Порядок аналізу часових рядів. Адитивна та мультиплікативна моделі

Часовий ряд – набір значень, що їх мала деяка змінна за послідовні та зазвичай рівні проміжки часу. Якщо прийняти довжину такого проміжку часу за одиницю часу (рік, квартал, день…), то можна вважати, що послідовні спостереження y₁, y₂ … y_п здійснено в моменти t=1,2,…,n. При аналізі часових рядів аналізуються лише наявні спостереження без аналіз факторів впливу.

Часові ряди можуть бути переривними або дискретними; моментними (знач форм-ся в даний момент) та агрегованими (підсумування значень за певний проміжок часу)

При аналізі часових рядів спостереження потрібно нормувати за доп поправочного коефіцієнта (в середньому за рік, квартал…)

Основною метою аналізу часових рядів є побудова моделі, на основі якої можна буде прогнозувати значення досліджуваної змінної.

Порядок аналізу часових рядів:

1. Побудова графіка для того, щоб виявити тренд та його характер

2. Визначення наявності сезонних та циклічних компонентів

3. Визначення ступеня повільності або переривчастості змін послідовно

4. Вибір моделі для часового ряду, для того, щоб мінімізувати похибку

Вважається, що модель підібрана адекватно, якщо залишкова компонента ряду є процесом «білого шуму»(нульове математичне сподівання, постійна дисперсія, некорельованість елементів)

Залежно від характеру зв’язку компонентів динаміки розрізняють дві основні моделі:

мультиплікативна модель, коли між компонентами існує зв’язок у вигляді добутку;

адитивна модель, коли між компонентами існує зв’язок у вигляді суми.

Мультиплікативному розкладу для рівнів ряду відповідає адитивний розклад для логарифмів:

Опишемо кожний компонент часового ряду окремо.

Тренд характеризує довготривалу закономірну тенденцію ряду до зростання або спадання. Його наявність неважко помітити, проаналі­зувавши графік часового ряду. Наявність тренда в економічних часо­вих рядах можна пояснити демографічними або технологічними змі­нами, а також змінами в структурі виробництва, попиту тощо.

Сезонний компонент показує коливання навколо трендового ком­понента. Його наявність можна пояснити сезонним характером виро­бництва, споживання. Наприклад, у четвертому кварталі кожного року перед Новим роком значно зростає споживання товарів.

Циклічний компонент характеризує коливання навколо тренда, по­в'язані з фазами бізнес-циклів¹.

Випадковий компонент - це те, що залишилось від часового ряду після вилучення тренда, циклічного та сезонного компонентів. Части­ну таких ефектів можна зарахувати до непередбачених природних катаклізмів (землетруси, пожежі, тощо), частину - до випадкових дій людей. За наявності випадкового компонента неможливо прогнозува­ти значення часового ряду без похибки.

Лаговий оператор.

Аналізуючи часові ряди, зручно використовувати оператор лага (В або L), за допомогою якого можна отримувати значення часового ряду як функції від його інших значень. Буквально лаг означає запізнення і мається на увазі значення змінної у попередній період. Часто використання лагового оператору прихводить до втрати математичної строгості, але воно значно спрощує математичні обчислення. До лагового оператору можна застосовувати усі еретворення, що і до звичайної змінної.

Застосувавши В для знач. y_t, отримаємо y_t-1, тобто Вy_t = y_t-1.

Оператор лага можна застосовувати рекурентно:

В(Вy_t)=Вy_t-1 = y_t-2

Якщо оператор лага діє k>0 разів, то число k записують як показник степеня:

В^ky_t=B(В^k-1y_t)= y_t-k Нарешті: В⁰y_t= y_t

Можна утворювати поліноми від оператора лага:

Відомі наступні властивості лагового оператору:

1) В С = С (лаг константи дорівнює константі)

2) Дистрибутивність:

3) Асоціативність:

4) Відємний лаг:

 

Міри точності прогнозів

 

Про точність прогнозу зазвичай судять за розміром помилки прогно­зу - різниці між прогнозним і фактичним значенням досліджуваної змінної. Проте такий підхід до оцінювання точності можливий лише якщо дослідник має фактичні значення змінної. Отри­мані ретроспективно помилки прогнозу якоюсь мірою характеризують точність застосованої методики прогнозування і можуть виявитися ко­рисними під час зіставляння кількох методів. Водночас розмір помил­ки ретроспективного прогнозу не можна розглядати як остаточний до­каз придатності або, навпаки, непридатності застосовуваного методу прогнозування.

Перевірка точності одного прогнозу мало що може сказати. Гарний одиничний прогноз можна отримати і за поганою мо­деллю, і навпаки. Звідси випливає, що про якість прогнозів застосо­вуваних методик і моделей можна судити лише за сукупністю зістав­лень прогнозів і їхньої реалізації.

Найбільш простою мірою якості прогнозів за умови, що є дані про їхню реалізацію, може стати відношення кількості випадків, коли фактичну реалізацію охоплював інтервальний прогноз, до загальної кількості прогнозів, тобто

де т - кількість прогнозів, підтверджених фактичними даними; р - кількість прогнозів, не підтверджених фактичними даними.

Коли всі прогнози підтверджуються, то р = 0 і Г) = 1; якщо ж усі прогнози не підтвердилися, то т, а отже, і г| дорівнюють 0.

Міра якості прогнозу Г. Тейла: коефіцієнт розбіжності, чисельником якого є середньоквадратична похибка прогнозу, а знаменник дорівнює квадратному коре­ню із середнього квадрата реалізації, тобто

де р - кількість періодів, на які розраховують прогноз.

Коефіцієнт V=0, коли всі у_{t prong}= у_t (випадок ідеального прогнозуван­ня); V = 1, коли процес прогнозування призводить до середньоквадратичної помилки "наївної" екстраполяції незмінності приростів; нареш­ті, V > 1, коли прогноз дає гірші результати, ніж припущення про не­змінність досліджуваного явища. Верхньої межі коефіцієнт не має.

Коефіцієнт розбіжності можна використати під час зіставляння якості прогнозів, одержаних на основі різноманітних методів і моде­лей. У цьому його безсумнівна привабливість.

Також виокремлюють більш об'єктивні статистики точності про­гнозів: МSЕ, RМSЕ, МАD, RМSPЕ, МАРЕ. Нехай y_{t_pr} - прогноз значення часового ряду у t-му періоді, тоді:

Середньоквадратична похибка прогнозу за р кроків;

- корінь із середньокв-ї похибки

 

- середня абсолютна похибка за р кроків

 

 

- корінь із середньокв-ї похибки у відсотках від фактичних значень

 

- середня абсолютна похибка у відсотках

за р кроків.

 

На практиці ці характеристики використовують досить часто. Пер­ші три критерії виражають похибку в одиницях виміру, тому їхня ве­личина залежить від специфіки часового ряду. Останні два критерії вимірюються у відносних одиницях, тому можна говорити про де­який загальний рівень адекватності моделі на основі їх порівняння.