Кинетические уравнения для населенностей уровней

 

Для анализа условий возникновения инверсной населенности в рассмотренных схемах оптической накачки составляются кинетические (балансные) уравнения, описывающие скорости изменения населенностей всех уровней в процессе накачки. Рассмотрим для примера трехуровневую схему накачки.

Рис.1.14.Схема переходов в трехуровневой схеме оптической накачки.

Вероятности для вынужденных переходов (W_ij) и вероятности процессов релаксации (w_ij) на этом рисунке приведены с учетом особенностей оптического диапазона, для которого характерны большие расстояния между квантовыми уровнями (Е_i-E_j>>kT). Скорости изменения населенностей квантовых уровней описываются следующими уравнениями:

DN3/dt=W₁₃ (N₁-N₃)-w₃₂N₃-w₃₁N₃

DN2/dt=W₂₁ (N₁-N₂) +w₃₂N₃-w₂₁N₂

DN1/dt =W₂₁ (N₂-N₁) +W₁₃ (N₃-N₁) +w₂₁N₂+w₃₁N₃ (1.64)

где учтено, что W₁₂=W₂₁, W₁₃=W₃₁= B13, - спектральная объемная плотность энергии излучения накачки. Для определения порогового уровня накаfreакуимс нра5 ччки, при котором достигается инверсия населенностей между вторым и первым уровнями, т.е. N₂>N₁, достаточно проанализировать случай, когда под действием сильного излучения накачки установится стационарный режим, характеризирующийся условием dN_i / dt=0.

Тогда система(1.64) сводится к виду:

W₁₃ (N₁-N₃)-w₃₂N₃-w₃₁N₃=0

W₂₁ (N₁-N₂) +w₃₂N₃-w₂₁N₂=0

N₁+N₂+N₃=N₀ (1.65)

В этой алгебраической системе уравнений третье уравнение системы (1.64) заменено уравнением, определяющим полную населенность N₀ в рассматриваемой системе.

Дальнейшее упрощение полученной системы связано с тем обстоятельством, что при dN₃/dt=0 накопления частиц на третьем уровне не происходит, поэтому остается справедливым условие N₃<<N₁. Тогда система(1.65) приводится к виду:

W₁₃N₁-N₃(w₃₂+w₃₁)=0

W₂₁ (N₁-N₂) +N₃w₃₂-N₂w₂₁=0

N₀ ≈N₁+N₂ (1.66)

Из этой системы находятся N₁ и N₂, а затем величина ∆= N₂- N₁, определяющая инверсию населенностей между вторым и первым уровнями: (1.67)

Возможность инверсного заселения второго уровня, используя механизм накачки через третий уровень, определяется выполнением физического условия, при котором вероятность релаксации с третьего уровня на второй должна быть значительно больше вероятности релаксации с третьего уровня обратно на первый, т.е. w₃₂>>w₃₁.

При этом w₃₂=w₃₂^би+w₃₂^изл=w₃₂^би+A₃₂ (1.68)

где w₃₂^би- вероятность безызлучательных переходов, а w₃₂^изл=А₃₂ - вероятность спонтанных переходов. В рассматриваемой схеме должно выполняться условие w₃₂^изл≈0, т.е. w₃₂≈w₃₂^би (вероятность релаксации 3→2 должна быть в основном безызлучательной).

Для перехода 2→1 наоборот основную роль должны играть излучательные переходы, т.е. w₂₁ = w₂₁^би+A₂₁≈ A₂₁

C учетом сказанного, формула (1.68) принимает вид:

(1.69)

Отсюда ∆=(N₂-N₁)>0, если W₁₃>A₂₁=1/τ₂₁^сп (1.70)

Так как W₁₃= B_13, то условие (1.70) можно представить в виде, которое определяет пороговый уровень накачки для достижения состояния с инверсией населенностей: ^пор≥ (1.71)

На рис.1.15. представлены графики изменения населенностей в трехуровневой (а) и четырехуровневой (б) схемах в зависимости от уровня накачки. Заштрихованные области соответствуют состоянию с инверсией населенностей квантовых уровней.

Рис. 1.15. Графики изменения населенностей.

 

Оптические резонаторы

 

В качестве колебательной системы в генераторах радиодиапазона применяется колебательный контур, а в СВЧ диапазоне - объемные резонаторы, представляющие собой отрезки пустого металлического волновода прямоугольной или цилиндрической формы. При этом размеры для объемного резонатора L порядка длины волны .

При дальнейшем увеличении частоты и переходе в миллиметровый или оптический диапазон изготовление объемных резонаторов столь малых размеров становится технологически невозможным. Кроме того, с уменьшением линейных размеров резко падает добротность резонатора.

Поэтому для инфракрасного и оптического диапазона вместо объемного резонатора А.М. Прохоровым был предложен открытый резонатор, представляющий собой систему из двух зеркальных поверхностей, установленных на расстоянии L друг от друга. В такой системе L>> , что решает проблему реализации колебательной системы в оптическом диапазоне волн.

 

Рис.1.16.Колебательные системы для радио (а), СВЧ (б) и оптического диапазона волн (в).

 

В общем случае открытый резонатор (ОР) представляет собой систему из двух зеркальных поверхностей сферической формы (рис.1.17.), характеризующийся следующими основными параметрами:1)Радиусы кривизны зеркал R₁ и R₂ с центрами в точках О₁ и О₂, расположенных на оптической оси ОО’; 2)База резонатора L; 3)Коэффициенты отражения зеркал по интенсивности r₁ и r₂; 4) g-параметры g₁=1-L/R₁, g₂=1-L/R₂

Рис.1.17. Оптическая схема резонатора.

5)Число Френеля N_ф= а₁а₂/λL, где а₁ и а₂ диаметры зеркал.

Рассмотрим в общем виде картину физических процессов при распространении электромагнитной волны в пассивном открытом резонаторе, содержащим между зеркалами однородную, изотропную и пассивную диэлектрическую среду.

При построении теории ОР определяющим являются дифракционные потери, связанные с дифракцией электромагнитного поля на краях зеркал, имеющих конечные размеры. Количественно дифракционные потери оцениваются числом Френеля N_ф, определяющим число зон Френеля, укладывающихся на поверхности одного из зеркал, если смотреть из центра другого.

При больших числах Френеля (N_ф>>100) дифракционными потерями можно пренебречь и использовать для анализа процессов в резонаторе метод геометрической оптики и простейшую волновую теорию.

В геометрическом приближении, пользуясь понятием светового луча, можно получить условие устойчивости открытого резонатора.

Волновая теория позволяет найти частотный спектр (собственные типы колебаний или продольные моды) открытого резонатора и получить первоначальное представление о распределении поля на поверхности зеркал.

Однако наиболее общей и полной является дифракционная теория ОР, в рамках которой можно получить информацию как о частотном спектре (продольные моды), так и пространственном распределении поля в поперечном направлении (поперечные моды).