Основные положения операторного метода расчет

переходных процессов. Прямое преобразование Лапласа.

Основные положения опер. метода

Т. к. дифер. уравнения пер. процессов в линейных цепях

представляют собой лин. уравнения с постоянным коэф., то

их можно интегр. операторным методом.

сущонсть метода: заданная функцией(ф) вещественных переменной ф времени u(t), i(t) назыв. оригиналом сопостовления друг. ф. комплексн. переменной, которая наз. изображением. При этом производные интегралы от оригинала выражаются алгебр. ф. от изображения и начальных значений самой ф. её производных и интегралов.

Поэтому система инт.-диф. уравнений заменяется системой алгебр. уравн. Полученная система уравнений решается. В результате определяем изображения искомых функций. При помощи обратных преобразований получаются оригиналы, т. е. искомые функции токов и напряжений от времени.

Алгоритм:

Оригиналы i(t), u(t)=>прямое преобразование Лапласа=>i(p) u(p)=>решение алгебраическ. Уравнений=>обратное пр-ние Лапласа=>искомые изображения=>графики i(t) u(t)

 

Прямое преобразование Лапласа.

Пусть некоторая ф. f(t)=0 t<0 и имеет ограниченный рост при t>0 |f(t)|< M действ., вещ. М1е числа то f(p)= f(t) dt и этот интеграл абсолютно сходится

F(p) является ф. компл.-перемен, где p=jw и определена в полуплоскости Re[p]=S>=e f(t)=f(p)

 

 

20.Прямое преобразование Лапласа.Примеры получения изображений для элементарных функций

Прямое преобразование Лапласа.

Пусть некоторая ф f(t)=0 t<0 и имеет ограниченный рост при t>0 |f(t)|< Meft(ft-степень) действ., вещ. М1е числа то f(p)= f(t) dt и этот интеграл абсолютно сходится

F(p) является ф. компл.-перемен, где p=jw и определена в полуплоскости Re[p]=S>=e f(t)=f(p)

Примеры получения изображений для элементарных ф-ий.

f(t)={0, при t<0 и 1, при t>0

f(p)= 1 dt= \p|0=1\p; I(t)=1\p;

f(t) = f(p)= * dt= |0 = ; = ;

 

 

21. Основные свойства преобразования Лапласа. Свойство линейности. Теорема дифференцирования. Предельные соотношения.

Св-ва линейности

Изображение лин. комбин. есть линейно комбин. изменение.

Теорема дифференцирования оригинала

f `(t):=pF(p)-f(0)

1-ое предельное соотношение

Lim(при t=>оо)f(t)=lim(при p=> oo)pF(p)

2-ое предельное соотношение

Lim(при t=>оо)f(t)=lim(p=>0)pF(p)

Они полезны для проверки преобразований Лапласа

 

 

22. Основные положения операторного метода расчета переходных процессов. Обратное преобразование Лапласа.

Основные положения опер. метода

Т. к. дифер. уравнения пер. процессов в линейных цепях

представляют собой лин. уравнения с постоянным коэф., то

их можно интегр. операторным методом.

сущонсть метода: заданная функцией(ф) вещественных переменной ф времени u(t), i(t) назыв. оригиналом сопостовления друг. ф. комплексн. переменной, которая наз. изображением. При этом производные интегралы от оригинала выражаются алгебр. ф. от изображения и начальных значений самой ф. её производных и интегралов.

Поэтому система инт.-диф. уравнений заменяется системой алгебр. уравн. Полученная система уравнений решается. В результате определяем изображения искомых функций. При помощи обратных преобразований получаются оригиналы, т. е. искомые функции токов и напряжений от времени.

Алгоритм:

Оригиналы i(t), u(t)=>прямое преобразование Лапласа=>i(p) u(p)=>решение алгебраическ. Уравнений=>обратное пр-ние Лапласа=>искомые изображения=>графики i(t) u(t)

 

Обратное преобразование Лапласа

Если функция F(p) аналитична и задана в полуплоскости Rep>c,при этом стремится к 0 при p=>oo, а также:

сходится абсолютно

То f(t)= f(p):=f(t)

 

 

23.Теорема разложения. Привести пример определения оригинала по заданному изображению.

Теорема разложения

f(p)=F1(p)\F2(p) =

 

f(p)=1\(p(p+a)(p+b));

p(p+a)(p+b)=0; p1=0; p2=-a; p3=-b;

f2`(p)=(p^3+p^2a+p^2b+pab)`=3p^2+2ap+2bp+ab

f(t)= =1\ab+ + ;

I(p)=(0,86p+0,334)\(p^2+50p+10^5)

F2(p)=p^2+50p+10^5=0=>p1,2=-25+-j315;

F2`(p)=2p+50;

I(t)=(0,286*(-25+j315)+33,4)e^p1t\2j315+(0,268(-25-j315)+33,4e^p2t)\-2j315=0,235e^-27tcos(35t-17,5);

 

 

24.Алгоритм расчета переходного процесса операторным методом. Рассмотреть на примере r, L, c – цепи.

1.ННУ

2.Операторная схема замещения

3.На основании схемы составить

алгебраич. уравнен.

4.Решение этих ур-ий по отношению

К неизвестному изобр.

5.по получ. изображениям определяем оригиналы

6. строим график

 

1.ННУ il(0-)=Е\(r1+r2); Uc(0-)=i2(0-)*r2;

2.

3.I2(p)=(E\p+iL(0-)*L)\(r2+pL);

I3(p)= =

 

 

I2(p)=(E\L)\(p*((r2\L)+p))+IL(0)\ ((r2\L)+p)

 

i2(t)= +IL(0-)*

25. Переходный процесс в RL-цепи при подключении к источнику постоянного напряжения(операторный метод).

i_L(t), U_L(t);

1.Независимые начальные условия

2. Составляем операторную схему замещения.

I(p)=E/r+pL=M(p)/N(p)

Перходим от изображения к ее оригиналу i (p) при помощи формулы разложения

F(p)=M(p)/N(p) f(t)= e^p t, p -корни уравнения N(p)=0

r+pL=0

p=-r\L

f(t)=E/L * e^(-rt/L)

26. Переходный процесс в RL-цепи при отключении источника постоянного напряжения(операторный метод).

i_L(t), U_L(t);

1.Независимые начальные условия

2. Составляем операторную схему замещения.

I(p)=L*i(0)/(r1+r2+pL)=M(p)/N(p)

Перходим от изображения к ее оригиналу i (p) при помощи формулы разложения

F(p)=M(p)/N(p) f(t)= e^p t, p -корни уравнения N(p)=0

r1+r2+pL=0

p=-(r1+r2)\L

f(t)=E(r1+r2)/r1^2 * e^(-rt/L)

27. Переходный процесс в RL-цепи при подключении к источнику постоянного напряжения(операторный метод).

i_L(t), U_L(t);

1.Независимые начальные условия

2. Составляем операторную схему замещения.

I(p)=E-Uc/(r+ 1/pC)=M(p)/N(p)

Перходим от изображения к ее оригиналу i (p) при помощи формулы разложения

F(p)=M(p)/N(p) f(t)= e^p t, p -корни уравнения N(p)=0

r+1/pC=0

p=-1/Cr f(t)=-p^2 (E-Uc)* e^(-t/C(r1+r2))

28. Переходный процесс в RC цепи при отключении источника постоянного напряжения(операторный метод).

i_L(t), U_L(t);

1.Независимые начальные условия

2. Составляем операторную схему замещения.

I(p)=Uc(0)/(r1+r2+1/pC)=M(p)/N(p)

Перходим от изображения к ее оригиналу i (p) при помощи формулы разложения

F(p)=M(p)/N(p) f(t)= e^p t, p -корни уравнения N(p)=0

r1+r2+1/pC=0

p=-1/C(r1+r2) f(t)=-p^2 E* e^(-t/C(r1+r2))

29. Переходные функции. Привести пример определения одной из переходных хар-к.

Переходной характеристикой называется уравнение, составленное для участка цепи или для всей в це лом, которое описывает переходный процесс, если цепь подсоединяется к источнику с постоянным входным сигналом равным 1 (1А или 1В).

– переходная характеристика для тока

– переходная характеристика для напряжения

– переходное сопротивление

– переходная проводимость

Переходная проводимость – реакция электрической цепи, численно равной току при воздействии на эту цепь единичной ступенчатой функции напряжения.

, т.к , то , (1)

, (2)

Переходная функция напряжения - это реакция электрической цепи, численно равная напряжению при воздействии на эту цепь единичной ступенчатой функции напряжения.

Переходная функция тока - реакция цепи, численно равной току при воздействии на эту цепь единичной функции тока.

Переходное сопротивление – реакция электрической цепи в виде напряжения при воздействии единичной ступенчатой функции тока.

Каким бы не было заданное входное воздействие или ток источников, его принимают равным 1В или 1А.

1) Определяют ННУ и и т.д. т.е. для полученной цепи рассчитываем п/пр. любым методом. Полученные уравнения для и дадут соответствующие переходные характеристики.

Пример.

Найти переходную характеристику по току для цепи

для ветви с сопротивлением при воздействии на входе ИТ

, .

Решение

1)

2) ННУ

3)

4)

5)

, где , , .

6) ЗНУ наедем из после коммутационной схемы:

7) Полное решение

8) Переходное характеристика безразмерна:

 

30.Интеграл Дюамеля.

 

– все время действия функции. Этот разбиваем на элементарные скачки и заменяем приближенной ступенчатой функцией.

При достаточно малом реакция цепи на первый прямоугольный импульс приближенно равна реакции цепи на единичную функцию помноженную на высоту первой ступени: . Реакция цепи на вторую ступень: , где - высота второй ступени; - реакция цепи на единичную функцию, смещенную в сторону запаздывания на и т.д.

Следовательно, для рассматриваемого момента времени реакция цепи равна:

 

При и

-это первая форма записи интеграла Дюамеля, т.е. выходной сигнал:

 

31. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля. Рассмотреть на примере.

R=2 Ом L=5 мГн

 

На входе непериодические несинусоидальные сигналы

 

 

Общая формула интеграла Дюамеля:

Для нашего случая

Переходная проводимость g(t) есть реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие.

 

Подадим на вход единичное напряжение, на выходе получим единичный ток:

 

Схема:

Ток Ir(t) будет равен проводимости переходной характеристики.

 

Найдём этот ток.

1.ННУ:

2. Установившийся режим: .

3. Свободный режим:

4.ЗНУ:

в итоге получаем ток: