Регресійні залежності довільного типу

Тут треба написати про нелінійні регресії (наприклад, поліноміальні), про цікаві функції (наприклад, функції Кобба-Дугласа), про використання моделей з різними змінними (якісними та кількісними - фіктивні змінні). Це таке
узагальнююче питання.

Фіктивні змінні.

У попередніх розділах ми розглядали змінні, які можна вимірювати за допомогою кількісних шкал (вартість капіталу, рівень інфляції, обсяг попиту і т.ін.). Однак, у багатьох випадках на поведінку змінної, яку ми вивчаємо впливають якісні фактори, наприклад, наявність або відсутність вищої освіти, статеві, расові відмінності. Для врахування дії подібних чинників застосовують фіктивні змінні. Фіктивні, або бінарні змінні можуть приймати два значення: 0 та 1. Розглянемо декілька прикладів. Нехай ми вивчаємо залежність заробітної платні від віку та рівня освіти за допомогою такої моделі

,

де y – величина зарплатні, x₁ – вік у роках, x₂ – рівень освіти, який вимірюється у роках навчання. Припустимо, що нам потрібно виявити, чи існує відмінність в оплаті праці між чоловіками і жінками. Для цього ми утворюємо фіктивну змінну D:

D = 1 для чоловіків і D = 0 для жінок. Модель набуде вигляду

.

Величина коефіціента b₃ показує відмінність у седньому рівні заробітної платні між чоловіками і жінками, які мають однаковий вік та рівень освіти.

Для того, щоб відтворити в моделі вплив якісного фактора, який може приймати m рівнів, в модель потрібно включити m –1 фіктивну змінну.

Нелінійна регресія

Якщо графік регресії або зображується кривою лінією, то кореляцію називають криволінійною (нелінійною). Наприклад, квадратичні функції використовуються для опису дуже широкого спектру економічних процесів, завдяки їхнім універсальним властивостям. Дійсно, у загальному випадку квадратична функція має вигляд: . (1)

Обернена функція має вигляд: , (2)

тобто узагальнені регресії моделі відповідно будуть: , (3)

а вибіркові нелінійні регресії є:

(4)

(5)

За методом найменших квадратів параметри знаходять з системи:

, (6)

(7)

Для аналізу зв’язку y і х в цих випадках використовуються кореляційними відношеннями:

, (8)

де .

Модель Коба-Дугласа та її оцінка

Розглянемо виробничу функцію Коба–Дугласа:

Y = AL ^a C ^b, (1.59)

де Y –валовий випуск, L– обсяг трудових ресурсів, С –обсяг капіталу (виробничих фондів), A, a, b – параметри. Коефіцієнт пропорційності A відображає рівень технології. Парамери a та b є коефіцієнтами еластичності відносно праці та капіталу (отже, функція Коба–Дугласа є виробничою функцією зі сталою еластичністю). Прологарифмувавши рівняння (1.59), маємо:

y = a + a l + b c, (1.60)

де a = ln A, l = ln L, c = ln C. Якщо ввести до рівняння (1.60) стохастичний доданок, то одержимо модель лінійної регресії: y = a + a l + b c +e. (1.61)

Щоб перетворити вихідну модель (1.59) на стохастичну, обчислимо експоненту від обох частин рівності (1.61): Y = AL ^a C ^be^e. (1.62)

Ми бачимо, що модель (1.62) можна звести до моделі лінійної регресіі. Аналогічно можна вивчати досить широкий клас моделей, які за допомогою перетворень змінних та рівнянь можна звести до моделі лінійної регресії. Широковживаним є приклад поліноміальної регресії:

.

 

 

Модель Коба-Дугласа та її оцінка

Розглянемо виробничу функцію Коба–Дугласа:

Y = AL ^a C ^b, (1.59)

де Y –валовий випуск, L– обсяг трудових ресурсів, С –обсяг капіталу (виробничих фондів), A, a, b – параметри. Коефіцієнт пропорційності A відображає рівень технології. Парамери a та b є коефіцієнтами еластичності відносно праці та капіталу (отже, функція Коба–Дугласа є виробничою функцією зі сталою еластичністю). Прологарифмувавши рівняння (1.59), маємо:

y = a + a l + b c, (1.60)

де a = ln A, l = ln L, c = ln C. Якщо ввести до рівняння (1.60) стохастичний доданок, то одержимо модель лінійної регресії: y = a + a l + b c +e. (1.61)

Щоб перетворити вихідну модель (1.59) на стохастичну, обчислимо експоненту від обох частин рівності (1.61): Y = AL ^a C ^be^e. (1.62)

Ми бачимо, що модель (1.62) можна звести до моделі лінійної регресіі. Аналогічно можна вивчати досить широкий клас моделей, які за допомогою перетворень змінних та рівнянь можна звести до моделі лінійної регресії. Широковживаним є приклад поліноміальної регресії:

.