Классификационные признаки систем массового обслуживания.

В системах массового обслуживания различают три основных эта­па, которые проходит каждая заявка:

1) появление заявки на входе в систему;

2) прохождение очереди;

3) процесс обслуживания, после которого заявка покидает систему.

На каждом этапе используются определенные характеристики, которые следует обсудить прежде, чем строить математические модели.

Характеристики входа:

1) число заявок на входе (размер популяции);

2) режим поступления заявок в систему обслуживания;

3) поведение клиентов.

Число заявок на входе. Число потенциально возможных заявок (размер популяции) может считаться либо бесконечным (неогра­ниченная популяция), либо конечным (ограниченная популяция). Если число заявок, поступивших на вход системы с момента на­чала процесса обслуживания до любого заданного момента вре­мени, является лишь малой частью потенциально возможного числа клиентов, популяция на входе рассматривается как неогра­ниченная. Примеры неограниченных популяций: автомобили, проходящие через пропускные пункты на скоростных дорогах, покупатели в супермаркете и т.п. В большинстве моделей очередей на входе рассматриваются именно неограниченные популяции.

Если количество заявок, которые могут поступить в систему, сравнимо с числом заявок, уже находящихся в системе массо­вого обслуживания, популяция считается ограниченной. Пример ограниченной популяции: компьютеры, принадлежащие конкрет­ной организации и поступающие на обслуживание в ремонтную мастерскую.

Режим поступления заявок, в систему обслуживания. Заявки могут поступать в систему обслуживания в соответствии с опреде­ленным графиком (например, один пациент на прием к стомато­логу каждые 15 мин, один автомобиль на конвейере каждые 20 мин) или случайным образом. Появления клиентов считаются случай­ными, если они независимы друг от друга и точно непредсказу­емы. Часто в задачах массового обслуживания число появлений в единицу времени может быть оценено с помощью пуассоновского распределения вероятностей. При заданном темпе поступления (например, два клиента в час или четыре грузовика в минуту) дискретное распределение Пуассона описывается следующей фор­мулой:

где р (х) — вероятность поступления х заявок в единицу вре­мени;

х — число заявок в единицу времени;

l — среднее число заявок в единицу времени (темп по­ступления заявок);

е = 2,7182 — основание натурального логарифма.

Соответствующие значения вероятностей р(х) нетрудно опре­делить с помощью таблицы пуассоновского распределения. Если, например, средний темп поступления заявок — два клиента в час, то вероятность того, что в течение часа в систему не поступит ни одной заявки, равна 0,135, вероятность появления одной заявки — около 0,27, двух — также около 0,27, три заявки могут появиться с вероятностью 0,18, четыре — с вероятностью около 0,09 и т.д. Вероятность того, что за час в систему поступят 9 заявок или бо­лее, близка нулю.

На практике вероятности появления заявок, разумеется, не всегда подчиняются пуассоновскому распределению (они могут иметь какое-то другое распределение). Поэтому требуется прово­дить предварительные исследования для того, чтобы проверить, что пуассоновское распределение может служить хорошей аппрок­симацией.

Поведение клиентов. Большинство моделей очередей основы­вается на предположении, что поведение клиентов является стан­дартным, т.е. каждая поступающая в систему заявка встает в оче­редь, дожидается обслуживания и не покидает систему до тех пор, пока ее не обслужат. Другими словами, клиент (человек или ма­шина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока он не будет обслужен, не покидает очередь и не переходит из одной очереди в другую.

Жизнь значительно сложнее. На практике клиенты могут по­кинуть очередь потому, что она оказалась слишком длинной. Может возникнуть и другая ситуация: клиенты дожидаются сво­ей очереди, но по каким-то причинам уходят необслуженными. Эти случаи также являются предметом теории массового обслу­живания, однако здесь не рассматриваются.

Характеристики очереди:

1) длина;

2) правило обслуживания.

Длина очереди. Длина может быть ограничена либо не ограни­чена. Длина очереди (очередь) ограничена, если она по каким-либо причинам (например, из-за физических ограничений) не может увеличиваться до бесконечности. Если очередь достигает своего максимального размера, то следующая заявка в систему не допускается и происходит отказ. Длина очереди не ограничена, если в очереди может находиться любое число заявок. Например, очередь автомобилей на бензозаправке.

Правило обслуживания. Большинство реальных систем исполь­зует правило «первым пришел — первым ушел» (FIFO — first in, first out). В некоторых случаях, например в приемном покое боль­ницы, в дополнение к этому правилу могут устанавливаться раз­личные приоритеты. Пациент с инфарктом в критическом со­стоянии, по-видимому, будет иметь приоритет в обслуживании по сравнению с пациентом, сломавшим палец. Порядок запуска компьютерных программ — другой пример установления приорите­тов в обслуживании.

Характеристики процесса обслуживания:

1) конфигурация системы обслуживания (число каналов и чис­ло фаз обслуживания);

2) режим обслуживания.

Конфигурация системы обслуживания. Системы обслуживания различаются по числу каналов обслуживания. Обычно количество каналов можно определить как число клиентов, обслуживание которых может быть начато одновременно, например: число мас­теров в парикмахерской. Примеры одноканальной системы об­служивания: банк, в котором открыто единственное окошко для обслуживания клиентов, или ресторан, обслуживающий клиентов в автомобилях. Если же в банке открыто несколько окошек для обслуживания, клиент ожидает в общей очереди и подходит к пер­вому освободившемуся окну, то мы имеем дело с многоканаль­ной однофазовой системой обслуживания. Большинство банков, также, как почтовые отделения и авиакассы, являются многока­нальными системами обслуживания.

Другая характеристика — число фаз (или последовательных этапов) обслуживания одного клиента. Однофазовыми являют­ся такие системы, в которых клиент обслуживается в одном пун­кте (на одном рабочем месте), затем покидает систему. Ресторан для обслуживания автомобилей, в котором официант получает деньги и приносит заказ в автомобиль, является примером од­нофазовой системы. Если же в ресторане нужно сделать заказ в одном месте, оплатить его в другом и получить пищу в третьем, то мы имеем дело с многофазовой (три фазы) системой обслу­живания.

На рис. 1 приведены системы обслуживания различной кон­фигурации.

Рис. 1

Режим обслуживания. Как и режим поступления заявок, режим обслуживания может характеризоваться либо постоянным, либо случайным временем обслуживания. При постоянном времени на обслуживание любого клиента затрачивается одинаковое вре­мя. Такая ситуация может наблюдаться на автоматической мойке автомобилей. Однако более часто встречаются ситуации, когда время обслуживания имеет случайное распределение. Во многих случаях можно предположить, что время обслуживания подчиня­ется экспоненциальному распределению с функцией распреде­ления

F( t ) = p(t< t) =1 – е^–tm, где р (t < t) — вероятность того, что фактическое время t обслу­живания заявки не превысит заданной величи­ны t;

m — среднее число заявок, обслуживаемых в едини­цу времени;

е = 2,7182 — основание натурального логарифма.

Параметры моделей очередей. При анализе систем массового обслуживания используются технические и экономические харак­теристики.

Наиболее часто используются следующие технические характери­стики:

1) среднее время, которое клиент проводит в очереди;

2) средняя длина очереди;

3) среднее время, которое клиент проводит в системе обслужи­вания (время ожидания плюс время обслуживания);

4) среднее число клиентов в системе обслуживания;

5) вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой;

6) вероятность определенного числа клиентов в системе.

Среди экономических характеристик наибольший интерес пред­ставляют следующие:

1) издержки ожидания в очереди;

2) издержки ожидания в системе;

3) издержки обслуживания.

Модели систем массового обслуживания. В зависимости от со­четания приведенных выше характеристик могут рассматривать­ся различные модели систем массового обслуживания.

Здесь мы ознакомимся с несколькими наиболее известными моделями. Все они имеют следующие общие характеристики:

а) пуассоновское распределение вероятностей поступления заявок;

б) стандартное поведение клиентов;

в) правило обслуживания FIFO (первым пришел — первым об­служен);

г) единственная фаза обслуживания.

I. Модель А — модель одноканальной системы массового об­служивания М/М/ 1 с пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания.

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют одну очередь к единственному пункту обслуживания. Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия:

1. Заявки обслуживаются по принципу «первым пришел — пер­вым обслужен» (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.

2. Появления заявок являются независимыми событиями, од­нако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, не­изменно.

3. Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества.

4. Время обслуживания описывается экспоненциальным рас­пределением вероятностей.

5. Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

Пусть l — число заявок в единицу времени;

m — число клиентов, обслуживаемых в единицу времени;

п — число заявок в системе.

Тогда система массового обслуживания описывается уравнени­ями, приведенными ниже.

Формулы для описания системы М/М/ 1:

— среднее число клиентов в системе;

— среднее время обслуживания одного клиента в системе (время ожидания плюс время обслуживания);

— среднее число клиентов в очереди;

— среднее время ожидания клиента в очереди;

— характеристика загруженности системы (доля време­ни, в течение которого система занята обслуживанием);

— вероятность отсутствия заявок в системе;

— вероятность того, что в системе находится бо­лее чем k заявок.

II. Модель В — многоканальная система обслуживания M/M/S. В многоканальной системе для обслуживания открыты два ка­нала или более. Предполагается, что клиенты ожидают в общей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслужи­вания.

Пример такой многоканальной однофазовой системы можно увидеть во многих банках: из общей очереди клиенты обращают­ся в первое освободившееся окошко для обслуживания.

В многоканальной системе поток заявок подчиняется пуассоновскому закону, а время обслуживания — экспоненциальному. Приходящий первым обслуживается первым, и все каналы обслу­живания работают в одинаковом темпе. Формулы, описывающие модель В, достаточно сложны для использования. Для расчета параметров многоканальной системы обслуживания удобно ис­пользовать соответствующее программное обеспечение.

Для многоканальной системы с неограниченной очередью должно выполняться условие < 1, где r — параметр загрузки системы (среднее число занятых каналов), п — минимальное ко­личество каналов, при котором очередь не будет расти до беско­нечности. В противном случае предельные вероятности существо­вать не могут.

Формулы для описания системы M/M/S:

— вероятность того, что система свободна;

— вероятность того, что в системе находится п заявок;

— вероятность того, что заявка окажется в очереди;

— среднее число занятых каналов;

— среднее число заявок в очереди;

— среднее число заявок в системе;

— время нахождения заявки в очереди;

— время нахождения заявки в системе.

III. Модель С— модель с постоянным временем обслуживания M/D/ 1.

Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели С с постоянным темпом обслуживания значения величин L_q и W_q вдвое меньше, чем соответствующие значения в модели А, име­ющей переменный темп обслуживания.

Формулы, описывающие модель С:

— средняя длина очереди;

— среднее время ожидания в очереди;

— среднее число клиентов в системе;

— среднее время ожидания в системе.

IV. Модель D — модель с ограниченной популяцией.

Если число потенциальных клиентов системы обслуживания ограничено, мы имеем дело со специальной моделью. Такая за­дача может возникнуть, например, если речь идет об обслужива­нии оборудования фабрики, имеющей пять станков.

Особенность этой модели по сравнению с тремя рассмотрен­ными ранее в том, что существует взаимозависимость между длиной очереди и темпом поступления заявок.

V. Модель Е — модель с ограниченной очередью. Модель от­личается от предыдущих тем, что число мест в очереди ограни­чено. В этом случае заявка, прибывшая в систему, когда все ка­налы и места в очереди заняты, покидает систему необслуженной, т.е. получает отказ.

Как частный случай модели с ограниченной очередью можно рассматривать модель с отказами, если количество мест в очере­ди сократить до нуля.

Сравнительная характеристика различных моделей систем массового обслуживания приведена в следующей таблице:

Примеры

Пример 1. Обслуживание автомобилей.

Иванов, механик автосервиса, может заменить масло в сред­нем в трех автомобилях в течение часа (т.е. в среднем на одном автомобиле за 20 мин). Время обслуживания подчиняется экспо­ненциальному закону. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, при­езжают в среднем по два в час, в соответствии с пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия, и их число не ограничено. Рассчитайте основные характеристики системы обслуживания.

Решение. На основе исходных данных получаем:

l = 2 машины в час — количество машин, поступающих в те­чение часа;

m = 3 машины в час — количество машин, обслуживаемых в течение часа;

машины — среднее количество машин, находящихся в системе;

— среднее время ожидания в системе;

машины — среднее коли­чество машин, ожидающих в очереди;

— среднее время ожи­дания в очереди;

— доля времени, в течение которого меха­ник занят;

— вероятность того, что в систе­ме нет ни одного клиента.

Вероятности того, что в системе находится более чем k машин:

Примечание. При k = 0 значение вероятности равно 1 – P ₀;

при k = 1 существует 44,4% шансов на то, что в системе находит­ся более одной машины, и т.д.

Пример 2. Сопоставление затрат.

После того как мы получили основные характеристики систе­мы обслуживания, часто бывает полезным провести ее экономи­ческий анализ. Как уже отмечалось, задачей менеджера является сопоставление возрастающих затрат на улучшение обслуживания и снижающихся затрат, связанных с ожиданием. Рассмотрим этот случай, дополнив условие примера 1.

Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные с ожи­данием, выражаются в снижении спроса вследствие неудовлетво­ренности клиентов и равны 100 руб. за час ожидания в очереди. Определите общие затраты функционирования автосервиса.

Решение. Так как в среднем каждая машина ожидает в очере­ди 2/3 часа (W_q) и в день обслуживается приблизительно 16 ма­шин (l×8 = 2 машины в час в течение 8-часового рабочего дня), общее число часов, которое проводят в очереди все клиенты, равно

Следовательно, затраты, связанные с ожиданием, составляют

Другая важная составляющая затрат владельца автосервиса — зарплата механика Иванова. Предположим, что он получает 70 руб. в час, или 560 руб. в день. Следовательно, общие затраты состав­ляют

1066 + 560 = 1626 руб. вдень.

Пример 3. Утилизация отходов.

Компания «Утиль» собирает и утилизирует в Мытищах алюми­ниевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющих сырье для вторичной переработки, ожидают в оче­реди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 6 тыс. руб. в час.

Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассоновскому закону с параметром l = 8 автомобилей в час. Если но­вый компактор будет использоваться, то амортизационные затра­ты составят 0,3 тыс. руб. на один контейнеровоз. Следует ли ис­пользовать компактор?

Решение. Затраты на простой одного автомобиля в очереди за одну ездку в системе без компактора составляют

В системе с компактором время ожидания в очереди при l = 8 автомобилей в час и m = 12 автомобилей в час будет равно

Затраты на простой автомобиля в очереди в этом случае составят

Сокращение времени простоя привело к сокращению затрат на простой одного автомобиля за одну ездку на сумму в 1,5 – 0,5 = 1 тыс. руб.

При условии, что затраты по эксплуатации компактора на один контейнеровоз составляют 0,3 тыс. руб., общие затраты составят 0,5 + 0,3 = 0,8 тыс. руб.

Система с компактором дает экономию в 1,5 – 0,8 = 0,7 тыс. руб. Таким образом, компактор использовать следует.

Вопросы

Вопрос 1. Одна работница обслуживает тридцать ткацких стан­ков, обеспечивая их запуск после разрыва нити. Модель такой си­стемы массового обслуживания можно охарактеризовать как:

1) многоканальную однофазовую с ограниченной популяцией;

2) одноканальную однофазовую с неограниченной популяцией;

3) одноканальную многофазовую с ограниченной популяцией;

4) одноканальную однофазовую с ограниченной популяцией;

5) многоканальную однофазовую с неограниченной популяцией.

Вопрос 2. В теории массового обслуживания для описания про­стейшего потока заявок, поступающих на вход системы, исполь­зуется распределение вероятностей:

1) нормальное;

2) экспоненциальное;

3) пуассоновское;

4) биномиальное;

5) ничто из вышеуказанного не является верным.

Вопрос 3. В теории массового обслуживания предполагается, что количество заявок в популяции является:

1) фиксированным или переменным;

2) ограниченным или неограниченным;

3) известным или неизвестным;

4) случайным или детерминированным;

5) ничто из вышеуказанного не является верным.

Вопрос 4. Двумя основными параметрами, которые определя­ют конфигурацию системы массового обслуживания, являются:

1) темп поступления и темп обслуживания;

2) длина очереди и правило обслуживания;

3) распределение времени между заявками и распределение времени обслуживания;

4) число каналов и число фаз обслуживания;

5) ничто из вышеуказанного не является верным.

Вопрос 5. В теории массового обслуживания для описания вре­мени, затрачиваемого на обслуживание заявок, обычно использу­ется распределение вероятностей:

1) нормальное;

2)экспоненциальное;

3) пуассоновское;

4) биномиальное;

5) ничто из вышеуказанного не является верным.

Вопрос 6. Ремонт вышедших из строя компьютеров на эконо­мическом факультете осуществляют три специалиста, работающие одновременно и независимо друг от друга. Модель такой систе­мы массового обслуживания можно охарактеризовать как:

1) многоканальную с ограниченной популяцией;

2) одноканальную с неограниченной популяцией;

3) одноканальную с ограниченной популяцией;

4) одноканальную с ограниченной очередью;

5) многоканальную с неограниченной популяцией.

Задачи

Задача 1. Система банка «Автодор» позволяет клиенту совер­шать некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром в рабочие дни прибывает в среднем 24 клиента в час. При­бытие клиентов описывается законом Пуассона. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью об­служивания 36 клиентов в час.

Определите следующие характеристики системы:

среднее число клиентов в очереди;

среднее число клиентов в системе;

среднее время ожидания;

среднее время, которое клиент проводит в системе.

Вопросы:

1. Сколько клиентов в среднем прибывает за 5 мин?

2. Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента при­будут за 5 мин?

3. Если в течение 5 мин прибывает более 3 клиентов, то воз­никает проблема перегруженности системы. Какова вероят­ность возникновения такой проблемы?

4. Каковы вероятности того, что время обслуживания соста­вит: а) не более 1 мин; б) не более 2 мин; в) более 2 мин?

5. Какова вероятность того, что прибывающему клиенту при­дется ждать обслуживания?

6. Каковы вероятности того, что в системе находится: а) 0 кли­ентов; б) 3 клиента; в) более 3 клиентов?

Задача 2. Автосервис решил нанять механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые. На это место есть два кан­дидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть на­нят за 7 долл. в час. Ожидается, что этот механик сможет обслу­живать 3 клиента в час. Другой механик более опытен, он в со­стоянии обслужить 4 клиента в час, но его можно нанять на работу за 10 долл. в час. Клиенты прибывают со скоростью 2 клиента в час. Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 15 долл. в час. Предполагая пуассоновское распреде­ление прибытия и экспоненциальное — времени обслуживания, определите:

среднее время, которое клиент проводит в очереди;

среднюю длину очереди;

среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;

среднее число клиентов в системе обслуживания;

вероятность того, что система обслуживания окажется свобод­ной при условии найма одного или другого механика.

Вопросы:

1. Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки?

2. Каковы минимальные совокупные издержки?

Задача 3. «У Петра» — маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время об­служивания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания — 20 покупателей в час. Рассчитайте:

среднее время, которое покупатель проводит в очереди;

среднюю длину очереди;

среднее время, которое покупатель проводит в магазине;

среднее число покупателей в магазине;

вероятность того, что в магазине не окажется покупателей.

Владелец магазина установил, что затраты, связанные с ожи­данием, выражаются в снижении спроса и равны 2 долл. за один час ожидания. Он решил ограничить среднее время ожидания обслуживания пятью минутами. Можно попытаться достигнуть этого, реализовав одну из следующих альтернатив:

А. Нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем (часовая оплата каждо­го — 3 долл.). Это позволит увеличить среднюю скорость обслу­живания до 30 покупателей в час.

В. Нанять второго кассира (часовая оплата — 3 долл.), тем са­мым создав в магазине двухканальную очередь (средняя скорость обслуживания — 20 клиентов в час для каждого работника).

Вопрос: Какую альтернативу следует выбрать?

Задача 4. В верхнем течении Волги построена новая станция по обслуживанию речных судов. Суда прибывают по закону Пу­ассона со средней скоростью 5 судов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслужива­ния 10 судов в час. В среднем издержки по простою речного суд­на составляют 100 долл./ч, а издержки по обслуживанию дока — 75 долл./ч.

Вопросы:

1. Какова вероятность того, что док будет пуст?

2. Каково среднее число судов в очереди?

3. Каково среднее время ожидания обслуживания?

4. Каково среднее время пребывания в доке?

5. Администрация станции рассматривает возможность введе­ния в строй еще одного дока с той же скоростью обслужи­вания. Есть ли в этом необходимость?

Задача 5. «Гибкий путь» — небольшой супермаркет в одном из районов города. Покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 человек в час. На выходе из су­пермаркета стоит один кассовый аппарат, и обслуживает его один кассир. Время, затраченное на расчеты с клиентом, распределено экспоненциально и в среднем равно 3 мин.

Владелец магазина решил приобрести второй кассовый аппа­рат в целях сокращения времени, проводимого клиентами в оче­реди, для чего необходимо нанять второго кассира. Часовая оплата кассира — 2 долл. Затраты, связанные с ожиданием в очереди, приводят к снижению потребительского спроса и оцениваются в среднем в 3 долл. за час.

Вопросы:

1. Есть ли необходимость в приобретении второго кассового аппарата с точки зрения экономического эффекта? (Амор­тизационные отчисления от приобретенного кассового ап­парата и затраты на его обслуживание пренебрежимо малы, поэтому в расчетах их можно не учитывать.)

2. Приобретение третьего кассового аппарата приведет к даль­нейшему сокращению очереди, но есть ли в этом необходи­мость с точки зрения экономического эффекта?

Задача 6. Предприятие быстрого питания обслуживает кли­ентов, прибывающих на автомашинах по закону Пуассона со средней скоростью 24 машины в час. Время обслуживания рас­пределено экспоненциально. Клиенты делают свой заказ, а за­тем отъезжают, чтобы оплатить и получить заказанное. Каж­дый час, который клиент проводит в очереди, оценивается в 25 долл. Оплата служащим равна 6,5 долл. в час. Помимо зар­платы для обеспечения работы каждого из каналов надо тратить 20 долл. в час.

Рассматриваются следующие возможные конфигурации системы:

А. Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказы и принимающим оплату. Среднее время обслуживания клиента — 2 мин.

В. Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказ, и другим служащим, принимающим оплату. Среднее вре­мя обслуживания — 1,25 мин.

С. Двухканальная система с двумя служащими, каждый из ко­торых выполняет заказы и принимает оплату. Среднее время об­служивания — 2 мин для каждого из служащих.

Для каждой конфигурации системы определите:

вероятность того, что в системе нет машин;

среднее число машин в очереди;

среднее время ожидания обслуживания;

среднее время пребывания в системе;

среднее число машин в системе;

вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать.

Вопрос: Какой из вариантов требует меньших затрат?

Задача 7. Механики компании «Автосервис» прибывают на главный склад за запчастями со средней скоростью 4 механика в минуту. Сейчас на складе один работник. Каждый механик в сред­нем находится на складе 4 мин. Найдите:

среднее число клиентов в системе;

среднее время обслуживания одного клиента в системе;

среднее число клиентов в очереди.

Опыт использования двух работников на складе показал, что время ожидания механиком своей очереди снизилось. Определи­те для двухканальной системы:

среднее число клиентов в системе;

среднее время обслуживания одного клиента в системе;

среднее число клиентов в очереди.

Механик получает 1200 руб. в час, а работник отдела запчас­тей — 720 руб. в час.

Вопрос: Какая из двух систем (одноканальная или двухканаль­ная) более экономична?

Задача 8. Автоматическая мойка машин может обслужить 10 машин в час. Машины прибывают по закону Пуассона со сред­ней скоростью 24 автомашины за 8-часовой рабочий день. Систе­ма одноканальная.

Вопросы:

1. Чему равно среднее число автомобилей в очереди?

2. Чему равно среднее время ожидания?

3. Какую часть рабочего времени система занята?

Задача 9. Компания «Жалюзи на дом» решила довести число своих машин до 8. Президент компании интересуется, стоит ли в этом случае нанимать на работу второго механика в помощь к одному имеющемуся. Средняя скорость прибытия на ремонт равна 0,05 раза в час для каждой машины, средняя скорость обслужива­ния — 0,5 машины в час. Каждый механик получает 20 долл. в час, а стоимость простоя машины составляет 80 долл. в час.

Рассчитайте следующие операционные характеристики, если компания оставляет единственного механика:

вероятность того, что все машины работают и механик простаи­вает;

среднее число ожидающих ремонта машин;

среднее число машин в системе (машины в очереди и на об­служивании);

среднее время ожидания начала ремонта;

среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт).

Используя компьютерную программу, рассчитайте те же харак­теристики для случая с двумя механиками.

Вопрос: Сколько механиков следует нанять с экономической точки зрения?

Задача 10. В распоряжении магазина находится 10 грузовиков. Грузовики прибывают в магазин в случайном порядке в течение дня для погрузки-разгрузки. Каждый грузовик прибывает на об­служивание дважды за 8-часовой рабочий день. Средняя скорость обслуживания — 4 грузовика в час. Поток грузовиков описывает­ся пуассоновским распределением, время обслуживания — экспо­ненциальным. Определите:

вероятность того, что ни один грузовик не ожидает погрузки-разгрузки;

среднее число грузовиков в очереди;

среднее число грузовиков у магазина (грузовики в очереди и на погрузке-разгрузке);

среднее время ожидания в очереди.

Вопрос: Каковы часовые издержки по функционированию си­стемы, если в час издержки на кажцый грузовик рав­ны 50 долл., а на работы с грузовиками — 30 долл.?

Ситуации

Ситуация 1. Супермаркет «Север».

«Север» — недавно открытый супермаркет в Северном адми­нистративном округе Москвы, где существует большая конкурен­ция между подобными магазинами. Новый управляющий Петр Перфилов понимает, что при высокой конкуренции покупатели скорее пойдут туда, где им предложат лучшее обслуживание и более широкий ассортимент товаров. Он гордится своим магази­ном, большим выбором различных сортов мяса и сыра, а также мясным прилавком, где покупатель может попробовать нарезки мяса и птицы.

Петр уверен, что быстрое и эффективное обслуживание может привлечь покупателей и повысить конкурентоспособность. Он ввел систему безналичных расчетов за покупки и внедрил службу «Доставка на дом», чтобы сделать приобретение покупок более удобным, особенно для пожилых горожан. Следующий этап — установка новых кассовых аппаратов, недавно появившихся в сфе­ре обслуживания. Основной вопрос: сколько аппаратов следует установить? Слишком много — нежелательно. Но не потому, что появятся дополнительные издержки. Более важный аспект — эф­фективное использование площадей.

Планируя новый дизайн системы контроля, Петр собрал дан­ные о нескольких последовательных субботних, наиболее посеща­емых, утренних часах в своем магазине. Он заметил, что покупа­тели прибывают на контроль приблизительно по 10 человек в час. 20% покупателей оплачивают 10 или менее наименований продук­тов, и в среднем их обслуживают в течение 2 мин, в то время как на покупателей с более чем 10 товарами кассир затрачивает по 4 мин.

Задание

Помогите Петру определить, сколько новых кассовых аппара­тов следует установить.

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1 —4, 2 — 3, 3 —2, 4 —4, 5 —2, 6 —1.

Задача 1. Решение.

Рассматриваем модель А.

Среднее число клиентов в очереди

среднее число клиентов в системе

среднее время ожидания

среднее время, которое клиент проводит в системе,

В среднем за 5 мин прибывают (24: 60) • 5 = 2 клиента.

Вероятности того, что 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин, найдем по фор­муле, описывающей вероятность поступления заявок в систему (т.е. по закону Пуассона):

Вероятность того, что в течение 5 мин прибудут более 3 клиентов, равна 1 - [ р (0) +р (1) +р (2) +р (3)] = 1 – (0,135 + 0,27 + 0,27 + 0,18) = 0,145.

Вероятность того, что фактическое время обслуживания заявки t не превы­сит заданной величины t, подчинена экспоненциальному закону и может быть определена по формуле р (t < t) = 1 – e^–tm, где средний темп обслуживания m = 0,6 клиента в минуту:

а) вероятность того, что время обслуживания не превысит 1 мин, р (t < 1) = 1 – e^–0,6×1 = 0,45;

б) вероятность того, что время обслуживания не превысит 2 мин, р (t < 2) = 1 – e^–0,6×2 = 0,70;

в) вероятность того, что время обслуживания составит более 2 мин, равна 1 – р (t < 2) = 0,30.

Вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания,

Вероятность того, что в системе находится п клиентов, можно найти, исполь­зуя предельные вероятности одноканальной системы с неограниченной очередью:

а) 0 клиентов:

б) 3 клиента: P ₃= r ³ •Р ₀ = (0,667)³ • 0,33 = 0,098;

в) более 3 клиентов:

Ответы: 1. Два клиента. 2. 0,135; 0,27; 0,27; 0,18.

3. 0,145. 4. а) 0,45; 6) 0,7; в) 0,3.

5. 0,067. 6. а) 0,33; 6) 0,098; в) 0,198.

Задача 2. Решение.

Используем пакет POMWIN. Заполним модель М/М/ 1 исходными данными.

Для первого механика l = 2 клиента в час, m = 3 клиента в час,