Классический метод анализа переходных процессов

Начальные условия

 

Значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т. е. в начальный момент, образуют независимые начальные условия задачи. Независимые начальные условия определяют начальный запас энергии в цепи. Различают задачи с нулевыми начальными условиями, когда для всех емкостей uC(0+) = 0 и для всех индуктивностей iL(0+) = 0, и с ненулевыми, когда указанные требования нарушаются хотя бы в одном из реактивных элементов. Независимые начальные условия могут быть заданы или рассчитаны с применением законов коммутации.

Начальные значения токов в ветвях без катушек индуктивности или напряжений на элементах, не являющихся конденсаторами, называются зависимыми начальными условиями. Они определяются по независимым начальным условиям с применением законов Кирхгофа или других методов расчета для момента времени t = 0+.

 

 

Переходный процесс в r, L – цепи при включении на источник постоянного напряжения

1. i_L(0-)=0

2. i_уст=E/r

3. a)ri+Ldi/dt=E b)z(jw)=r+jwL

Lp+r=0 jw p

p=-r/L z(p)=0

0=pL+r p=-r/L

i_Lсв(t)=Ae^pt

4. i_L(t)=i_уст+i_св(t)=E/r+Ae^pt

i_L(0)=E/r+A 0=E/r+A

5. i_L(t)=E/r(1-e^-rt/r)

Отключение r-l цепи от источника пост напряж

 

1. i_L(0-)=E/r₁

2. i_Lуст=0

3. z(jw)=r₁+r₂ +jwL z(jw)=z(p) r₁+r₂+ph=0

4. 4. i_L(t)=i_Lуст + Ae^pt i_L(0)=AE/r₁ i_L(t)=E/r₁*e^-(r1+r2)/2

U_r(0)=-I(r₁+r₂)=-E(r₁+r₂)/r₁

U_L(t)=-[E(r₁+r₂)/r₁]*e^-(r1+r2)t/L

 

Включение r-L цепи на синусоидальном токе

1. i_L(0-)=0

2. i_Lуст(t)=e(t)=E_msin(wt+ )

I_maxуст=E_m/√(r²+X_L²)

i_Lmaxуст(t)=I_maxsin(wt+ - )

i_Lуст(0)=I_maxуст*sin( - )

3. p=-r/L

4. i_L(t)=i_уст(t)+i_Lсв(t)

i_L(t)=I_maxsin(wt+ - )+Ae^pt

t=0: i_L(0)=i_Lуст(0)+A

0=I_maxустsin( - )

A=-I_maxустsin( - )

i_L(t)=I_maxуст*sin(wt+ - )-I_msin( - )e^-rt/L

 

 

Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом. Пример расчета.

В классическом Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы

методе находится решение в виде суммы общего и частного решения. Расчета переходный процесс описывается системой обыкновенных дифф.уравнений, составленных одним из методов расчета для мгновенных значений функций времени. Решение для каждой переменной этой системы находится в виде суммы общего и частного решения. Для составления уравнения могут быть использованы: метод, основанный на применении законов Кирхгофа, метод узловых потенциалов, метод контурных токов и т.д. Например, система дифференциальных уравнений, составленная после коммутации согласно первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид:

Например,

Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы. Пусть требуется найти ток i_k в ветви с номером К.Исключая последовательно токи ветвей, в результате получим ток i_k и его производные до порядка n:

Порядок дифф.уравнения n определяется количеством независимых реактивных элементов схемы (m). Обычно n=m, но в зависимости от способа соединения может быть и так, что n<m. Это будет, например, в случаях, когда индуктивные и емкостные элементы включены последовательно, или, например, когда емкости соеденениы парал. И имеют одинаковые нач условия(рис9,4):

Последовательно включенные емкостные элементы можно заменить одним элементом, так же как и парал включенные индуктивные элементы можно заменить одним эквивалентным. На рисунке 9.5 показана замена 2х последовательно включенных емкостей одной эквивалентной.

В общем случае порядок диф.уравнения n равен: n=n_lc-n_ce-n_lj, где n_lc-количество реактивных элементов(L и C) в схеме, n_ce- количество емкостных контуров, n_lj-количество индуктивных узлов или сечений.

Под ёмкостным понимается контур, состоящих из емкостных элементов или емкостных элементов и идеальных источников ЭДС, рис 9.6.а.Под индуктивным понимается узел, в который сходятся индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока(рис. 9.6.б), либо сечения, которые пересекают только индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока.

Отметим, что этап составления диф.уравнения не явл-ся обязательным и переходный ток или напряжение могут быть найдены без составления ур-ния. Как было указано, в классическом методе расчета переходных процессов решения уравнений представляется виде суммы общего и частного решения.

Частное решение описывает режим, который называется принужденным. Решение однородного уравнения(правая часть равна нулю) описывает процесс при отсутствии внешних ЭДС и источников тока и называется свободным. Соответственно рассматриваются свободные и принужденные токи, напряжения, заряды.

Таким образом, ток в ветви с номером К представляется в виде суммы .

 

 

Теорема разложения

f(p)=F1(p)\F2(p) =

 

f(p)=1\(p(p+a)(p+b));

p(p+a)(p+b)=0; p1=0; p2=-a; p3=-b;

f2`(p)=(p^3+p^2a+p^2b+pab)`=3p^2+2ap+2bp+ab

f(t)= =1\ab+ + ;

I(p)=(0,86p+0,334)\(p^2+50p+10^5)

F2(p)=p^2+50p+10^5=0=>p1,2=-25+-j315;

F2`(p)=2p+50;

I(t)=(0,286*(-25+j315)+33,4)e^p1t\2j315+(0,268(-25-j315)+33,4e^p2t)\-2j315=0,235e^-27tcos(35t-17,5);

 

 

24.Алгоритм расчета переходного процесса операторным методом. Рассмотреть на примере r, L, c – цепи.

1.ННУ

2.Операторная схема замещения

3.На основании схемы составить

алгебраич. уравнен.

4.Решение этих ур-ий по отношению

К неизвестному изобр.

5.по получ. изображениям определяем оригиналы

6. строим график

 

1.ННУ il(0-)=Е\(r1+r2); Uc(0-)=i2(0-)*r2;

2.

3.I2(p)=(E\p+iL(0-)*L)\(r2+pL);

I3(p)= =

 

 

I2(p)=(E\L)\(p*((r2\L)+p))+IL(0)\ ((r2\L)+p)

 

i2(t)= +IL(0-)*

25. Переходный процесс в RL-цепи при подключении к источнику постоянного напряжения(операторный метод).

i_L(t), U_L(t);

1.Независимые начальные условия

2. Составляем операторную схему замещения.

I(p)=E/r+pL=M(p)/N(p)

Перходим от изображения к ее оригиналу i (p) при помощи формулы разложения

F(p)=M(p)/N(p) f(t)= e^p t, p -корни уравнения N(p)=0

r+pL=0

p=-r\L

f(t)=E/L * e^(-rt/L)

26. Переходный процесс в RL-цепи при отключении источника постоянного напряжения(операторный метод).

i_L(t), U_L(t);

1.Независимые начальные условия

2. Составляем операторную схему замещения.

I(p)=L*i(0)/(r1+r2+pL)=M(p)/N(p)

Перходим от изображения к ее оригиналу i (p) при помощи формулы разложения

F(p)=M(p)/N(p) f(t)= e^p t, p -корни уравнения N(p)=0

r1+r2+pL=0

p=-(r1+r2)\L

f(t)=E(r1+r2)/r1^2 * e^(-rt/L)

27. Переходный процесс в RL-цепи при подключении к источнику постоянного напряжения(операторный метод).

i_L(t), U_L(t);

1.Независимые начальные условия

2. Составляем операторную схему замещения.

I(p)=E-Uc/(r+ 1/pC)=M(p)/N(p)

Перходим от изображения к ее оригиналу i (p) при помощи формулы разложения

F(p)=M(p)/N(p) f(t)= e^p t, p -корни уравнения N(p)=0

r+1/pC=0

p=-1/Cr f(t)=-p^2 (E-Uc)* e^(-t/C(r1+r2))

28. Переходный процесс в RC цепи при отключении источника постоянного напряжения(операторный метод).

i_L(t), U_L(t);

1.Независимые начальные условия

2. Составляем операторную схему замещения.

I(p)=Uc(0)/(r1+r2+1/pC)=M(p)/N(p)

Перходим от изображения к ее оригиналу i (p) при помощи формулы разложения

F(p)=M(p)/N(p) f(t)= e^p t, p -корни уравнения N(p)=0

r1+r2+1/pC=0

p=-1/C(r1+r2) f(t)=-p^2 E* e^(-t/C(r1+r2))

29. Переходные функции. Привести пример определения одной из переходных хар-к.

Переходной характеристикой называется уравнение, составленное для участка цепи или для всей в це лом, которое описывает переходный процесс, если цепь подсоединяется к источнику с постоянным входным сигналом равным 1 (1А или 1В).

– переходная характеристика для тока

– переходная характеристика для напряжения

– переходное сопротивление

– переходная проводимость

Переходная проводимость – реакция электрической цепи, численно равной току при воздействии на эту цепь единичной ступенчатой функции напряжения.

, т.к , то , (1)

, (2)

Переходная функция напряжения - это реакция электрической цепи, численно равная напряжению при воздействии на эту цепь единичной ступенчатой функции напряжения.

Переходная функция тока - реакция цепи, численно равной току при воздействии на эту цепь единичной функции тока.

Переходное сопротивление – реакция электрической цепи в виде напряжения при воздействии единичной ступенчатой функции тока.

Каким бы не было заданное входное воздействие или ток источников, его принимают равным 1В или 1А.

1) Определяют ННУ и и т.д. т.е. для полученной цепи рассчитываем п/пр. любым методом. Полученные уравнения для и дадут соответствующие переходные характеристики.

Пример.

Найти переходную характеристику по току для цепи

для ветви с сопротивлением при воздействии на входе ИТ

, .

Решение

1)

2) ННУ

3)

4)

5)

, где , , .

6) ЗНУ наедем из после коммутационной схемы:

7) Полное решение

8) Переходное характеристика безразмерна:

 

30.Интеграл Дюамеля.

 

– все время действия функции. Этот разбиваем на элементарные скачки и заменяем приближенной ступенчатой функцией.

При достаточно малом реакция цепи на первый прямоугольный импульс приближенно равна реакции цепи на единичную функцию помноженную на высоту первой ступени: . Реакция цепи на вторую ступень: , где - высота второй ступени; - реакция цепи на единичную функцию, смещенную в сторону запаздывания на и т.д.

Следовательно, для рассматриваемого момента времени реакция цепи равна:

 

При и

-это первая форма записи интеграла Дюамеля, т.е. выходной сигнал:

 

31. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля. Рассмотреть на примере.

R=2 Ом L=5 мГн

 

На входе непериодические несинусоидальные сигналы

 

 

Общая формула интеграла Дюамеля:

Для нашего случая

Переходная проводимость g(t) есть реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие.

 

Подадим на вход единичное напряжение, на выходе получим единичный ток:

 

Схема:

Ток Ir(t) будет равен проводимости переходной характеристики.

 

Найдём этот ток.

1.ННУ:

2. Установившийся режим: .

3. Свободный режим:

4.ЗНУ:

в итоге получаем ток:

 

 

Z1/2 Z1/2

→ 2Z2 ← Г- образное

Звено

 

Поскольку фильтры будут симметричными то из Г-образного звена можно получить П-образное и Т образное звено.

Z1/2 Z1/2 Z1/2 Z1/2

 

→

→ 2Z2← 2Z2 ← → Z2 ←

 

 

Z1/2 Z1/2 Z1

→ 2Z2 ← →2Z2 ← → 2Z2 2Z2 ←

2. Четырёхполюсник обретает свойства фильтра только в том случае если сопротивления Z1 и Z2 имеют разные знаки

3. Четырёхполюсник симметричный ()

Это соотношение справедливо как для T так и для П схемы.

Для Г-образного звена

4.

Z1/2

 

 

↓U1 Z2 U2↓

(1)

 

(2)

 

Ф-лы описывают математически полосу пропускания и задерживания и фазу фильтра.

 

5.1 Полоса пропускания а=0 5.2 Полоса задерживания

 

 

ФНЧ

 

ФВЧ

 

Полосовой фильтр.

 

 

Загрождающий.

Недостатки: сущ затухание в полосе пропускания

 

49. Безындуктивные фильтры на RC – элементах. Основные характеристики, электрические схемы полосового и полосно-заграждающего фильтров.

 

a

 

r/2

 

C/2

 

0 fc f

 

C/2 ФВЧ-фильтр

 

 

2R a

 

0 fc f

Полосовой фильтр

 

 

R1 c2 а

 

 

0 fc1 fm fc2 f

 

Заграждающий фильтр

 

R2 R2

 

а

 

C1 C1

R1 C2

 

 

0 fc1 fm fc2 f

P.S.1

Tgg=

P.S.2

Chg= Shg=

Симметричный 4-хполюсник.

1Б= затухание сигнала по мощности в 10 раз.

1Б=lg

1Дб=20lg10.

 

 

Замечание

а) зависимым источником являются необратимым элементом с односторонним перед. сигнала только в прямом направлении.

б) зависимый источник не потребляет энергию, а генерируют её, т.е. могут снабжать энергией цепь, которая присоед. к вых. Элем, которые могут усиливать сигналы, поступ. на вход – активные значения завис. источн. является резистивными активными 4-х полюсными элементами.

В)при математическом описании ур-е завис. ист. содержит только по одному параметру

 

ИНУН ИТУТ

ИНУТ ИТУН

 

 

Начальные условия

 

Значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т. е. в начальный момент, образуют независимые начальные условия задачи. Независимые начальные условия определяют начальный запас энергии в цепи. Различают задачи с нулевыми начальными условиями, когда для всех емкостей uC(0+) = 0 и для всех индуктивностей iL(0+) = 0, и с ненулевыми, когда указанные требования нарушаются хотя бы в одном из реактивных элементов. Независимые начальные условия могут быть заданы или рассчитаны с применением законов коммутации.

Начальные значения токов в ветвях без катушек индуктивности или напряжений на элементах, не являющихся конденсаторами, называются зависимыми начальными условиями. Они определяются по независимым начальным условиям с применением законов Кирхгофа или других методов расчета для момента времени t = 0+.

 

 

Классический метод анализа переходных процессов

 

Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:

Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений путем исключения остальных переменных приводят к одному линейному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами:

,(1.4)

где i(t) - искомая переменная; f(t) - правая часть, обусловленная возмущающими силами, т.е. функциями источников.

Напомним известные из курса математики сведения о решении линейных дифференциальных уравнений. Общее решение линейного дифференциального уравнения (1.4) определяется в виде суммы двух составляющих:

i(t) = iсв(t) + iвын(t). (1.5)

Первая составляющая называется свободной или собственной и определяется как общее решение соответствующего однородного уравнения, которое получается из (1.4) путем приравнивания нулю правой части f(t) = 0:

(1.6)

 

Для определения общего решения (1.6) составляется характеристическое уравнение, которое получается из (1.6) путем замены k -той производной на pk. При этом сама искомая переменная заменяется на единицу. Характеристическое уравнение

 

pⁿ + b_n-1p^n-1 +........... +b₁p + b₀ = 0(1.7)

является алгебраическим уравнением степени n и его корни pk определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:

 

, (1.8)

где Ak - постоянные интегрирования.

 

Решение (1.8) записано для случая различных корней pk. Входящие в (1.8) n постоянных интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям.

 

Заметим, что в однородном дифференциальном уравнении (1.6) правая часть приравнивается нулю, что означает отсутствие в цепи внешнего воздействия, т.е. источника. Поэтому токи и напряжения в ветвях цепи будут определяться только параметрами и свойствами самой цепи, а также начальным запасом энергии. Физически очевидно, что для реальных цепей собственная составляющая i_св(t) при отсутствии источников должна стремиться со временем к нулю. Эта составляющая существует во время переходного процесса.

 

Вторая составляющая i_вын(t) решения (1.5) называется вынужденной и представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1.4) (с ненулевой правой частью). Из математики известно, что вид частного решения определяется видом правой части уравнения. В частности, если правая часть f(t) - константа, то и частное решение ищется в виде константы. Если правая часть является гармонической функцией с определенными частотой, амплитудой и начальной фазой, то и частное решение будет гармонической функцией той же частоты, для которой нужно определить амплитуду и начальную фазу.

 

Таким образом, вынужденная составляющая обусловлена воздействием источников в цепи и при t ®Ґ искомая переменная i(t) ® i_вын(t). Поэтому вынужденная составляющая называется установившейся и определяется как установившееся значение (в случае постоянной вынуждающей силы) или как установившаяся функция (в случае гармонической вынуждающей силы) для искомой переменной в цепи после коммутации

i_вын(t) = i_уст(t) (1.9)

Необходимо отметить, что определение вынужденной составляющей в случае воздействия сигналов более сложной формы, чем упомянутые выше, представляет достаточно сложную задачу.

В заключении приведем рекомендуемый порядок расчета переходных процессов классическим методом.

1. Определить независимые начальные условия iLk(0+) и uCk(0+) с использованием законов коммутации.

2. Для цепи после коммутации составить систему уравнений Кирхгофа с использованием уравнений для элементов.

3. Полученную систему разрешить относительно искомой переменной. При этом получится одно дифференциальное уравнение n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.

4. Определить решение полученного дифференциального уравнения

(1.10)

где iвын(t)=iуст(t) -вынужденная (установившаяся) составляющая; pk - корни характеристического уравнения; Ak - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.