис 4.10,б). Определяем реакции.

R_A = R_B = 0.5 P= 0, 5.

Вырезая узел 1 и узел 5 получим

N ₁₂ = N ₅₆ = 0,5, N ₁₃ = N ₃₅ = 0.

Вырезая узел 4 получим N₃₄ = 0.

Рассмотрим равновесие узла 2 (рис. 5.4).

S y = 0, – N ₁₂ – N ₂₃sina = 0.

, S x = 0, N ₂₄ + N ₂₃cosa = 0.

N _{24 =} .

В силу симметрии N ₃₆ = N ₂₃ = 5 кН, N ₄₆ = N ₂₄ = - 4 кН.

Для вычисления по формуле (4.3) удобно полученные значения усилий свести в таблицу.

№ стержня	Np (кН)		li	Np∙ ∙ li
1-2	- 9	- 0,5	1.5	6,75
1-3
2-3		5/6	2.5	10.42
2-4	- 4	- 4/6		5.33
3-4	- 6		1.5
3-5
3-6		5/6	2.5	10.42
4-6	- 4	- 4/6		5.33
5-6	- 9	- 0,5	1.5	6,75
S				45.01

 

Таким образом, узел 3 опускается вниз на величину D₃ = 45.01/ EA.

Обычно, в зависимости от нагрузки и условий опирания, стержневую систему приходится разбивать на несколько участков, и интегрирование по формуле (4.2) необходимо проводить на каждом участке, что становится весьма трудоемким. В этом случае удобно использовать правило Верещагина для вычисления интеграла Мора (4.4).

. (4,4)

Оно заключается в следующем: если построить грузовую и единичную эпюры М_р и М ₁ (рис. 4,13), то результат их «перемножения» (вычисления интеграла) на отдельном участке равен произведению площади грузовой эпюры w _p на ординату единичной эпюры у_с, взятую под центром тяжести площади грузовой эпюры. При выводе этой формулы было учтено, что единичная эпюра всегда линейна.

Действительно, при EI = const интеграл S можно представить как (рис. 4.13)

S = .

 

Ординату у ₂ можно выразить через абсциссу х: у ₂ = х∙ tga,

тогда

S = .

Учитывая, что можно записать

S =

Интеграл - статический момент площади эпюры М_р относительно точки О и равен площади этой эпюры, умноженной на координату х ₀, т. е.

S = tgα∙w _р∙x ₀. В свою очередь, х ₀tga = y_c. Следовательно, интеграл S равен

S = w∙ у_с

Рассмотренное выше правило перемножения эпюр было дано А. Верещагиным в 1925 г.

В том случае, когда обе эпюры прямолинейны (рис. 4.14) формулу (4.2) можно представить в виде

. (4.5)

Формула (4.5) получена еще в 1905 г. Мюллером-Бреслау.

 

В тех случаях, когда определение положения центра тяжести и площади грузовой эпюры приводит к громоздким вычислениям, проще для «перемножения» эпюр воспользоваться формулой Симпсона (4.6):

, (4.6)

здесь a, b, c, d ¾ ординаты на грузовой и единичной эпюрах в начале и конце участка длиной l (рис. 4,15); e, f ¾ ординаты в середине участка.

 

Пример 4.4 Для заданной балки (рис. 4.16, а) вычислить прогиб в сечении C и угол поворота сечения В. При определении деформаций воспользоваться методом Мора.

Для вычисления заданных деформаций необходимо построить эпюры изгибающих моментов в грузовом М_р и единичных М ₁ и М ₂ состояниях.

1. Грузовое состояние. Запишем выражение для М_р

M_{x= 0} = 0,

Эпюра М_р показана на рис. 4.16, б.

2. Создаем 1-е единичное состояние - прикладываем в сечении С единичную силу (рис. 4.16, в) и строим первую единичную эпюру М ₁ (рис. 4.16, г).

3. Для определения прогиба в сечении С перемножаем эпюры М_р и М ₁ по правилу Симпсона (4,6). Поскольку единичная эпюра имеет два участка перемножение эпюр производим на каждом участке (в силу симметрии эпюр результат умножаем на 2).

4. Создаем 2-е единичное состояние - прикладываем в сечении В единичный момент (рис. 4.16, д) и строим вторую единичную эпюру М ₂ (рис. 4.16, е).

5. Перемножаем эпюры М_р и М ₂

При перемножении поставлен знак минус, поскольку ординаты грузовой и второй единичной эпюр отложены в разные стороны. Минус у перемещения означает, что поворот сечения В происходит в направлении, обратном направлению единичного момента, т. е. против часовой стрелки.

 

Пример 4.5 Для заданной балки (рис. 4.17, а) вычислить прогибы в сечениях С и D, показать вид изогнутой линии. При определении деформаций воспользоваться методом Мора.

Для определения деформаций в заданных сечениях необходимо построить грузовую эпюру М от заданной нагрузки Р и q, а также единичные эпюры М_i, полученные от воздействия на балку соответствующих единичных нагрузок Р_i.

Не останавливаясь на порядке построения грузовых эпюр М и Q, покажем их в окончательном виде (рис. 4.17, б). Для построения единичных эпюр создаем единичные состояния (заданная балка нагружается только соответствующей единичной силой, приложенной в том сечении, в котором определяется перемещение). В соответствии с правилами строим эпюры М ₁ от силы Р ₁=1, приложенной в точке С, и М ₂ от силы Р ₂=1, приложенной в точке D. На рисунке единичные состояния и соответствующие единичные эпюры совмещены (рис. 4.17, в и г).

Перемножение эпюр производим по правилу Симпсона:

При вычислении у_d перемножение эпюр на участке DА производим по правилу Верещагина (4.4), на участке АВ ¾ по формуле Симпсона (4.6).

На рисунке рис. 4.17, д показана изогнутая ось балки, соответствующая вычисленным перемещениям и эпюре М_{р .}

Пример 4.6 Вычислить горизонтальное перемещение узла D в трехшарнирной раме постоянной жесткости (рис. 4.18, а). Воспользуемся методом Мора.

 

1. Строим грузовую эпюру М_р для грузового состояния(рис. 4.18, б). Вначале необходимо определить опорные реакции, для чего записываем соответствующие уравнения равновесия.

S m_A = 0, - P ∙3 + R_B ∙3 = 0, R_B = 10 кН.

S m_С ^пр= 0, - Н_В ∙3 + R_B ∙1 = 0, Н_B = 10/3 кН.

S m_В = 0, - P ∙3 + R_А ∙3 = 0, R_А = 10 кН.

S m_С ^лев = 0, - Н_А ∙3 + R_А ∙2 = 0, Н_А = 20/3 кН.

Проверка: S х = 0.

При построении эпюры М_р используем методику построения эпюр в ломаном стержне

2. Строим единичную эпюру моментов М ₁ от действия горизонтальной единичной силы, приложенной в узле D (рис. 4.19, а).

S m_A = 0, - P ∙3 + R_B ∙3 = 0, R_B = 1.

S m_С ^пр= 0, - Н_В ∙3 + R_B ∙1 = 0, Н_B = 1/3 кН.

S m_В = 0, - P ∙3 + R_А ∙3 = 0, R_А = 1 кН.

S m_С ^лев = 0, - Н_А ∙3 + R_А ∙2 = 0, Н_А = 2/3 кН.

Эпюра М ₁ показана на рис. 5.11, б.

 

 

 

В связи с простым очертанием эпюр М_р и М ₁ перемножение эпюр на стойках производим по правилу Верещагина, а в ригеле по правилу Симпсона

 

Если принять, что жесткость ригеля больше жесткости стоек

(пусть EI _р = 4 EI _ст ), то:

Увеличение жесткости ригеля в 4 раза привело к уменьшению перемещения узла D на 28,3%.

Представленные выше примеры показывают, что метод Мора достаточно прост для определения перемещений в заданных сечениях в любых стержневых системах.

 

5. Список рекомендуемой литературы

 

1. Саргсян А. Е. и др. Строительная механика. М.: Высш. шк., 2000. 416 с.

2. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1986. 607 с.

3. Смирнов А. В., Иванов С. А., Тихонов М. А. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1984. 210 с.

4.Снитко Н. К. Строительная механика. М. Высш. шк. 1972. 488 с.

5. Киселев В. А. Строительная механика. Общий курс. М.: Стройиздат, 1986. 520 с.

6. Леонтьев Н. Н., Соболев Д. Н., Амосов А. А. Основы строительной механики стержневых систем. М.: Изд. АСВ, 1996. 541 с.

7. Варданян Г. С. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Изд. АСВ, 1995. 572 с.

8. Сесюнин Н. А. и.др. Примеры решения типовых задач по строительной механике. Методические указания. М., Изд. МГОУ, 1993, 116 с.

 

Приложения

РГР № 1