Виды факторных моделей и методы факторного моделирования

Моделирование – это метод научного познания, с помощью которого создается модель (условный образ) объекта исследования, выражающая взаимосвязь исследуемого показателя с показателями факторами в форме конкретного математического уравнения или системы уравнений.

Различают следующие типы факторных моделей:

1. Аддитивные модели:

п

Y = Σ X 1 + X2 + X3 + …+ Xn

I=1

Результат – это сумма(разность) факторов.

2. Мультипликативные модели:

n

Y = П Хi = X1 x X2 x X3 x…x Xn

i=1

Результат – это произведение факторов.

3.Кратные модели:

X1

Y =---------

X2

Результат – это частное от деления.

4.Смешанные модели:

(X1 – Xo) x X2

Y = (X1 + X2) x X3; Y = ---------------------- и т.д.

X3

 

Результат – это сочетание предыдущих моделей в одной.

Этим основным типам моделей соответствуют методы факторного моделирования:

1. Метод удлинения факторной модели путем замены одного фактора на сумму однородных показателей. Например, исходная факторная модель:

В

Y = --------,

А

но В состоит из суммы элементов: В=b11 + b12 + b13 + b14, тогда

B b11+b12+b13+b14 b11 b12 b13 b14 n

Y= ------ = -------------------------= ----+ ----+----+-----= x1+x2+x3+x4 = Σ Xi

A A A A A A i=1

 

Получилась аддитивная факторная модель.

 

2. Метод расширения факторной модели путем замены одного или нескольких факторов на произведение однородных показателей.

В

Например, исходная факторная модель: Y = ------

А

Но если умножить и числитель, и знаменатель на одни и те же показатели, тогда:

 

B B x c x d x e B c d e n

Y = ---- = --------------------= ---- x ---- x ---- x---- = X1 x X2 x X3 x X4 = ПXi

A A x c x d x e c d e A i=1

 

В результате получилась мультипликативная факторная модель.

 

3. Метод сокращения факторной модели, путем деления одного или нескольких факторов на новые показатели.

B

Например, исходная факторная модель: Y = ---------

A

Но если числитель и знаменатель разделить на новый показатель, то

В

----------

С Х1

Y = ---------- = -----------

А Х2

-------

С

 

Получилась новая кратная модель.

Способы элиминирования

К способам элиминирования (исключения) относят способ цепной подстановки, способы абсолютных и относительных разниц, индексный способ.

Наиболее универсальным из этих методов является способ цепной подстановки. Он используется для расчета влияния факторов во всех типах детерминированных факторных моделей: аддитивных, мультипликативных, кратных и смешанных.

Реализация этого способа требует реализации следующих последовательных шагов:

а) замена базисной величины одного показателя-фактора его фактической (отчетной) величиной, все остальные факторы при этом остаются неизменными, причём сначала заменяются количественные факторы, а затем – качественные;

б) используя факторную модель, по каждой подстановке производим расчет результата;

в) степень влияния факторов на результат определяется последовательным вычитанием: из первой «подстановки» вычитается базисный результат, из второго расчетного результата вычитается первый, из третьего – второй и т.д., т.е. из каждого последующего вычитается предыдущий результат.

Порядок применения этого способа рассмотрим на примере Савицкой Г.В.

 

Таблица 5.1.

Данные для факторного анализа объема выпуска товарной продукции

Показатель	Условное обозначение	Базисный период	Отчетный период	Отклонение (+.-)
Выпуск продукции, тыс. руб	ТП	160 000	240 000	+80 000
Среднегодовая численность рабочих, чел.	КР			+200
Отработано всеми рабочими за год: дней часов	Σ Д t	250 000 2 000 000	307 200 2 334 720	+ 57 200 +334 720
Среднегодовая выработка одного рабочего, тыс. руб.	ГВ			+40
Количество дней отработанных одним рабочим за год	Д			+6
Среднедневная выработка продукции одним рабочим, руб.	ДВ		781,25	+ 141,25
Средняя продолжительность рабочего дня, час.	П		7,6	-0,4
Среднечасовая выработка, руб.	ЧВ		102,796	+22,796

 

Зависимость объема выпуска товарной продукции (ТП) от количества рабочих (КР) и среднегодовой выработки каждого из них (ГВ) описывается двухфакторной мультипликативной моделью:

ТП = КР х ГВ.

Из таблицы 5.1. видно, что за анализируемый период объем выпуска товарной продукции вырос на 80 000 тыс. руб. За счет чего это произошло?

Для измерения влияния двух факторов (изменения численности рабочих и их среднегодовой выработки) способом цепной подстановки вначале производятся три расчета:

1-й расчет - все показатели базисные.

ТП баз. = КР баз. Х ГВ баз. = 1000 х 160 = 160 000 (тыс. руб.);

2-й расчет – среднесписочное число рабочих фактическое, среднегодовая выработка базисная.

ТП усл. = КРф х ГВ баз. = 1200 х 160 = 192 000 (тыс. руб.);

3-й расчет – все показатели фактические.

ТП ф = КРф х ГВф = 1200 х 200 = 240 000 (тыс. руб.);

Затем вычисляют какое изменение в результативный показатель внес каждый фактор.

В нашем примере, отклонение от базисного уровня выпуска товарной продукции за отчетный период (ΔТП общ.)явилось результатом влияния следующих факторов:

а) увеличения численности рабочих ΔТП кр = ТП усл. – ТП баз. =

= 192 000 –160 000 = + 32 000 (тыс. руб.)

б) повышения уровня производительности труда ΔТП гв = ТПф – ТП усл=

= 240 000 – 192 000 = + 48 000 (тыс. руб.)

____________________________________

Итого + 80 000 тыс. руб.

Алгебраическая сумма влияния факторов обязательно должна быть равна общему приросту результативного показателя:

ΔТП кр + ΔТП гв = ΔТП общ.

Отсутствие такого равенства говорит о допущенных ошибках в расчетах.

Если требуется, например, оценить размер влияния четырех факторов, то производится пять расчетов и рассчитывается три условных показателя и т.п.

Пример 2

Используя исходные данные изложенные в таблице 5.1. оценить влияние на объем товарной продукции воздействия четырёх факторов:

1) численности рабочих (КР);

2) количества дней отработанных одним рабочим за отчетный период (Д);

3) средней продолжительности рабочего дня (П);

4) среднечасовой выработки (ЧВ).

Имеем четырехфакторную модель:

 

ТП = КР * Д * П * ЧВ.

 

Расчеты:

1. ТП баз. = КР баз. * Д баз. * П баз. * ЧВ баз. = 1000 * 250 * 8 * 80 =

= 160 000 (тыс. руб.);

2. ТП усл. 1 = КРф * Д баз. * П баз. * ЧВ баз. = 1200 * 250 * 8 * 80 =

= 192 000 (тыс. руб.);

3. ТП усл.2 = КРф * Дф * П баз. * ЧВ баз = 1200 * 256 * 8 * 80 =

= 196 608 (тыс. руб.);

4. ТП усл.3 = КРф * Дф * Пф * ЧВ баз. = 1200 * 256 * 7,6 * 80 =

= 186 778 (тыс. руб.);

5. ТП ф = КРф * Дф * П ф* ЧВ ф = 1200 * 256 * 7,6 * 102,796 =

= 240 000 (тыс. руб.).

 

Отсюда вывод: отклонения от уровня прошлого года по объему выпуска товарной продукции на 80 000 тыс. руб. явилось следствием влияния следующих факторов:

 

а) изменения количества рабочих:

ΔТП кр = ТП усл.1 – ТП баз. = 192 000 –160 000 = + 32 000 (тыс. руб.);

б) изменения количества дней отработанных одним рабочим за год:

ΔТПд = ТП усл.2 – ТП усл. 1 = 196 608 – 192 000 = + 4608 (тыс. руб.);

в) изменения средней продолжительности рабочего дня:

ΔТП п = ТП усл.3 – ТП усл.2 = 186 778 – 196 608 = - 9830 (тыс. руб.);

г) изменения среднечасовой выработки:

ΔТП св = ТПф – ТП усл.3 = 240 000 – 186778 = +53 222 тыс. руб.

_____________________________________

Итого + 80 000 тыс. руб.

Используя способ цепной подстановки, следует придерживаться определенной последовательности расчетов:

Ø В первую очередь необходимо учитывать изменение количественных факторов, а затем качественных;

Ø Если количественных и качественных показателей несколько, то вначале необходимо оценить влияние факторов первого уровня, затем более низкого.

Таким образом, применение способа цепной подстановки требует:

знания взаимосвязи факторов, их соподчиненности;

умения правильно классифицировать факторы.

Преимуществом способа цепных подстановок является то, что с его помощью можно исследовать все типы детерминированных моделей.

Недостатками способа являются то, что результаты расчетов зависят от последовательности замены факторов, а также то, что активная рорль в изменении обобщающего показателя необоснованно часто приписывают влиянию качественного фактора.

Способ абсолютных разниц является одной из модификаций элиминирования. Как и способ цепной подстановки, он применяется для расчета влияния факторов на прирост результативного показателя в детерминированном анализе, но только в мультипликативных и мультипликативно-аддитивных моделях: Y = (a –b) c и Y = a (b – c).

И хотя его использование ограничено, но благодаря своей простоте он получил широкое применение в АХД.

Сущность способа: величина влияния факторов на результативных показатель рассчитывается умножением абсолютного прироста исследуемого фактора на базовую (плановую) величину факторов, которые находятся справа от него, и на фактическую величину факторов, расположенных слева от него в модели.

Рассмотрим алгоритм расчета для мультипликативной факторной модели типа Y = a * b * c * d. Имеются плановые и фактические значения по каждому факторному показателю, а также их абсолютные отклонения:

Δ a = aф – aпл; Δb = bф – bпл; Δ c = cф – cпл; Δd = dф – dпл.

Определяем изменение величины результативного показателя за счет каждого фактора:

 

ΔY а = Δа * b пл * спл * dпл;

ΔYb = aф *Δ b * спл * dпл;

ΔYc = aф * bф * Δc * dпл;

ΔYd = aф * bф * cф * Δd.

 

Рассмотрим методику расчета влияния факторов этим способом по ранее рассмотренной четырехфакторной модели:

ТП = КР * Д * П * ЧВ.

Δ ТПкр= (КРф – КР пл) * Д пл * П пл * ЧВ пл = (1200 – 1000) * 250 * 8 * 80 =

= + 32 000 (тыс. руб.),

Δ ТП д= КРф * (Дф –Д пл) * П пл * ЧВ пл = 1200 * (256 –250) * 8 * 80 =

= + 4608 (тыс. руб),

Δ ТП п = КРф * Дф * (Пф –П пл) * ЧВ пл = 1200 * 256 * (7,6 –8) * 80 =

= - 9830 (тыс. руб.),

Δ ТП чв = КРф * Дф * Пф * (ЧВф – ЧВ пл) = 1200 * 256 * 7,6 * (102,796 – 80)

= +53 222 (тыс. руб.).

_____________________________________________

Итого + 80 000 тыс. руб.

Таким образом, способ абсолютных разниц дает те же результаты, что и способ цепной подстановки.

Рассмотрим алгоритм расчета влияния фактором этим способом в моделях мультипликативно-аддитивного типа. Для примера возьмем факторную модель прибыли от продаж продукции:

П= VРП (Ц – С\б),

где П – прибыль от продаж; VРП - объем продаж продукции; Ц – цена единицы продукции; С\б – себестоимость единицы продукции.

Прирост суммы прибыли за счет изменения:

объема реализации продукции Δ П vрп =VРП (Цпл – С\б пл);

цены реализации ΔПц = VРП ф * ΔЦ;

себестоимости продукции ΔП с\б =VРП ф * (- Δ С\б).

 

Cпособ относительных разниц, как и предыдущий, является одним из способов элиминирования. Он также как и способ абсолютных разностей применяется для измерения влияния факторов на прирост результативного показателя только в мультипликативных и мультипликативно-аддитивных моделях типа Y = (a – b) * c.

Рассмотрим методику влияния факторов этим способом на примере мультипликативной модели типа Y = a*b*c.

Во-первых, рассчитывают относительное отклонение факторных показателей:

aф – aпл

Δa % = ---------- * 100%;

апл

 

bф - bпл

Δ b % = ---------------- 100%;

bпл

 

d ф - d пл

Δ d % = --------------------- 100%.

dпл

Затем рассчитывают изменение результативного показателя за счет каждого фактора:

Δ a

ΔY a = Yпл * --------------;

а пл

Δ b

ΔY b = (Yпл – ΔY a) * ------------;

b пл

 

Δ с

Δ Yc =(Yпл+ ΔYa + Δ Yb) * -----------.

c пл

 

Пример. Рассчитать влияние факторов на прирост результативного показателя способом относительных разниц, используя данные таблицы 5.1.

ТП пл * КР% 160 000 * 20%

Δ ТП кр = -------------------- = --------------------- = + 32 000 (тыс. руб.);

100% 100%

 

(ТП пл + ΔТП кр) * ΔД% (160 000 – 32 000) * 2,4%

ΔТПд = -------------------------------------- = --------------------------------------- = + 4608 (т. руб)

100% 100%

 

(ТП пл + ΔТП кр + ΔТП д) * ΔП% (160000+32000+4608)*(-5%)

ΔТП п = ------------------------------------------------ = -------------------------------------

100% 100%

= - 9830 (тыс. руб.);

 

(ТП пл + ΔТП кр + ΔТП д + ΔТП п) * ΔЧВ %

ΔТП чв = ------------------------------------------------------------ =

100%

(160 000 + 32 000 + 4608 – 9830) * 28,5

=-------------------------------------------------- = + 53 222 (тыс.руб.).

100%

Итого 80 000тыс. руб.

 

Индексный метод основан на относительных показателях динамики, пространственных сравнений.

Индекс показывает процентное или долевое изменение определенного значения за какой то период времени.

Применяется этот метод только в кратных и мультипликативных, двухфакторных моделях.

С помощью индексов решаются следующие задачи:

1) индексы позволяют измерять изменение (динамику) сложных явлений;

2) с помощью индексов можно определить влияние различных факторов на изменение уровня результативного показателя;

3) индексы являются показателями сравнений не только с прошлым периодом (сравнений во времени), но с другой территорией (сравнение в пространстве), а также с нормативами, планами, прогнозами.

Для факторного анализа больше подходят агрегатные индексы.

Для примера возьмем агрегатный индекс стоимости продукции:

Σ g1 * p1

I тп = ---------------------------.

Σ go * po

Он отражает изменение физического объема выпуска товарной продукции (g) и цен (р) и равен произведению их индексов:

 

Iтп = Ig * I p.

 

Чтобы установить, как изменилась стоимость товарной продукции за счет изменения объема ее выпуска в натуральных единицах и цен, нужно рассчитать индекс физического объема Ig и индекс цен Ip.

 

Σ g1 po Σ g 1 p1

Ig = -------------------; Ip = --------------.

Σ go po Σ g1 po

 

В нашем примере объем выпуска продукции можно представить в виде произведения численности рабочих и среднегодовой выработки каждого рабочего. Проведем факторный анализ индексным методом.

КРф * ГВф 1200 * 200 240 000

Iтп =------------------- =---------------- = ------------= 1,5;

КР пл * ГВ пл 1000 * 160 160 000

 

КРф * ГВпл 1200 * 160 192 000

I kp = -------------------- = ----------------- = ------------- = 1,2;

КР пл * ГВ пл 1000 * 160 160 000

 

КРф * ГВф 1200 * 200 240 000

I гв = ------------------- = ----------------- = ------------------ = 1,25;

КРф * ГВ пл 1200 * 160 192 000

 

Iтп = Iкр * Iгв = 1,2 * 1,25 = 1,5.

 

Если из числителя вышеприведенных формул вычесть знаменатель, то получим абсолютные приросты продукции в целом и за счет каждого фактора в отдельности, т.е. те же результаты, что и при помощи других способов элиминирования.

 

Интегральный способ

Интегральный способ так же как и способы элиминирования широко используются в аналитической практике для измерения влияния факторов на результативный показатель в мультипликативных, кратных и кратно-аддитивных моделях.

Считается что он позволяет получать более точные, а значит и белее обоснованные результаты расчета.

Для использования интегрального способа не требуется знания всего процесса интегрирования, а необходимо знать готовые рабочие формулы.

Так для факторной модели типа У = А * В используются следующие формулы:

 

Δ У А = Δ А * Во + ½ ΔА * ΔВ; или Δ У А = 1\2 Δ А (Во + В1);

Δ У в = Δ В * Ао + 1\2 ΔА * ΔВ; или ΔУ в = 1\2 Δ В (Ао + А1).

 

В нашем примере:

Δ ТПкр = 200 * 160 + 1\2 (200 * 40) = 36 000 (тыс. руб.);

 

ΔТП гв = 40 * 1000 + 1\2 (200 * 40) + 44 000 (тыс. руб.).

 

Аналогичные рабочие формулы имеются и для других типов факторных моделей.