Тема.3. Вибіркове спостереження

Питання для обговорення на практичному занятті і самостійної підготовки:

1. Сутність та види вибіркового спостереження при оцінці якості

2. Вибіркова оцінка параметрів якості генеральної сукупності.

3. Зміст і техніка обчислення вибіркових параметрів якості

Література: 1; 2; 7.

В практичній діяльності проведення спостереження, яке б охоп­лювало всі елементи сукупності, є часто неможливим. Причини цьо­му можуть бути різними: труднощі із отриманням потрібної інформа­ції по всім одиницям сукупності; властивості об'єкта дослідження; витрати, пов'язані із дослідженням кожної одиниці сукупності тощо. Тому для збору необхідної інформації застосовують вибіркове спо­стереження.

Вибірковим називається вид несуцільного спостереження, за ха­рактеристиками відібраної частини одиниць якого судять про всю сукупність.

Сукупність, з якої відбираються елементи для обстеження, нази­вають генеральною, а сукупність, яку безпосередньо обстежують, ви­бірковою. Оскільки вибіркова сукупність не точно відтворює струк­туру генеральної, то вибіркові характеристики не збігаються з харак­теристиками генеральної сукупності. Розбіжності між ними називають похибками репрезентативності. За причинами виник­нення ці похибки поділяються на систематичні (тенденційні) та ви­падкові. Систематичні похибки виникають за умови, що під час формування вибіркової сукупності порушується принцип випадково­сті вибору (упереджений вибір елементів, недосконала основа вибір­ки тощо). Випадкові похибки це такі, які неминуче виникають і при дотриманні принципу випадковості відбору. Вони не носять тенден­ційний характер і не ведуть до зміщення узагальнюючих показників генеральної сукупності.

Головне завдання при організації вибіркового обстеження полягає в запобіганні виникнення систематичних похибок. Що стосується ви­падкових похибок, то їх уникнути неможливо, проте на основі теорії вибіркового методу можна визначити їхній розмір і по можливості регулювати.

Якщо принцип випадковості відбору не порушувався, то середня похибка вибірки (m) визначається за формулами:

Вид відбору	Середня помилка вибірки для:
Генеральної середньої	Генеральної частки
Повторний
Безповторний

 

З допомогою середньої похибки вибірки, межі довірчого інтервалу для генеральної середньої або частки визначаються з імовірністю лише 0,683. Щоб підвищити імовірність твердження про межі, в які потраплять генеральні характеристики, обчислюють граничну похибку вибірки ().

 

,

 

де t –коефіцієнт довіри, що підвищує імовірність твердження про потрапляння генеральних узагальнюючих показників до розрахованих довірчих меж.

Щоб добитися довірчої ймовірності = 0,954, середню похибку вибірки подвоюють, тобто t = 2; для довірчої ймовірності = 0,997 довірче число t =3.

 

Довірчий інтервал записується за формулами:

- для середнього:

- для частки:

- +

Приклад 3. Проведено вибіркове дослідження 25 пакетів з чаєм. Визначено вагу чайного листа, що знаходиться в кожному пакеті. З ймовірністю 0,997 потрібно визначити вагу чайного листа у продукції.

Результати спостереження наведені в табл. 3.1.

Таблиця 3.1. Результати вибіркового спостереження ваги чайного листа у пакетах

№ пакета	Вага, гр.	№ пакета	Вага, гр.	№ пакета	Вага, гр.
	100,6		101,1		99,9
	101,3		100,3		100,5
	99,6		100,1		99,5
	100,5		99,6		100,1
	99,9		99,2		100,4
	99,5		99,4		101,1
	100,4		99,4		99,9
	100,5		99,6		99,7
	....		99,3	Всього	2504,01

Вибіркова середня вага чаю у пакетику становить:

На основі даних визначаємо дисперсію вибіркових даних:

Для визначення меж ваги чаю у генеральній сукупності знаходи­мо середню помилку вибірки:

Для ймовірності 0,997 визначаємо граничну помилку вибірки.

Оскільки ймовірність дорівнює 0,997, то коефіцієнт кратності помил­ки (коефіцієнт довіри) дорівнює 3.

Таким чином, середня вага чаю у пакетику для всієї виготовленої за даних умов виробництва продукції, знаходиться у межах:

тобто, від 99,708гр. до 100,404гр.

Приклад 4. Для визначення ставлення покупців до рівня якості обслуговування у магазині потрібно провести вибіркове дослідження. Покупці оцінюють рівень обслуговування за 7 бальною шкалою (1 дуже погано, 7 дуже добре). З рівнем ймовірності 0,954 потрібно визначити обсяг вибірки для випадку, щоб гранична помилка не пе­ревищувала 0,25 бали.

Розв'язок. За результатами попереднього дослідження відомо, що тандартне відхилення оцінок покупців складає 1,45 бали. Тому

Таким чином для отримання репрезентативних даних із заданою точністю, потрібно провести анкетування серед 135 відвідувачів ма­газину.

 

Завдання для виконання на практичному занятті і самостійної підготовки

Завдання 1. Хімічний аналіз 10 партій молока дав такі показники кислотності (у градусах Тернера): 18; 21; 17; 19; 20; 23;16; 22; 24; 21.

На основі вищенаведених даних визначте:

- середній рівень кислотності молока та граничну похибку вибір­ки для середньої з ймовірністю 0,954;

- частку молока, що відповідає стандартові (не більше 21°), та похибку вибірки для частки з ймовірністю 0,954;

- скільки пар тій молока необхідно перевірити, щоб похибка вибі­рки для частки нестандартного молока зменшилась у 2 рази?

Завдання 2. З метою перевірки якості овочевих консервів (у склота­рі) методом серійної вибірки з 200 ящиків по 20 банок } кожному відібрано 4. За даними перевірки має місце не якісна герметизація банок:

№ ящика
Кількість банок з неякісною герметизацією

На основі вищенаведених даних визначте:

а) частку банок з неякісною герметизацією та довірчий інтервал:
для неї з ймовірністю 0,95; '

б) чи можна стверджувати, що частка банок з неякісною гермети­
зацією не перевищує 15 %?

Завдання 3. Вперше організується одномоментне спостереження за ефективністю використання 50 одиниць виробничого устаткування. Скільки спостережень необхідно провес­ти, щоб похибка вибірки для частки устаткування, що не працює, з ймовірністю 0,954 не перевищила 2 %?

За умови, що спостереження триватиме 10 днів, скільки спосте­режень необхідно зробити щоденно за кожною одиницею устатку­вання?

Завдання 4. За даними 5 %-ого вибіркового обстеження, верстати за терміном служби розподіляються так:

 

Термін служби, років	До 4	4-8	8-12	12 і більше	Разом
Кількість верстатів

На основі вищенаведених даних визначте:

а) середній термін служби верстатів та довірчий інтервал для се­
редньої з імовірністю 0,954;

б) з тією ж ймовірністю визначте граничну похибку та довірчий
інтервал частки верстатів, що мають термін служби понад 12 років.

Завдання 5. З метою визначення зольності вугілля, яке надійшло на електростанцію з різних вагонів, узято 100 проб. Ре­зультати аналізу такі:

 

Зольність. %	До 14	14- 16	16- 18	18-20	20 і більше	Разом
Число проб

На основі вищенаведених даних визначте:

а) середню зольність вугілля та довірчий інтервал для середньої з ймовірністю 0,954;

б) з тією ж ймовірністю визначте довірчий інтервал частки вугілля, зольність якого менша 16 %.

Тема.4. Статистична перевірка гіпотез

Питання для обговорення на практичному занятті і самостійної підготовки:

1. Статистична гіпотеза. Основні поняття і принципи перевірки

2. Перевірка гіпотез про рівність дисперсій

3. Перевірка гіпотез про рівність середніх

4. Перевірка гіпотез про частку сукупності

Література: 1; 2; 7.

Статистична гіпотеза - це певне припущення щодо властивостей генеральної сукупності, яке перевіряють за даними вибіркового спостереження. Найчастіше це гіпотеза про характеристики ознаки якості та про параметри відомого розподілу.

Гіпотеза, яку належить перевірити, формулюється як відсутність розбіжностей між параметром генеральної сукупності С і заданою величиною а. Ця висунута гіпотеза має назву нульової і записується:

H ₀: С = a.

Кожній нульовій гіпотезі Но висувається конкуруюча (альтернативна) гіпотеза Н₁(Н₀), яка вступає у протиріччя з Н₀. Залежно від виду і вагомості відхилень вона може бути сформульована як:

Н₁ :С > а,

Н₁:С<а,

Н₁: С≠ а.

В результаті перевірки гіпотези можуть бути припущені помилки 2 видів.

Помилка 1 виду полягає в тому, що буде відкинута правильна гіпотеза H ₀. Ймовірність помилки 1 виду називають рівнем значущості (істинності) і позначають .

Помилка 2 виду полягає в тому, що буде прийнята невірна гіпотеза, і її ймовірність позначається як р. Тобто прийнята Н₀, коли насправді вірною є альтернативна Н_1.

Правило, за яким статистична гіпотеза Н₀ відхиляється або не відхиляється, називають статистичним критерієм. В якості його виступає певна випадкова величина К, яка застосовується для перевірки гіпотези, закон розподілу якої є відомим.

Коли виникає необхідність порівняння двох методів вимірювання, точності роботи двох видів обладнання, однорідності двох сукупностей тощо, доцільно скористатися перевіркою гіпотези про рівність двох дисперсій генеральних сукупностей.

Нехай з двох генеральних сукупностей отримані вибірки обсягом n₁ і n₂, для кожної з яких визначена скоригована (незміщена) вибіркова дисперсія та відповідно. Потрібно порівняти дисперсії цих сукупностей, тобто перевірити гіпотезу:

 

при рівні значущості .

Для цього погрібно знайти спостережуване значення критерію як відношення більшої дисперсії до меншої:

Далі, за таблицею критичних точок розподілу Фішера- Снедекора для рівня значущості і числа степенів свободи К₁= n₁-1, К₂= n₂-1 (де значення К ₁ беремо для більшої дисперсії) знайти критичну точку Fкр(, К₁, К₂ ) і порівняти спостережуване і критичне значення критерію:

якщо F_спост>F_кр - тоді відкидаємо Н₀,;

якщо F_спост<Fкр - тоді приймаємо Н₀..

Приклад 5. На підприємстві протягом місяця в середньому створювалося 38 невідповідностей на 1000 виробів. Після дій по вдосконаленню виробництва на 500 виробів було визначено 12 невідповідностей. Постає питання, чи можливо із рівнем значущості 0,01 стверджувати, що дії були ефективними?

Розв'язок: Для встановлення ефективності застосованих дій скористаємося перевіркою гіпотези про рівність двох часток.

Частка невідповідних виробів до дій по вдосконаленню виробництва становить р_] =38/1000-0,038. Частка невідповідностей після вдосконалення дорівнює р₂ = 12/500 = 0,024.

Таким чином, розрахункове значення критерію становить:

 

 

 

 

 

Значення t-критерію перевірки значущості

 

Двостороння критична точка дорівнює

 

 

З таблиці функції Лапласа знаходимо критичне значення критерію Z = 2,34. Оскільки розрахункове значення критерію менше за критичне, то із рівнем значущості 0,01 можливо стверджувати, що немає підстав відкинути нульову гіпотезу, тобто вжиті заходи в дійсності не підвищили ефективність виробництва.

Приклад 6. На основі хронометражу часу, потрібного на встановлення певного елементу у виріб різними працівниками, встановлено, що дисперсія складає 2 хв. Результати хронометражу часу роботи нового наступні:

Час	x
Кількість	f

Чи можемо ми вважати, що за рівня значущості α = 0,05 новий робітник працює ритмічно?

Розв'язок. Потрібно перевірити гіпотезу, що дисперсія часу, який витрачає на зборку новий робітник, істотно не відрізняється від дисперсії часу інших робітників (гіпотетичної дисперсії).Визначаємо дисперсію витрат часу нового робітника.

Середній час за формулою середньої арифметичної зваженої до­рівнює:

Дисперсія становить:

№	x	f	(x- )^2	(x- )^2· f
			16,81	16,81
			4,41	17,64
			0,01	0,1
			3,61	10,83
			15,21	30,42
Середня	60,1	-	-	3,989474

Знаходимо розрахункове значення критерію χ-квадрат:

 

 

Оскільки альтернативна гіпотеза має вид рівності, то потрібно встановити ліву і праву критичні точки. В нашому випадку для 19

ступенів свободи ліва критична точка χ²_{лів.кр .}=8,91 і права критична

точка χ²_{прав..кр .}=32,9. Так як спостережуване значення перевищує праву критичну точку, то є підстави відкинути гіпотезу про рівність

вибіркової дисперсії гіпотетичній, і зробити висновок, що новий робітник працює неритмічно.

Приклад 7. В середньому вимикачі даного типу розраховані на2000 вмикань при σ =100. В результаті вибіркової перевірки якості 50 вимикачів даного заводу-виробника встановлено, що середнє число вмикань склало 2080. Необхідно встановити чи суттєво відрізняється якість вимикачів даного заводу-виробника.

Розв'язок. Для порівняння вибіркової середньої ознаки якості з генеральною середньою ознакою розраховується статистика

 

Оскільки , можна вважати, що якість вимикачів даного заводу-виробника суттєво вище встановленої для вимикачів даного типу.

 

Завдання для виконання на практичному занятті і самостійної підготовки

Завдання 1. Було визначено середнє квадратичне відхилення певного процесу на рівні 2,55 грам. Після певних коригуючих дій було зроблено вибірку у 10 одиниць продукту і встановлено, що середнє квадратичне відхилення дорівнює 3,3 грам. При рівні значущості ά= 0,05 перевірити гіпотезу про те, що

рівень варіабельності процесу не змінився.

Завдання 2. Зразки двох різних видів пластика було перевірено на силу розриву. Одержано такі результати: