Поняття застосування симультативних моделей. Модель попиту на товар.

Поняття застосування симультативних моделей. Модель попиту на товар.

В економічній теорії оперують кількома видами попиту: макроекономіка- сукупний попит, мікроекономіка- ринковий попит. Індивідуальний попит, попит на продукт окремої фірми. Припустимо, що нам треба оцінити ринкову величину попиту на деякий товар. З економічної теорії відомо, що попит на будь-який товар залежить від цінових та нецінових чинників (детермінантів). Ціновий чинник- це власне ціна товару P. До найважливіших нецінови детермінантів належить:

- Ціни споріднених товарів - P₀;

- Доходи споживачів-y;

- Смаки та вподобання споживачів - W;

- Чисельність населення та його структура – N;

- Очікування споживач. Стосовно майбутніх доходів та цін – М;

- Специфічні чинники – S.

Таким чином обся попиту на товар можна представити у вигляді багатофакторної регресійної моделі:

Q=f(P, P0, y, W, M, N, S, Z), де Z – інші чинники.

Припустимо, що математико-статистичний аналіз факторів, що впливають на обсяг попиту на певний товар, показує, що найбільш статистично значними є такі фактори: власна ціна товару, ціни споріднених товарів, доходи споживачів. Припустимо також, що залежність між обсягом попиту на товар і цими факторами є лінійною. Тоді функцію попиту на товар можна записати у вигляді: (1)

, де - невідомі параметри багатофакторної регресійної моделі, а - випадкова величина.

Проте в моделі (1) існує двосторонній зв'язок, внаслідок чого порушується 4 припущення регресійного аналізу і використання МНК дасть зміщені оцінки параметрів зв’язку. Саме тому рівняння (1) не можна розглядати як повну модель попиту на това. До цього рівняння треба приєднати принаймні ще одне рівняння, яке описує зв'язок між P та Q, наприклад, (2), де - невідомі параметри рівняння;

V - випадкова величина, а S – специфічний чинник. Рівняння (1),(2) утворюють систему симультативних рівнянь, яка є економетричною моделлю попиту.

Покажемо що у рівнянні (1) змінна Р залежить від випадкової величини.підставивши в р-ня (2) вираз для Q (1)отримаємо:

рівняння (3) показує, що змінна Р залежить від випадкової величини , а, отже, P не є екзогенною змінною у функції попиту:

 

Поняття застосування симультативних моделей. Модель грошової пропозиції.

Пропозиція грошей – це кількість грошей, яка наявна в національній економіці на деякий момент часу. Пропозиція грошей є одним із знарядь проведення макроекономічної політики, регулювання пропозиції грошей називають монетарною політикою. Її суть полягую в контролюванні Національним банком пропозиції грошей, відсоткових ставок, ринків капіталу.

Припустимо, що нам треба оцінити пропозицію грошей. Одним з основних детермінантів монетарної політики є національний дохід. У зв’язку з цим функцію грошової пропозиції можна записати як парну лінійну кореляційно-регресійну модель (1), де М – грошова пропозиція; у – національний дохід; - невідомі параметри моделі; а - випадкова величина. Національний дохід – це сума всіх факторних доходів резидентів - зарплати, ренти, відсотка, прибутку. Отож, національний дохід залежить від гр.. пропозиції та інших факторів, напр..соціальної політики, інвестиційних рішень, продуктивності праці, тощо. Внаслідок цього модель гр.. пропозиції не можна розглядати як модель з одного рівняння (1). До цього р-ня треба долучити ще р-ня, яке описує зв'язок між у та М:

(2) де І – інвестиційні видатки.

Підставивши (1) в (2), отримаємо:

тобто ендогенна змінна у р-ння (1) залежить від вип.. величини Е: .

 

Визначення r на основі статистики Дарбіна-Уотсона

Критерій Д-У тісно пов'язаний із коеф.кореляції між сусідніми відхиленнями співвідношенням:

)

Тоді оцінка коефіцієнта автокореляції r може дорівнювати , тобто:

Цей метод оцінювання коеф.автокореляції r застосовують при великій кількості спостережень. У цьому разі оцінка параметра r буде достатньо точною.

 

Метод Хілдрета-Лу

За цим методом КРМ (1) оцінюють для кожного можливого значення r з інтервалу [-1;1] з деяким заданим кроком (напр.,0,001; 0,01 тощо). Величину , котра дає найменшу стандартну помилку моделі (найбільший коефіцієнт детермінації), приймають за оцінку коефіцієнта автокореляції r. Значення і оцінюють з корел-регр.моделі (1) саме із цим значенням r.

Недоліком цього методу є потреба побудови достатньо великої к-ті КРМ та оцінювання їх якості (знаходження стандартної похибки моделі або значення коефіцієнта детермінації). Ітераційний метод Х.-Лу зазвичай використовують в економетричних пакетах.

 

Цей метод використовують тоді, коли є вважають, що автокореляція випадкових величин достатньо велика, тобто його використовують тільки для двох значень параметра r: r=1 та r=-1.

Для динамічних рядів характерна додатна автокореляція випадкових відхилень , тому при високій автокореляції вважають, що r=1. У цьому разі рівняння

(1)

можна сформулювати так:

або (2)

Якщо позначити через , то залежність (2) можна записати так:

(3)

Оцінку параметра моделі (3) знаходять за допомогою МНК. Оцінку параметра не визначають безпосередньо з КРМ, а обчислюють за формулою:

.

Коли r=-1, то маємо таку КРМ:

Або (4)

Зробивши заміну змінних , , маємо таку ПЛКРМ:

 

Зміна специфікації моделі

Інколи проблему мультиколінеарності можна вирішити зміною специфікації моделі: або зміною форми моделі, або додаванням факторних змінних, що не враховані в початковій моделі, однак помітно впливають на результуючу змінну. Якщо цей підхід обґрунтований, то його використання зменшує суму квадратів випадкових відхилень, що зменшує стандартну похибку моде­лі, а отже, і знижує стандартну похибку коефіцієнтів регресії.

Перетворення змінних

Інколи мінімізувати або взагалі усунути проблему мультиколінеарності можна за допомогою перетворення змінних.

Однією із причин мультиколінеарності факторних ознак є їхня схильність змінюватись в одному напрямку. Зменшення такої залежності здійснюється за допомогою використання у кореляційно-регресійній моделі перших різниць послідовних у часі факторних ознак:

Цей прийом здебільшого зменшує мільтиколінеарність, оскільки різниці факторних ознак не завжди високо колінеарні. Але такі перетворення породжують додаткові проблеми. Випадкова величина може не задовольняти припущення класичного кореляційно-регресійного аналізу, зокрема, виникнення автокореляції випадкової величини. Використання перших різниць призводить до зменшення ступенів вільності на 1, що суттєво впливає на результати у малих вибірках.

Модель Койка

Роблять 2 припущення: 1) Коефіцієнти мають одинаковий знак; 2) Коефіцієнти змінюються в геометричній прогресії.

Параметр наз. темп зростання ДЛ, а швидкість прискорювання

Враховуючи припущення (1) нескінченно ДЛМ можна записати у вигляді:

Модель (2) з запізненням в 1 період

Модель (3) домножимо на

Від моделі (2) віднімемо модель (4)

для оцінювання параметрів моделі (5) можна застосувати МНК

Має такі особливості: 1) у ДЛМ ми отримуємо авто-регресійну модель; 2) під час оцінювання моделі (5) необхідно перевірити чи змінна є не стохастична, тобто чи не зал. від випадкової величини

Переваги: 1) чітке припущення що всі і змін в геометричній прогресії; 2) мат. модель.

27. Модель адаптивних очікувань (перша модель модифікації Койка)

Підхід Койка до дистрибутивно-лагових моделей Койк запропонував досить цікавий метод оцінки дистрибутивно-лагових моделей. Припустимо, ми починаємо з дистрибутивно-лагової моделі з невизначеним лaгом ( = ). Припускаючи, що βі мають той самий знак, Койк припустив також, що вони змінюються в геометричній прогресії: k = 0, 1, …, (1.4) де λ такі, що 0 < λ < 1 – темп зменшення дистрибутивного лагу, а (1- λ) – швидкість пристосування. Співвідношення (1.4) показує, що кожний наступний коефіцієнт β менший, ніж попередній (оскільки λ< 1), тобто з кожним наступним кроком у минуле вплив лaгу на уt поступово зменшується, що є досить імовірним припущенням. Значення лaгового коефіцієнта βк -залежить, крім загального β0 також і від λ. Чим ближче значення λ до 1, тим повільніший темп зменшення βк, а чим ближче він до 0, тим швидше спадає βк. У попередньому випадку віддалені в минулому значення х досить сильно впливали на уt, тоді як у нашому випадку їхній вплив на уt швидко зменшується. Слід зазначити, що метод Койка має такі переваги:

- припускаючи, що λ можуть бути від'ємними, Койк абстрагувався від зміни знака коефіцієнта при βі;

- завдяки тому, що λ<1 віддалені за часом, значення βі стали менш впливовими, ніж поточні;

- сума βі, яка складає довгостроковий мультиплікатор, є скінченною, тобто

. (1.5)

як результат (1.4), модель з кінцевим лагом (1.5) можна записати таким чином:

. (1.6)

 

28. Модель часткових пристусувань(друга МОДИФІКАЦІЇ моделі Койка)

Як бачимо, модель (1.6) також незручна для оцінки, оскільки залишається дуже велика (фактично нескінченна) кількість оцінюваних параметрів, крім того, параметр λ входить до моделі в нелінійній формі: тобто метод лінійної (за параметрами) регресії не можна застосувати до цієї моделі. Але Койк пропонує модифікований метод, який полягає в тому, що в модель (1.6) вводиться затримка на один період. Виходячи з цього, модель записується таким чином:

(1.7)

Далі помножуємо (1.7) на λ і отримаємо:

(1.8)

Віднявши (1.8) від (1.6), маємо:

(1.10)

де . Ця процедура відома як перетворення Койка. Порівнюючи (1.10) з (1.3), бачимо надзвичайне спрощення моделі. Якщо раніше нам треба було оцінювати параметр αλ та нескінченну кількість параметрів βі, тепер достатньо оцінити лише три змінних: α,βо і λ, тобто немає причин очікувати мультиколінеарність. Фактично ми позбулись мультиколінеарності заміною хt-1, хt-2 … на одну змінну, тобто уt-1.

Зазначимо деякі особливості трансформації Койка.

1. Трансформація Койка переводить дистрибутивно-лагову модель в авторегресивну, оскільки серед незалежних змінних залишається уt-1.

2. Поява уt-1 може спричинити ряд статистичних проблем: уt-1, як і уt, - стохастична; це означає, що в модель ми вводимо стохастичну змінну.

3. У початковій моделі (1.3) помилка дорівнювала εt, а в перетвореній .. Тепер статистичні властивості υt залежать від статистичних властивостей εt.

4. Наявність лагового значення у порушує одне з припущень d-тесту Дарбіна-Уотсона. Отже, нам потрібно розробити альтернативу для тестування серійної кореляції при лаговому у. Цією альтернативою є h-тест Дарбіна.

Метод Кохрана-Оркатта

Одним з можливих методів оцінювання коефіцієнта автокореляції ρ є ітеративний процес, який називають методом Кохрана-Оркатта. Його можна описати на прикладі ПЛКРМ:

Метод Кохрана-Оркатта складається з таких етапів:

1. За допомогою МНК (методу найменших квадратів) знаходять оцінки параметрів заданої кореляційно-регресійної моделі.

2. На підставі вибіркової кореляційно-регресійної моделі обчислюють значення випадкових відхилень .

3. Використовуючи модель AR(1) (авто регресійна модель Маркова першого порядку

), знаходять оцінку коефіцієнта автокореляції ρ, тобто будують вибіркову модель

4. На підставі цієї моделі будують кореляційно-регресійну модель:

,

і .

5. Оцінки параметрів і підставляють у початкову модель і переходять на пункт 2.

Процес оцінювання параметра ρ триває доти, доки не буде досягнута потрібна точність, тобто поки різниця між попереднім та поточним значеннями оцінки коефіцієнта автокореляції ρ не стане меншою від наперед заданого числа (величини заданої похибки).

 

 

 

Алгоритм Феррара — Глобера.

В алгоритмі Феррара — Глобера використовують три види статистичних критеріїв, на їхній підставі перевіряють мультиколінеарність: — критерій , за допомогою якого перевіряють мультиколінеарність усього масиву факторних ознак; — F -критерій, за його допомогою перевіряють гіпотезу Н₀: коефіцієнт детермінації дорівнює нулю: та гіпотезу H₁:коефіцієнт детермінації не дорівнює нулю: . За допомогою F- тесту перевіряють кореляцію кожної факторної ознаки з усіма іншими; — Т -критерій, на підставі якого перевіряють гіпотезу Н₀: частковий коефіцієнт кореляції дорівнює нулю: та гіпотезу Н₁: частковий коефіцієнт кореляції не дорівнює нулю: де — часткові коефіцієнти кореляції, які характеризують тісноту зв'язку між факторними ознаками х_l та х_j за умови, що решта факторних ознак не впливає на цей зв'язок. За допомогою t- тесту перевіряють наявність лінійної кореляційної залеж­ності кожної пари факторних ознак. Порівняння розрахованих значень цих критеріїв з їхніми критичними значеннями дає можливість зробити висновки щодо наявності чи відсутності мультиколінеарності.

Алгоритм Феррара — Глобера складається з кількох кроків. Крок 1. Нормалізація факторних ознак x₁,x₂,..x_k, яку здійснюють за допомогою перетворення , (7.78) де п — величина вибірки для кожної змінної (i=1,n); k- кількість факторних ознак у моделі (j=1,k); — середнє значення j- ї факторної ознаки; — дисперсія j -ї факторної ознаки.

Для нормалізованих значень факторних ознак виконуються умови: Крок 2. Обчислення кореляційної матриці де X* — матриця нормалізованих значень факторних ознак.

Елементами матриці R є парні коефіцієнти кореляції, які харак­теризують тісноту зв'язку між l-ю та j-ю факторними ознаками. Однак на підставі знайденої кореляційної матриці В не можна ствер­джувати, що отриманий зв'язок є явищем мультиколінеарності. Крок 3. Обчислення значення -критерію — , де — визначник кореляційної матриці R. Знаходимо табличне значення при — ступенях вільності і рівні значущості α. Якщо , тоімовірністю р=1-α можна стверджувати, що в ма­сиві факторних ознак є мультиколінеарність. Якщо , то з імовірністю р=1-α можемо зробити висновок щодо відсутності мультиколінеарності. Крок 4. Визначення матриці помилок С= . Крок 5. Розрахунок значень F- критерію — де -діагональні елементи матриці С. При заданих ступенях вільності n-k і k-1 та рівні значущості α знахо­димо табличне значення критерію і порівнюємо розраховані значення з табличним . Якщо > , то з імовірністю р=1-α гіпотезу Н₀ відкидаємо, а це означає, що j- та факторна ознака колінеарна з усіма іншими і потрібно вирі­шити питання про її вилучення з переліку змінних моделі. Якщо , то з імовірністю р=1-α гіпотезу Н₀ приймаємо, тобто факторна ознака х_j не є колінеарною з усіма іншими. На підставі діагональних елементів матриці С можна розрахувати коефі­цієнти детермінації для кожної факторної ознаки: . Коефіцієнт детермінації характеризує вплив усіх інших факторних ознак на факторну змінну х_j. Крок 6. Обчислення часткових коефіцієнтів кореляції, які характеризують тісноту зв'язку між двома факторними ознаками за умови, що всі інші фак­торні ознаки не впливають на цей зв'язок (тестування наявності парної колі-неарності) —

де — елемент матриці С, який розміщений на перетині l-ї стрічки та j- го стовпця; діагональні елементи матриці С.

Якщо порівняти деякі кількісні значення часткових і парних коефіцієнтів кореляції, то можна побачити, що перші значно менші від других. Отже, на підставі лише часткових коефіцієнтів кореляції висновок про парну коліне-арність зробити неможливо. Для цього потрібно виконати ще сьомий крок.

Крок 7. Розрахунок значень t- критерію — Розраховані значення критерію порівнюємо з табличним значенням при n-k ступенях вільності і рівні значущості α. Якщо то з імовірністю р=1-α гіпотезу Н₀ відкидаємо, тобто між факторними ознаками x _l і х_j наявна колінеарність. Якщо то з імовірністю р=1-α гіпотезу Н₀ приймаємо, тобто факторні ознаки х_l і х_j неколінеарні.

Аналізуючи значення критеріїв Fі t, можна зробити висновок, яку з фак­торних ознак потрібно вилучити з розгляду у побудованій кореляційно-рег­ресійній моделі, це варто робити з огляду на економічні та логіко-теоретичні міркування. Якщо за допомогою алгоритму Феррара — Глобера не можна визначити, яку факторну ознаку потрібно вилучити з переліку змінних моделі, то оці­нювати параметри моделі методом найменших квадратів не варто. У такому разі використовують інші методи, наприклад, метод головних компонент або одну з його модифікацій.

44. Узагальнений метод найменших квадратів (матричний підхід)

На відміну від звичайного методу найменших квадратів, узагальнений метод найменших квадратів ураховує інформацію про неоднаковість дисперсії і тому дає можливість одержати найкращі лінійні оцінки.

Розглянемо узагальнену множинну лінійну кореляційно-регресійну модель, зображену в матричному вигляді:

це Y - це n-вимірна матриця-стовпець спостережень за результуючою змінною у; X - матриця спостережень розмірності п*(k + 1) за факторними ознаками х₁,...,х_k, у якій елементами першого стовпця є одиниці для одержання вільного члена моделі, а інші стовпці є векторами спостережень за фактор­ними ознаками х₁,...,х_k; β – (k+1) - вимірна матриця-стовпець невідомих параметрів моделі; ε – n-вимірна матриця-стовпець випадкових величин ε_і.

Вибіркова кореляційно-регресійна модель має вигляд:

де Ỹ- n-вимірна матриця-стовпець теоретичних значень результуючої змінної, що розраховані на підставі кореляційно-регресійної моделі; b – (k+1) – вимірна матриця-стовпець оцінок параметрів кореляційно-регресійної моделі.

Позначимо через е = Y-Ỹ вектор випадкових відхилень.

Завдання полягає у знаходженні оцінок елементів вектора β у моделі. Для цього використовують матрицю S, за допомогою якої коригують вхідну ін­формацію.

Оскільки S — додатно визначена матриця, то вона може бути представле­на як добуток РР^Т, де матриця Р є ненародженою, тобто S = РР^Т.

При заданій матриці S оцінки параметрів моделі можна обчислити за формулою

стандартну похибку — згідно . Отже, ми можемо побудувати довірчі інтервали та критерії перевіряння статистичної значущості параметрів регресії β.

Дисперсія трансформованої похибки ε є постійною величиною, тобто для моделі

P^-1Y=P^-1Xβ+P^-1ε виконується припущення про гомоскедастичність і оцінювання її параметрів можна проводити на підставі методу найменших квадратів.

 

Поняття застосування симультативних моделей. Модель попиту на товар.

В економічній теорії оперують кількома видами попиту: макроекономіка- сукупний попит, мікроекономіка- ринковий попит. Індивідуальний попит, попит на продукт окремої фірми. Припустимо, що нам треба оцінити ринкову величину попиту на деякий товар. З економічної теорії відомо, що попит на будь-який товар залежить від цінових та нецінових чинників (детермінантів). Ціновий чинник- це власне ціна товару P. До найважливіших нецінови детермінантів належить:

- Ціни споріднених товарів - P₀;

- Доходи споживачів-y;

- Смаки та вподобання споживачів - W;

- Чисельність населення та його структура – N;

- Очікування споживач. Стосовно майбутніх доходів та цін – М;

- Специфічні чинники – S.

Таким чином обся попиту на товар можна представити у вигляді багатофакторної регресійної моделі:

Q=f(P, P0, y, W, M, N, S, Z), де Z – інші чинники.

Припустимо, що математико-статистичний аналіз факторів, що впливають на обсяг попиту на певний товар, показує, що найбільш статистично значними є такі фактори: власна ціна товару, ціни споріднених товарів, доходи споживачів. Припустимо також, що залежність між обсягом попиту на товар і цими факторами є лінійною. Тоді функцію попиту на товар можна записати у вигляді: (1)

, де - невідомі параметри багатофакторної регресійної моделі, а - випадкова величина.

Проте в моделі (1) існує двосторонній зв'язок, внаслідок чого порушується 4 припущення регресійного аналізу і використання МНК дасть зміщені оцінки параметрів зв’язку. Саме тому рівняння (1) не можна розглядати як повну модель попиту на това. До цього рівняння треба приєднати принаймні ще одне рівняння, яке описує зв'язок між P та Q, наприклад, (2), де - невідомі параметри рівняння;

V - випадкова величина, а S – специфічний чинник. Рівняння (1),(2) утворюють систему симультативних рівнянь, яка є економетричною моделлю попиту.

Покажемо що у рівнянні (1) змінна Р залежить від випадкової величини.підставивши в р-ня (2) вираз для Q (1)отримаємо:

рівняння (3) показує, що змінна Р залежить від випадкової величини , а, отже, P не є екзогенною змінною у функції попиту: