Решение задачи о движении тела по наклонной плоскости в поле сил тяжести на основании ур-я Лагранжа 1го рода.

m = m

= l f(

x= cosa; h-y= sihna; y=ax+b; y=ax+h; b=h

a ; a=-

ур-е реакции связи:

y+tgax-h=0; f= y+tgax-h; ; l=mgco ; ; ; m = ; =-mg+l; y= -xtga+h

(-tga) = = -

= -g+ ; = - ; - = -g+

g= )=

= ; x= ; = - ;

y= - ; ;

; y=

 

Вариационный принцип.

Урав. Лагранжа-Эйлера

Пример:

– ф-я

действия.

Где будет малая величина. При дальнейших вычислениях будем ограничиваться 1-м порядком малости по .

.

Ф-я действия будет min,если

Поскольку пределы интегрирования по времени выбраны произвольным образом, то этот интеграл =0,если подинтеграл. выраж. =0. Поскольку отлично от 0, то выраж.в квадратной скобке=0.

Каждой степени свободы ставиться в соответствие независящая обобщённая координата. В общем случае обобщ. Корд.мех. сист. все r обобщ. коорд. независимы друг от друга. Соответственно обобщ. скорости они также независимы друг от друга.

Ф-я Лагранжа(L) назыв. разность T-U, где T- кинитич. энергия, U- потенц. энерг. системы.

L= T-U

T=T ( ,

U=U ( , то ф-я Лагранжа будет ф-я обобщ.коорд. и скоростей.

L=L(

Ур-я Лагранжа-Эйлера.

Ф-я Лагр. Для мех. сист.с одной степенью свободы будет: L=T-U=L(q,

Для получения ур-я движ. мех.сист. 1-й степени свободы воспользуемся принципом наименьшего действия (вариационный принцип).

(поскольку операция варьирования и дефференц.по времени, а следоват.и интегриров. по времени перестановочные операции, то операц. варьирования поднесём под , тогда)=

Ур-я Лагранжа-Эйлера, движущ-ся точки в центрально симметр.поле:

На основании ур-я Лагранжа-Эйлера получить ур-я колебаний метем. маятника и колеб. точки под упругой силы.

Ур-е связи.

Ур-е Лагранжа

Лагранжев формализм:

ёёё

23.Уравнение Лагранжа -Эйлера для системы с многими степенями свободы.
Пусть мех.сис-ма опр-ся коор-ми q1,q2..qr,где r-число степеней свободы {qα},α=1,2..r.Обоб. скорости { .Тогда ф.Лагранжа для мех. сис. с r степ. свободы L=L{qα, С помощью прин-ципа наименьшего принципа найдём уравнение движения S= δS=0 δS= = + =

Δqαdt=0 В рез.пол.

24.Обобщенные координаты, скорости и импульса. Циклические координаты. Законы сохранения обобщенных импульсов.
В формализме Лагранжа обоб.имп. мех. сис. Пα=

Опр. Цикл.коор-т

Обоб.коор-ты qβназ.цикл.,если ф-ия Лагранжа явно не зависит от этих корт,т.е

,тогда каждой цикл.коор-те соот-ет сохр-ся обоб.импульс

(вып.закон сохр.обоб.импульсов)

25.0писание движения материальной точки в потенциальном сферически­симметричном поле в полярных координатах в формализме Лагранжа.
L= -U(r)В данном случае мат.точка имеет 2 степ.свободы,этим степ. Свободы соот. 2 обоб.коор-ты r, и 2 обоб. скорости => движ.мат.точки будет опр-ся 2 обоб. имп. Пr= Пφ= Ф. Лагранжа не зав. от φ

Пφ= -момент импулься точки дви-ся в пл.орбиты.

26. Функция Гамильтона. Привести примеры на определение функции Гамильтона.
Пα= -обоб.импульс. Опр-м энергию мех.сис-мы.Если мех.сис-ма опр-ся ур-ем Лагранжа,кот.я вно не зав. от времени,то говорят,что мех сис.стационарна,а если явно зав.то не стационарна,т.е.

R(qα, α,t) =

+ = +

( + =

+ α

α- L(qα, α,t)]=- Из ур.следует,что если мех.сис-ма стац-на,то

и вел. H(qα,

= α-L явл. Сохр-ся вел.т.е явл. Инте-ом движения.

И это есть ф.Гамильтона

Физ.смысл: Расс.движ. точки в центр-ом поле L=T-U= x,y,z-обоб.коор-ты L(x,y,z+ явно от времени не зав.

H=Пх +Пу +Пz

- или H= + U(r)Пример:Движ.мат. точки с сфер.-сим. Поле в полярной СК

L(r,φ, = ( -U(r)

Пr=

Пφ= -обоб.импульс

H(r, φ, +U(r)= =H

Решение задачи Кеплера в формализме Лагранжа.

Кинетическая энергия в центрально-симметричном поле:

Потенциальная энергия:

M-масса солнца, m-масса планеты.

В этом случае система имеет 2 степени свободы:

Уравнения Лагранжа-Эйлера будут:

тогда:

Т. к.

то уравнение Лагранжа-Эйлера явно не зависит от , то - циклическая величина.

Пусть

Перепишем (1) с учетом введенных констант:

r=r(φ)

Каким расст. от силового центра в зав. от φ:

Общее решение:

Законы Кеплера.

Законы Кеплера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных на основе анализа астрономических наблюдений

Первый закон Кеплера (закон эллипсов):

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением

где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c=0 и e=0 эллипс превращается в окружность.