Редактор VBA. Метод бисекции

Цель работы:

· познакомиться с алгоритмом метода бисекции;

· получить навыки создания программного модуля с использованием оператора цикла с условием Do-While-Loop.

Теоретическая часть

Алгоритм метода бисекции

Решение задачи выполняется в два этапа.

Этап 1. Локализация корня в интервале поиска [ a, b ]. Условие локализации: корень в интервале единственный и значения функции на концах интервала имеют разные знаки (f (a)· f (b)<0).

Этап 2. Реализация метода бисекции, а именно: выполнение цикла приближений к корню выделением из интервала поиска половины, содержащей корень. Для этого в середине начального интервала и каждой выделенной его половины берётся пробная точка с =(a+b)/2 и в ней вычисляется значение функции f (с). Далее выполняется сравнение знаков f (a) и f (с) по произведению значений f (a) и f (с) и переопределение той или иной границы интервала поиска:

если f (a)· f (с)<0, то a=с; иначе b=с.

Основным условием окончания процесса (цикла) поиска является сокращение длины интервала поиска до задаваемой малой величины, определяющей допустимую погрешность вычисления корня, например, 0.01. Дополнительным условием окончания процесс поиска служит равенство нолю значения функции в пробной точке (в центре интервала поиска), когда длина интервала ещё большая.

 

Программная реализация метода бисекции

 

Function F (Byval x As Single) As Single

F=(x–1)^2–1

End Function

Private Sub Расчёт (Byval xn As Single, Byval xk As Single, _└┘–

Byval e As Single, ByRef x As Variant)

Dim N As Integer, c As Single ‘Объявление локальных переменных

Dim mas () ‘Объявление динамического массива

If F(xn)*F(xk)>0 Then

x =”?”

MsgBox ”на данном интервале корня нет или четное кол-во корней.”_└┘–

+ Chr(13) _└┘ &_└┘ –

”Задайте интервал, содержащий один корень”

Exit Sub

End If

N=0

c=(xn+xk)/2

Do While xk-xn>℮ And Abs(F(c))> ℮

c=(xn+xk)/2

N=N+1

ReDim Preserve mas (1 Tо N)

mas (N) =C

If F(xn)*F(c)>0 Then xn=c Else xk=c

Loop

x=c

If N=0 Then

ReDim Preserve mas(1 To 1)

mas (1)=x

End If

List1.List=mas

End Sub

Private Sub Cmd Решение _Click()

Dim a As Single, b As Single, eps As Single, _└┘––

корень As Variant

a=CSng(Text1.Text)

b=CSng(Text2.Text)

eps=CSng(Text3.Text)

Расчет a, b, eps, корень

Text4.Text = корень

End Sub

Private Sub List1_Click()

Text5.Text=F(CSng(List1))

End Sub

 

Пояснения

Данный проект является реализацией одного из численных методов поиска корня нелинейного уравнения.

Проект реализован структурированной программой. В главной (командной) подпрограмме с именем “CmdРешение” выполняется считывание с полей формы (ввод) основных исходных данных, вызов вспомогательной подпрограммы с именем “Расчет” и передача в поле формы (вывод) вычисленного значения корня.

В структуре программы содержатся описания

- функции с именем “F”, лежащей в основе уравнения;

- вспомогательной подпрограммы с именем “Расчет”;

- дополнительной подпрограммы с именем “List1”, передающей в поле формы значения функции при последовательных приближениях к корню.

 

Алгоритм метода поиска корня формально описан во вспомогательной подпрограмме с именем “Расчет”.

При записи в подпрограмме оператора цикла Do…Loop со служебным словом While (пока), помещённым в начале, составное условие для входа и продолжения цикла должно быть истинным, когда длина интервала поиска и значение функции в пробной (центральной) точке больше допустимой погрешности. Такое соединение условий реализуется логической операцией “And” (“и”).

Нарушение хотя бы одного из указанных выше условий входа в цикл обращает составное условие в ложь и приводит к выходу из цикла. А если в самом начале пробная точка окажется в точке корня, то входа в цикл не будет.

Последняя ситуация (нет входа в цикл) приводит к неопределенности динамического массива с именем “mas”, содержащего приближения к корню (координаты центральных точек интервала поиска) и наращиваемого по длине по мере надобности (количество элементов определяется счётчиком N). Если не было входа в цикл (N=0), то искусственно массив формируется из одного элемента, которому передается значение координаты первой пробной точки, являющейся точкой корня.

Динамический массив “mas” определяется в два этапа: сначала в инструкции “Dim” с помощью двух подряд круглых скобок (открывающей и закрывающей), помещаемых после имени массива, принципиально объявляется массив; далее в цикле с помощью инструкции “ReDim” (Re turn Dim ension – возврат к определению размерности) задаются границы нумерации элементов массива. Служебное слово “Preserve” является обязательным, без этого слова значения элементов массива не сохраняются в памяти.

В подпрограмме “Расчет” (в самом её начале) проверяется условие локализации. В условном операторе, выполняющем эту проверку, фигурирует обратное условие. Если оно истинно, то выводится соответствующее сообщение и выполняется выход (Exit) из подпрограммы. А перед этим величине “x” (переменной универсального типа Variant, соответствующей фактическому параметру “корень”), присваивается значение некоторой символьной константы (символы помещаются в кавычки, например, “???”; возможна пустая строка – двое кавычек (открывающих и закрывающих) подряд; тогда на форме проекта поле значения корня будет пустым). Если бы определить формальную переменную “x” и соответствующую ей в главной подпрограмме фактическую переменную “корень” как числовую, а при отсутствии корня в интервале поиска не присвоить этой переменной никакого значения, то в поле вывода автоматически был бы вывод значения “0” (ноль), что не соответствует истине.

Дополнительно в данный проект включена возможность наблюдать за процессом последовательных приближений к корню. Для этого в подпрограмме расчёта накапливается упомянутый выше массив “mas”. В конце данной подпрограммы этот массив передается на форму в списковое поле с именем “List1” (стандартное имя ListBox). В программу ещё включена возможность отображать на форме значения функции при отдельных значениях приближений к корню. Это реализуется в подпрограмме с именем “List1”. Она выполняется при щелчке ЛКМ на выбранной строке в поле “List1”. Значение, отображённое символами в строке, считывается и в преобразованном числовом виде передаётся как аргумент функции с именем “F”, определяющей выражение уравнения, а вычисленное значение функции выводится на форму в поле с именем “Text5”.

В качестве примера в данном проекте взято уравнение, выражающееся функцией f(x)=(x-1)^2-1 и имеющее два корня: x1=0 и x2=2.

Оборудование, инструменты и приборы

 

ПЭВМ, программное обеспечение Microsoft Office (Excel 2007).

 

Таблица 3.5

Варианты заданий

 

Для всех вариантов допустимая погрешность вычисления корня нелинейного уравнения = 0,01.

№ варианта	F(x)	[a;b]	№ варианта	F(x)	[a;b]
	sin(x)	[2;5]		(x-2)^2-1	[0;1]
	sin(x)	[7;10]		(x-2)^2-1	[2;4]
	-sin(x)	[-1;2]		(x-2)^2-2	[0;2]
	-sin(x)	[5;8]		(x-2)^2-2	[3;5]
	cos(x)	[-1;3]		-(x-2)^2+3	[0;2]
	cos(x)	[3;5]		-(x-2)^2+3	[3;5]
	-cos(x)	[-2;1]		(x-3)^2-1	[0;3]
	-cos(x)	[2;5]		(x-3)^2-1	[3;5]
	ln(x)	[0,5;3]		sin(x)-x^2	[0,5;1]
	ln(x-1)	[1,5;4]		cos(x)-ln(x)	[0,5;2]
	ln(x-2)	[2,5;4]		-2*(x-)+sin(x-1)	[0;3]
	ln(x-3)	[3,5;5]		x-cos(x)	[0;3]
	e^x-2	[0;1]		x+cos(x)	[-1;1]
	e^x-10*x	[0;1]		x-2-ln(x)	[0;1]
	e^x-x^2	[0;1]		2*x-sin(x)	[-1;2]

 

Порядок выполнения работы

1. В начале работы следует выполнить 4 варианта поиска корня по программе примера из файла “Бисекция”:

1) на интервале [1,6];

2) на интервале [1,3];

3) на интервале [3,6];

4) на интервале [-1,6].

Первые два варианта дают решение x=2. В варианте 3 нет решения, так как на заданном интервале корня нет. В варианте 4 также нет решения, но в данном случае так как на заданном интервале имеется два корня.

 

1. Создать в личной папке копию файла “Бисекция” с именем “Бисекция вар № …” (в имя файла вставить номер своего задания).

2. Заменить в подпрограмме-функции “F” выражение функции на выражение для своего варианта.

3. Выполнить программу поиска корня при своих данных (границах интервала поиска).

4. Завершить работу щелчком ЛКМ на пункте «Завершение сеанса <имя группы>».

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

· номер, название и цель работы;

· краткую теоретическую часть, включающую словесное описание и блок-схему алгоритма метода бисекции поиска корня нелинейного уравнения;

· результаты выполнения работы согласно заданию, выданному преподавателем, а именно: форму с результаты выполнения программы и текст программы;

· заключение по работе.

 

Контрольные вопросы

 

1. Каково условие начальной локализации корня?

2. Каково условие выделения отрезка, содержащего корень?

3. Каково основное условие окончания процесса поиска корня?

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №19