Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии.

-продольное активное сопротивление единицы длины линии; -индуктивность единицы длины линии; -емкость единицы длины линии; -поперечная проводимость единицы длины линии. Разобьем линию на участки длиной dx, где x-расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротивление равно , индуктивность - , проводимость утечки - и емкость - . Обозначим ток в начале рассматриваемого участка линии через i и напряжение между проводами линии в начале участка u. Если для некоторого момента времени t ток в начале рассматриваемого участка равен i, то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен , где - скорость изменения тока в направлении x. Скорость, умноженная на расстояние dx, является приращением тока на пути dx. Аналогично, если напряжение в начале участка u, то в конце участка для того же момента времени напряжение равно . Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его по часовой стрелке:

После упрощения и деления уравнения на dx получим (1)

По первому закону Кирхгофа, (2)

Ток di (рис.2) равен сумме токов, проходящих через проводимость и емкость :

Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости, тогда (3)

Подставим (3) в (2), упростим и поделим уравнение на dx: (4)

Уравнения (1) и (4) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.

 

51. Синусоидальный режим в однородной линии. Волновое сопротивление линии. Коэффициент распространения. Общий вид уравнений однородной линии.

Обозначим комплексные действующие значения напряжения и тока на расстоянии x от начала линии через и

Применяя комплексную форму записи, получаем на основании уравнений (1) следующие уравнения (2).

Поскольку комплексные величины и не зависят от t и являются функциями только x, при переходе от уравнений (1) к (2) частные производные по x заменены обыкновенными.

Исключая из системы (2) ток , получаем уравнение относительно :

(3)

Аналогично, исключая из системы (2) напряжение , получаем уравнение относительно :

(4)

Введём обозначение

(5)

и назовём эту величину коэффициентом распространения. Итак, уравнения (3) и (4) записываются в виде:

(6)

Получились однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Решение первого уравнения системы (6) имеет вид:

(7)

Ток проще всего находится подстановкой решения (7) в первое уравнение системы (2):

или

(8)

где

(9)

называется волновым сопротивлением линии.

Подставим (5) в (7), получим:

Мгновенное значение напряжения в точке x равно мнимой части выражения

(10)

где , - аргументы комплексных величин A1 и A2 соответственно.

 

 

53. Синусоидальный режим в однородной линии. Обратная волна. Длина волны. Фазовая скорость.

 

Фазовая скорость обратной волны знак «-» указывает, что обратная волна движется в направлении, противоположном направлению прямой волны.

Итак, мгновенное напряжение можно рассматривать как сумму двух волн, движущихся в противоположных направлениях, причём каждая из этих волн затухает в направлении движения.

На основании формул и запишем:

т.е. за время, равное одному периоду, падающая и отражённая волны перемещаются на расстояние, равное длине волны.

 

 

54. Математическая модель длинной линии при синусоидальном воздействии. Коэффициенты отражения n₁ и n₂.

 

Линии, длина которых соизмерима с длиной волны, считаются длинными линиями. На высоких частотах практически любая протяжённая электрическая цепь становится «длинной» по отношению к длине волны.

Возвращаясь к уравнениям и и записывая прямую и обратнуюволны в комплексной форме, имеем:

где

Напряжение и ток прямой и обратный волн связаны законом Ома:

Это соотношение объясняет смысл термина «волновое сопротивление».

Постоянные интегрирования A1 и A2, находятся в зависимости от напряжения и тока в начале линии при заданных граничных условиях. При x=0

откуда

Введём понятие коэффициента отражения волны в начале линии

где - входное сопротивление линии.

Подстановка A1 и A2 даёт:

 

Если заданы граничные условия на конце линии, то удобнее отсчитывать расстояние от конца, приняв координату Для A1 и A2 получаем следующие выражения:

Получим окончательные результаты для U и I

Где аналогично предыдущему n2-коэфициент отражения в конце линии

Где выходное сопротивление в конце линии.

 

55. Вторичные параметры однородной линии. Зависимость коэффициентов a и b от частоты. Волновое сопротивление линии.

Вторичными линиями, или характеристическими, параметрами линии являются коэффициент ослабления, коэффициент фазы и волновое сопротивление , которые выражаются через первичные параметры линии и частоту.

Из выражения следует, что , откуда ; .

Совместное решение этих уравнений дает

Из полученных выражений следует, что и в общем случае зависят от частоты. Однако, как показывает исследование, в отличие от коэффициента ослабления, который изменяется в сравнительно ограниченных пределах, коэффициент фазы неограниченно растет с частотой.

Полученные выражения неудобны для практического применения ввиду их громоздкости. Существует ряд приближенных расчетных формул для вычисления вторичных параметров линии, учытывающих, что в области высоких частот сопротивление весьма мало по сравнению с , а проводимость ничтожна мала по сравнению с .

Для уменьшения потерь при передаче электромагнитной энергии по линии стремятся к тому, чтобы сопротивление линии и проводимость изоляции были по возможности малы.

Волновое сопротивление линии

При постоянном токе и бесконечной частоте имеет действительные значения

и В остальной части диапазона частот волновое сопротивление имеет емкостный характер, так как обычно