Основы теории формы и ширины линии излучения

Вероятность спонтанного перехода в единицу времени определяется константой A₂₁, т.е. =A₂₁ и в результате такого перехода испускается монохроматическое излучение с частотой (рис.1.3а). На самом деле происходит уширение линий излучения вследствие различных физических причин, приводящих к конечной ширине энергетического уровня. С учетом этого вероятность перехода в единицу времени и в расчете на единичный интервал частот с испусканием фотона в частотном интервале от ν до ν+dν определяется формулой:

(dw₂₁^cn/dt)_νdν=A₂₁g(ν) dν (1.23)

где g(ν)-так называемая функция формы линии излучения, определяющая частотное распределение излучения (рис.1.3б).

Таким образом, возникают две задачи:

1) исходя из определенной физической модели, найти функцию g(ν);

2) найти ширину линии излучения.

При этом под шириной линии излучения понимают интервал частот ∆ν, в пределах которого интенсивность излучения (или нормированная на максимальное значение относительная интенсивность) уменьшается до половинного значения, т.е. ∆ν=ν^″-ν΄ (рис.1.3, б).

Рис.1.3 (а) Линия монохроматического излучения,

(б) Спектр излучения с учетом уширения квантовых уровней.

 

“Естественное” уширение линии излучения

Фундаментальной причиной, приводящей к уширению линии излучения, является квантовый характер микрообъектов, подчиняющихся соотношению неопределенности Гейзенберга.

Действительно, это соотношение, записываемое в виде ∆p∆x~ħ, где ∆x и ∆p -неопределенности положения частицы и ее импульса, может быть представлено в виде ∆E ∆t~ħ, где ∆E –мера неопределенности энергии частицы, ∆t –время необходимое для проведения такого измерения.

Поскольку измерение энергии возбужденного состояния атома должно производится за время ∆t≤τ_сп, то из соотношения неопределенности получим: ∆E≤ħ/ τ_сп (1.24)

где τ_сп - среднее время жизни атома в данном состоянии. Так как τ_сп всегда конечно, то отсюда следует, что энергетические уровни имеют конечную ширину. (рис.1.4)

Рис.1.4 Энергетические уровни атомнойсистемы.

Из рис. 1.4 имеем: ∆ν=ν^”₂₁-ν^’₂₁= =∆E/h (1.25)

Таким образом, из (1.25) и (1.24) получаем для оценки ∆ν формулу:

Dn DE/h (1.26)

Найдем вид функции g(n), определяющей форму линии излучения.

В качестве модели излучающего атома в классической физике принимается осциллирующий диполь с радиационным затуханием, уравнение которого имеет вид: , (1.27)

где х – координата, g - коэффициент затухания, w₀ – собственная частота системы. Решение (1.27) имеет вид: x=Cexp(-gt/2) exp (jw₁t), (1.28)

где (при малом g).

Спектр G(w), соответствующий колебанию x(t), находится с помощью преобразования Фурье:

. (1.29)

Отсюда спектральное распределение для интенсивности колебания

(1.30)

Обозначив w₀= 2 pn₀, w=2pn, g=2pDn_л и найдя постоянную С из условия нормировки , получаем окончательно:

g(n)= (1.31)

Формула (1.31) соответствует так называемой лоренцевой форме линии излучения, что в формуле обозначено индексом «л». Из условия находим значения частот ν” и ν’. Тогда ширина линии излучения определяется соотношением:

(1.32)

 

 

Доплеровское уширение

В газах движение излучающих молекул относительно наблюдателя приводит к уширению линии за счет эффекта Доплера. Если скорость молекул равна u, то частота излучения, регистрируемая наблюдателем, рассчитывается по формуле: (1.33)

где с - скорость света, n₀ - истинная частота атомного перехода (u<<c), а выбор знака зависит от того, в какую сторону движется молекула.

В газе атомы движутся с беспорядочно направленными скоростями, зависящими от температуры Т и распределенными в соответствии с законом Максвелла: , (1.34)

где - средняя тепловая скорость атомов с массой m, k - постоянная Больцмана.

Распределение частиц в газе по скоростям в результате эффекта Доплера определяет частотное распределение в излучении атомов, т.е. можно написать (1.35)

где g(n) функция формы линии излучения.

Из (1.33) и (1.35) получаем g(n) =(c/n₀)p(u). Подставив вместо формулу (1.34), имеем: , (1.36)

где D n_Т=n₀u₀/с - доплеровский сдвиг частоты для частиц со средней тепловой скоростью. Формула (1.36) соответствует гауссовой форме линии излучения (что в формуле отмечено индексом «Г»).

Из условия определяется ширина линии излучения: (1.37)

Проведем сравнение линий излучения гауссовой и лоренцевой форм при их одинаковой ширине. Считая ∆ν_л=∆ν_Г. из (1.31) находим максимальное значение функции (1.38)

Аналогично из (1.36) . Подставив вместо его значение из формулы (1.37), получим: (1.39)

На рис.1.5 построены графики лоренцевой и гауссовой линии излучения, приведенные к одинаковой ширине.

Рис.1.5. Графики гауссовой (а) и лоренцевой (б) линий излучения при ∆νл=∆νГ.

Как видно из графика при одинаковых ширинах гауссова кривая заострена сильнее лоренцевой

1.5 Коэффициенты Эйнштейна.
Термодинамическое рассмотрение

Рассмотрим связь между коэффициентами А₂₁, В₁₂ и В₂₁ используя термодинамический поход Эйнштейна. Предположим, что рассматриваемая среда помещена в полость (абсолютно черное тело) объемом V, стенки которой поддерживаются при температуре Т (термостат). Как только система достигает термодинамического равновесия, в ней установится излучение, спектральная объемная плотность которого определяется формулой Планка:

(1.40)

где множитель определяет число типов колебаний в единице объема излучающей полости, а величина дает среднюю энергию, приходящуюся на один тип колебаний.

Предположим, что квантовый ансамбль, находящийся в полости, является двухуровневой системой (рис.1.6). В такой квантовой системе, наряду со спонтанным излучением, будут происходить процессы вынужденного излучения и поглощения

Рис.1.6 Схема квантовых переходов в двухуровневой квантовой системе.

 

Количество переходов 2→1 в единицу времени составляет величину (А₂₁+ρ_νВ₂₁)N₂, а количество обратных переходов 1→2 равно ρ_ν В₁₂ N₁.

Поскольку система в целом пребывает в состоянии термодинамического равновесия, число переходов с уровня 1 на уровень 2 должно уравновешивать число переходов с уровня 2 на уровень 1, т.е.:

(1.41)

Кроме того, согласно статистике Больцмана:

(1.42)

Из этих двух выражений получаем: (1.43)

Эйнштейн далее постулировал, что излучение, испускаемое или поглощаемое атомами при переходах между рассматриваемыми энергетическими состояниями, должно также подчиняться закону излучения Планка (1.40), так как атомы в рассматриваемой полости находятся в тепловом равновесии с окружающей средой.

Для согласования с формулой Планка необходимо выполнение следующих двух условий (при ν=ν₂₁): B₁₂=B₂₁=B (1.44)

(1.45)

Из формулы (1.44) следует, что вероятности поглощения и вынужденного излучения, связанные с излучением абсолютного черного тела, равны друг другу: W₁₂=W₂₁ (1.44a)

Соотношение (1.45) позволяет вычислить коэффициент А₂₁, если известен коэффициент В вынужденного излучения в поле излучения черного тела.

Таким образом, полная вероятность излучательных переходов в единицу времени равна:

(1.46)

Из формул W₁₂=s₁₂F, W₂₁ =s₂₁F, такжеследует, что s₁₂=s₂₁ (1.44б)

Таким образом, термодинамическое рассмотрение показывает равновероятность индуцированных излучения и поглощения и устанавливает количественную связь между коэффициентами Эйнштейна.

Квантомеханическое рассмотрение задачи о вычислении вероятности квантового перехода дает следующее значение для W_{21 :}

, (1.47)

где - матричный дипольный момент атома.

Сравнивая (1.47) с формулой Эйнштейна для вероятности перехода W₂₁=r_nB₂₁ получим формулу, связывающую коэффициенты Эйнштейна с атомными характеристиками квантового ансамбля: (1.48)

 

Квантовое усиление в среде

 

Рассмотрим монохроматическую плоскую волну частоты n и интенсивности I, соответствующей плотности потока фотонов F, распространяющуюся в направлении z через среду с энергетическими уровнями Е₁ и Е₂ и населенностями N₁ и N₂ (двухуровневая модель). При резонансном взаимодействии волны со средой за 1с в единице объема возникает N₂W₂₁=N₂s₂₁F индуцированных переходов с уровня 2 на уровень 1 и N₁W₁₂=N₁s₁₂F переходов с уровня 1 на уровень 2. Тогда изменение плотности потока фотонов dF в слое dz (рис.1.7) без учета спонтанных переходов, что справедливо при достаточно больших интенсивностях, определяется выражением: (1.50)

где использовано, что s₁₂=s₂₁=s.

Учитывая, что I=Fhn, из (1.50) получаем уравнение для I:

(1.51)

Из (1.51) следует, что в случае N₂>N₁, dI/dz>0, то есть в среде происходит усиление электромагнитной волны. В случае N₂<N₁, dI/dz<0, т.е. поглощение.

Для среды, находящейся в условиях термодинамического равновесия, , т.е. . Таким образом, такая среда поглощает излучение на частоте n, что обычно и происходит.

Однако если вещество перевести в неравновесное состояние, для которого N₂>N₁, то среда будет действовать как усилитель. В этом случае говорят, что среда находится в состоянии с инверсией населенностей квантовых уровней. Среда, в которой осуществлена инверсия населенностей, называется активной средой.

Рис.1.7 Взаимодействие света с веществом.

Рис1.8. График изменения I(z) в среде.

 

Из (1.51) имеем , где I₀=I(z=0) (1.52)

Параметр (1.52a)

называется коэффициентом квантового усиления, а формулу (1.52) можно написать в виде: I=I₀e^Gz (1.53)

Представляя (1.52) в виде , приходим к известному закону Бугера , (1.54)

где a - коэффициент поглощения среды, определяемый формулой: = . (1.55)

(1.55 а)

Графики изменения интенсивности волны I(z) в усиливающей (N₂>N₁) и поглощающей (N₂ < N₁) средах показаны на рис.1.8.

Потери в среде, не связанные с квантовыми переходами (рассеяние, дифракция), учитываются введением коэффициента потерь b и изменение интенсивности волны в общем случае описывается формулой:

. (1.56)

Проведем расчет коэффициента поглощения a, исходя из теории квантовых переходов.

Используя формулы a=s(N₁-N₂)=sDN, W₁₂=sF, F=I/hn, I=ρυ запишем: (1.57)

Учтем спектральную зависимость вероятности перехода

W_n=W₁₂·g(n)=B₁₂ r_n g(n), - где W_n - вероятность индуцированного перехода на частоте n, g(n) – функция формы линии излучения. При этом справедлива и обратная связь: . (1.58)

Если индуцирующее квантовый переход излучение монохроматическое, то r_n можно представить в виде .

Тогда (1.58а)

где при вычислении интеграла использовано фильтрующее свойство δ – функции. Пусть форма линии излучения является лоренцевой, т.е.

.

При n=n₀, g(n₀)=2/(p D n_л). Таким образом (1.58а) приобретает вид:

(1.59)

Подставляя (1.59) формулу (1.57) получаем окончательно для :

, (1.60)

где величина σ называется сечением квантового перехода 2→1:

(1.61)

 

Квантовый генератор (лазер)

Для того чтобы квантовый усилитель превратить в квантовый генератор необходимо ввести подходящую положительную обратную связь.

В лазере обратную связь получают размещением активной среды между двумя зеркалами с высокими коэффициентами отражения, образующими открытый (или оптический) резонатор. Например, это резонатор Фабри-Перо, представляющий собой систему из двух плоских зеркал З₁ и З₂, установленных параллельно друг другу, как показано на рис. 1.9.

Рис.1.9 Принципиальная схема лазера.

 

В этом случае плоская световая волна, распространяющаяся в направлении, перпендикулярном зеркалам, будет поочередно отражаться от них, усиливаясь при каждом проходе через активную среду. Если одно из зеркал сделано частично прозрачным, то на выходе системы можно выделить пучок полезного излучения.

Как и в любом автогенераторе, в лазерах генерация возможна лишь при выполнении некоторого порогового условия. Рассмотрим, как показано на рис. 1.10, поэтапно процесс усиления световой волны в активной среде, полностью заполняющей открытый резонатор.

Рис.1.10 Процесс усиления света в открытом резонаторе.

 

Если начальное значение интенсивности у левого зеркала принять равным I₁₀, то за один цикл обхода резонатора интенсивность света , отраженного от зеркала З₁ приобретает значение: I₁₀^¢=I₂₀ r₁ exp [ (G-b) L ] =r₁ r₂ I₁₀ exp [ 2(G-b) L ] (1.62)

В стационарном режиме в уравнении (1.62) должно выполняться условие I₁₀ = I₁₀^¢, что приводит к соотношению: 1 =r₁ r₂ exp [2 (G-b)L ]. (1.63)

Из (1.63) следует, что порог достигается тогда, когда коэффициент квантового усиления приближается к некоторому критическому значению, определяемому условием:

G_кр = (N₂-N₁)s = 1 / ( 2 L) ln [ 1/ (r₁r₂) ] +b (1.64)

Физический смысл формулы (1.64) состоит в том, что квантовое усиление в среде должно превышать потери, связанные с полезным излучением за счет выхода излучения через зеркала и потери, учитываемые коэффициентом b.

Из формулы (1.64) определяется критическое значение для инверсии населенностей: (N₂-N₁)_кр = (1.65)

Как только достигнута критическая инверсия, генерация начнет развиваться из спонтанного излучения. При этом фотоны, которые спонтанно испускаются вдоль оси резонатора, будут усиливаться в активном элементе.