Общие понятия о структурных средних

В некоторых случаях возникает необходимость дать такую характеристику типичных размеров варьирующего (изменяющегося) признака, которая является одним из конкретных чисел, имеющихся в вариационном ряду. Например, при установлении размера одежды или обуви, имеющего наибольший покупательский спрос, исчисленная средняя арифметическая не дает конкретного размера, в результате вычислений можно получить средний размер одежды или обуви, который не соответствует существующим размерам, например, 49,4, т.к. в действительности имеются размеры 48 и 50. Поэтому в статистической практике применяются еще и такой вид средних величин, как структурные средние – мода и медиана.

Структурные характеристики – это особый вид средних величин, которые применяются для изучения внутреннего строения ряда распределения, а также оценки средней величины, если по статистическим данным ее нельзя рассчитать.

Мода – значение признака, которое имеет наибольшую частоту в статистическом ряду распределения (Мо). Мода широко применяется при изучении покупательского спроса, регистрации цен. Мода определяется по следующей формуле:

,

где Мо – мода,

х₀ – нижняя граница модального интервала,

– верхняя граница модального интервала,

– частота модального интервала,

– частота интервала, предшествующего модальному,

^– частота интервала, следующего за модальным

 

Задача №1

На основании следующих данных построить ряд распределения:

35, 26, 20, 34, 30, 33, 28, 35, 42, 27, 36, 22, 25, 35, 32, 50, 31, 33, 41, 41. Данные отражают информацию о численности человек на предприятиях отрасли.

Решение:

Ряд распределения строится по вариационному признаку, т.к. численность – количественный признак, дискретный ряд распределения, т.к. построен по целым числам.

По формуле Стерджесса рассчитаем количество интервалов: к=1+3,32lgn, где n – совокупность (20 фирм)

к=1+3,325lg20=1+33,2×1,301=5,32.

У нас есть выбор: мы можем взять 5 или 6 интервалов, т.к. лучше, чтобы было больше интервалов, а длина интервала была меньше возьмем 6 интервалов,

Длину интервала определяем по формуле:

Группы интервалов:

20-25, 25-30, 30-35, 35-40, 40-45, 45-50 (так длина интервала – 5)

Таблица 1 – Ряд распределения по численности человек

Численность работников, чел., хi Варианта	Число фирм, ед., fi Частота	Доля фирм в общем итоге, wi Частость
20-25		2/20=0,10
25-30		0,20
30-35		0,35
35-40		0,20
40-45		0,10
45-50		0,05
Итого		1,00

По данным таблицы построить гистограмму, отражающую численность менеджеров в фирмах:

 

Задача №2

На основании данных интервального ряда распределения фирм по среднесписочной численности человек рассчитать моду и сделать вывод.

Таблица 2 – Ряд распределения по численности человек

Численность менеджеров, чел., хi	Число фирм, ед., fi
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
Итого

 

Решение:

Модальный интервал 30-35, т.к. его частота максимальна (7). Определим для модального интервала точное значение моды:

Ответ: таким образом, чаще всего встречаются фирмы с численностью 33 человека.

 

Медиана – это значение варьирующего признака, расположенное в середине упорядоченного вариационного ряда, делящей его на две равные части таким образом, что половина единиц совокупности имеет значение признака меньше, чем медиана, а вторая – больше, чем медиана.

Медиана определяется по следующей формуле:

где Ме – медиана,

х₀ – нижняя граница медианного интервала,

– верхняя граница модального интервала,

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

– частота медианного интервала

 

Пример:

Представлен ряд распределения по сумме заработной платы рабочих:

Порядковый номер рабочего								Итого
Месячная заработная плата, руб.

 

В этом ряду среднее место по размеру заработной платы занимает рабочий с номером 4, получивший 1600 руб. Эта величина и есть медиана. Меньше и больше медианы одинаковое число вариантов.

При определении порядкового номера медианы используется следующая формула: .

Задача №3

На основании данных вариационного ряда распределения фирм по среднесписочной численности менеджеров рассчитать моду и сделать вывод.

Таблица 3 – Вспомогательная таблица для расчета медианы

Численность менеджеров, чел., хi	Число фирм, ед., fi	Накопленные частоты,
20-25		2<10
25-30		6<10
30-35		13>10
35-40
40-45
45-50
Итого

Решение:

Определяем медианный интервал.

Медианный интервал 30-35, т.к. накопленная частота именно в этом интервале превысила величину, равную половине объема распределения: , объем ряда распределения – 20 фирм. Определяем для медианного интервала ряда распределения точное значение моды:

Таким образом, одна половина фирм имеет численность менеджеров меньше 33 человек, вторая больше.

Свойство медианы

У медианы есть отличительное свойство: , т.е. сумма абсолютных отклонений значений признака у всех единиц ряда распределения от медианы меньше, чем сумма отклонений от любого значения признака у единицы в данном ряду распределения.

Проиллюстрируем это свойство.

Задача №4

Определить медиану и сумму абсолютных отклонений на основе следующей таблицы:

 

Таблица 4 – Исходные данные

Деталь								Абсолютная сумма отклонений
Длина х

Решение:

Медианой для данной таблицы будет является длина, равная 6 см, А=3 см. если наибольшее значение признака равно 3, то абсолютная сумма отклонений равна 29, и эта сумма больше, чем сумма отклонений от медианы.

Таблица 5 – Решение задачи

Деталь								Абсолютная сумма отклонений
Длина х
	-3	-2	-1

Это свойство имеет важное значение для решения практических задач, например, расчета самого короткого пути из всех возможных для транспорта и т.п.