Одномерная сплайн-интерполяция

При небольшом количестве узловых точек (менее 10) линейная интерполяция оказывается довольно грубой. При ней даже первая производная функции аппроксимации испытывает резкие скачки в узловых точках. Для целей экстраполяции функция linterp(VX,VY, x ) не предназначена и за пределами области определения может вести себя непредсказуемо.

Гораздо лучшие результаты дает сплайн-аппроксимация. При ней исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные. Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (откуда и название аппроксимации spline - гибкая линейка).

Для осуществления сплайновой аппроксимации система Mathcad предлагает четыре встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:

cspline(VX,VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

pspline(VX,VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;

lspline(VX,VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам прямой.

Наконец, четвертая функция

interp(VS,VX,VY, x ) - возвращает значение y(x) для заданных векторов VS,VX,VY и заданного значения x.

На рис. 72 приведены примеры линейной и сплайновой аппроксимаций функции.

Рис.72. Примеры линейной и сплайновой аппроксимаций

Функции сглаживания данных

 

Данные большинства экспериментов имеют случайные составляющие погрешности. Поэтому часто возникает необходимость статистического сглаживания данных. Ряд функций MathCAD предназначен для выполнения операций сглаживания данных различными методами (рис. 72). Вот перечень этих функций:

medsmooth(VY,n) — для вектора с m действительными числами возвращает m-мерный вектор сглаженных данных по методу скользящей медианы, параметр n задает ширину окна сглаживания (n должно быть нечетным числом, меньшим m);

ksmooth(VX, VY, b) — возвращает n-мерный вектор сглаженных VY, вычисленных на основе распределения Гаусса. VX и VY — n-мерные векторы действительных чисел. Параметр b (полоса пропускания) задает ширину окна сглаживания (b должно в несколько раз превышать интервал между точками по оси х);

supsmooth(VX, VY) — возвращает n-мерный вектор сглаженных VY, вычисленных на основе использования процедуры линейного сглаживания методом наименьших квадратов по правилу k-ближайших соседей с адаптивным выбором k. VX и VY — n-мерные векторы действительных чисел. Элементы вектора VX должны идти в порядке возрастания.

 

Рис.73. Пример применения функций сглаживания случайных данных.

 

Функции предсказания данных.

Весьма интересной является функция предсказания predikt(data,k,N), где data — вектор данных, где data — вектор данных, k — число последних точек существующих данных, на основе которых происходит расчет предсказываемых точек; и N — число точек, в которых необходимо предсказать данные. Она по ряду заданных равномерно расположенных точек позволяет рассчитать некоторое число N последующих точек, т. е. по существу выполняет экстраполяцию произвольной (но достаточно гладкой и предсказуемой) зависимости.

Функция предсказания обеспечивает высокую точность при монотонных исходных функциях или функциях, представляемых полиномом невысокой степени (рис. 74).

Рис. 74. Пример применения функции предсказания случайных данных.

Оборудование, инструменты и приборы

ПЭВМ, система MathCad

Варианты заданий

Варианты заданий приведены в таблице 4.18.

Задание 1

Введите матрицу координат точек на плоскости согласно № варианта.

Таблица 4.18

Варианты заданий

Вар №	Задание	Вар №	Задание
1.	x 1.5   2.5   3.5     y 2.2 1.7 1.7 1.3     0.5	16.	x 1.8 3.8 5.3 7.1 8.8 y 4.3 8.7     15.3
2.	x   1.8 3.3 4.1 4.8 y 4.2	17.	x 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 y 1.5 2.2 2.9 4.1   6.2
3.	x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 y 1.5 2.2 2.9 4.1   6.2	18.	x 1.2 2.4 3.5 4.7 5.6 6.6 y 3.5 4.2 5.9 6.1 7.1 8.2
4.	x             y 1.5 2.2 2.9 4.1   6.2	19.	x   4.9   7.8 9.6 10.5 y 6.2 7.9     11.2 13.8
5.	x 1.1 1.5   2.5   3.5 4.1 y 2.2 2.2 1.7 1.6 1.3	20.	x   2.5   3.5   4.5   y 2.2 2.2 1.7 1.7 1.3
6.	x 1.5 2.5 3.9 4.8 5.8 y 4.2	21.	x   1.8 3.3 4.1 4.8 y 3.2     11.5
7.	x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 y 3.5 4.2 4.9 6.1   8.2	22.	x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 y 2.5 3.2 4.9 5.1   7.2
8.	x             y 2.5 3.2 4.9 5.1   7.2	23.	x   2.6 5.4 6.8 9.8 11.6 y 6.5 7.2 8.9 9.1 10.1 11.2
9.	x 1.5   4.9   7.8 9.6 y 6.5 7.2 8.9 9.1 10.1 11.2	24.	x 1.5 2.3 3.8 4.4 5.9 6.8 y 3.5 4.2 5.9 6.1 7.1 8.2
10.	x 0.9 1.3   2.5   3.5   y 2.3 2.2 1.7 1.6 1.2	25.	x   1.5   2.5   3.5   y 3.2 3.2 2.7 2.7 2.3
11.	x   3.5 5.8 7.1 9.8 y 4.2	26.	x   2.8 3.3 5.1 5.8 y 4.2
12.	x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 y 1.5 2.2 2.9 4.1   6.2	27.	x 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 y 1.5 2.2 2.9 4.1   6.2
13.	x   2.6 5.4 6.8 9.8 11.6 y 3.5 4.2 5.9 6.1 7.1 8.2	28.	x 1.5   4.9   7.8 9.6 10.5 y 2.5 3.2 3.9 5.1 6.1 7.2 7.8
14.	x 1.2 2.4 3.5 4.7 5.6 6.6 y 2.5 3.2 4.9 5.1   7.2	29.	x 0.5 1.3 2.8 3.4 4.9 5.8 y 3.5 4.2 5.9 6.1 7.1 8.2

 

Окончание табл. 4. 18

15.	x   1.7   2.4 3.2 3.5   y 2.3 2.2 1.8 1.7 1.3 1.1 1.2	30.	x 1.5 2.9 5.9 6.8 8.8 10.6 y 6.5 7.2 8.9 9.1 10.1 11.2

 

Задание 2

Постройте функции линейной и обобщенной регрессии для данных точек.

 

Задание 3

Постройте линейную и сплайновую интерполяцию для тех же точек.

 

Задание 4

С помощью функции rnd введите 50 случайных чисел из отрезка [0,2]. Постройте функции сглаживания данных (с помощью различных встроенных функций).

 

Задание 5

Предскажите поведение функции f(x) = sin(2x) на отрезке [2π, 4π], если предположить, что она задана на отрезке [0, 2π].

 

Порядок выполнения работы.

1. Создать MathCad – документ и сохранить его под именем «Апроксимация».

2. Выполнить задания в соответствии с данными своего варианта.

 

Содержание отчета.

 

Отчет должен содержать:

· номер, название и цель работы;

краткую теоретическую часть, включающую описание проведения регрессии, аппроксимации данных, функции предсказания и сглаживания данных;

· результаты выполнения работы согласно заданию, выданному преподавателем, а именно, в отчет должен быть помещен сформированный на лабораторной работе MathCAD-документ “ Регрессия и аппроксимация ”;

· заключение по работе.

 

Контрольные вопросы

1. Что называется интерполяцией, экстраполяцией данных?

2. Для чего необходима регрессия?

3. Какие функции используются для проведения линейной регрессии данных?

4. Что такое сплайн-интерполяция? С помощью каких функций она проводится?

5. Какие функции используют для сглаживания данных?

6. Какие функции используют для предсказания данных?

 

Лабораторная работа № 26

 

Программирование в MathCad.

Цель работы: Изучить команды программирования MathCad.

Теоретическая часть

MathCad содержит огромное количество стандартных функций и методов решения задач, в этом вы можете убедиться просмотрев в меню список стандартных функций, но кроме того пользователь может создавать свои функции, алгоритмы решения, используя команды программирования.

 

Программные операторы

 

Чтобы познакомиться с командами программирования, выберите на математической панели кнопку:

 

На экране откроется панель программирования (рис. 75):

 

 

Рис. 75. Панель программирования

 

Рассмотрим программные операторы:

· Add Line – добавление строки в программу. Этот оператор создает и при необходимости расширяет жирную вертикальную линию, справа от которой в шаблонах задается запись программного блока. Эта команда используется всегда, если программа содержит больше одной строки.

· ß -присваивает значение локальным переменным (например: a ß 5)

· If -оператор условного выражения.

· Otherwise -выполняется, если неверно ни одно из условий (обычно применяется с if). Например:

· For – цикл с параметром.

Пример 1. Суммирование чисел от 0 до n:

Пример 2. Для x, изменяющего свое значение от -2 до 2 с шагом 0.5, вычислить значение f(x) =x²+e^-x, сформировать из этих значений вектор Y:

· While – цикл с условием.

Пример 3. Суммирование чисел от 0 до n:

· Break – прерывание цикла или всей программы.

· Return – возвращает результат. По умолчанию программа возвращает все, что стоит на последней строке.

·
On error – обработка ошибки. Например:

· Continue – начать новую итерацию ближайшего цикла.