Доказательство 1-го закона Кеплера

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (закон площадей):

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Третий закон Кеплера (гармонический закон):

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

Комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

 

Основные элементы описания линейных многомерных колебаний в формализме Лагранжа.

Введем многомерный вектор:

При введении многомерных векторов и матриц уравнение функции Лагранжа для колеблющейся многомерной системы в линейном приближении можем переписать в виде:

 

 

УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ В ФОРМАЛИЗМЕ ЛАГРАНЖА В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ.

Запишем уравнение в виде Лагранжа-Эйлера:

В дальнейшем будем рассматривать мех.сист. у которых матрицы m и æ являются симметричными.

;

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ МНОГОМЕРН.КОЛЕБ В ЛИН.ПРИБЛЕЖЕНИИ.

Будем рассматривать р-е ур-ий дв-я кол-ся мех-ой сис-мы в лин прибл.,т.е когда будем строить ф-ю Лагранжа, то ф-ии будет реализовывать разложение слагаемых до 2ого порядка по оклон. обобщающих координ. от состояния устойчивого равновесия

L(ϕ,ψ,ϕ,ψ)Пусть механич. сис-ма имеет r степеней свободы. Эта механич. cис-ма определ-ся обобщ.коорд. коорд-ми q_1,q_2….q_r..Обозначим q_r,где L=1,2….r,тогда L=L(q_λ,q_λ)=T-U(q_λ)

Будем рассматривать состо-я мех сис-мы,где потенц. энергия минимальна.X_λ=q_λ-q⁽⁰⁾_λ отклон. обобщ. коорд-ты от положения равновесия.U(q_λ)=U(q⁽⁰⁾_λ+x_λ)= U(q⁽⁰⁾_λ)+ + +….

T= Ф-ю Лагранжа для колеб. многомерной сис-мы в лин.приближении можем записать в виде L= где координаты опред.пар-ми коэ-ты

 

 

Законы сохранения физических величин в формализме Гамильтона

Если частица движ. центр. симетр. в пот. поле то в этом случае выполн. з-н сохр. 3-ей компоненте мом. импульса. Аналог. образом м-но показ. что явл сохран. велич. независ. от врем. =const

В случае дв-я частицы в центр. симетр. пот. поля выполн. з-н сохр. мом. импульса L как векторной велич.

З-ны сохр. определ. физ. велич. тесным образом связаны со св-ми симметрии физ. сист.

 

Фазовое пространство. Закон сохранения потока точек фазового пространства

Фазовое пространство это множество точек которые задается с помощью осей на которых откладываются обобщенные координ.

Распр. т. фазового пространства определённая физическая величина не изменяется т.е. пост.

Движение заряженной частицы в электромагнитном поле в формализме Лагранжа

Пусть частица с зарядом e находится в электромагнитном иоле, заданном скалярным φ(r, t) и векторным A(r,t) потен­циалами. Электрическое и магнитное поля Е и B связаны с потенциалами соотношениями

Где c- скорость света. Нетрудно показать, что уравнение Лагранжа

совпадают с известными уравнениями движения

если выбрать функцию Лагранжа в виде

В функции Лагранжа слагаемые 1/2mv² и еср — это обычные кинетическая и потенциальная энергии частицы, а послед­нее слагаемое (e/c)Av, линейное по скорости, не является ни кинетической, ни потенциальной энергией. Обобщённый им­пульс

Известно, что поля Е и B, а следовательно, и уравнения движения частиц в электромагнитном поле не изменяются при градиентном преобразовании потенциалов, т. е. при за­мене

где f — произвольная функция координат и времени. В лагранжевом же формализме это приводит к тому, что по­тенциалам φ', A' и φ, A соответствуют лагранжианы L и L', отличающиеся на полную производную по времени от функции ef/c:

и эти лагранжианы должны быть физически эквивалентны.