Загальний вид представлення частот і їх пропорцій у вибіркових сукупностях

Група (метод лікуваня) або вибірка	Наявність ознаки, що цікавить	Розмір групи (вибірки)	Пропорція/доля ознаки, що цікавить
ТАК	НІ
Група 1 (експериментальна)
Група 2 (контрольна)
Сума

Примітка:В таблиці 1 крапка замість індексу означає сумування по цьому індексу

 

Для визначення достовірності відмінності пропорцій Р₁ і Р₂ (із заданою довірчою імовірністю % можна застосувати z-критерій, критерійне значення якого розраховується по формулі:

(1)

де , - вибіркова оцінка Р₁,. - вибіркова оцінка Р_{2 .}

Розраховане критеріальне значення z порівнюється з процентною точкою стандартного нормального розподілу[2] для рівня значущості[3] , оскільки даний критерій є двостороннім. Якщо обчислене значення перевищує критичне для заданого рівня значущості, то нульова гіпотеза відхиляється на користь альтернативної, згідно якої пропорції Р₁, і Р₂ розрізняються з довірчою імовірністю %.

Крім того, слід зазначити, що включений у формулу (1) вираз є поправкою Іейтса на неперервність. Це пов'язано з тим, що неперервний розподіл (у нашому випадку нормальний) використовується для представлення дискретного розподілу частот. Поправку Іейтса рекомендується застосовувати завжди, оскільки її включення у формулу (1) приводить до точнішої оцінки порівняння імовірності, ніж у разі, коли поправка не використовується.

Крім того, можна обчислити досягнутий рівень значущості р [4] (іноді його в літературі називають мінімальним або найменшим) і порівняти його із заданим рівнем значущості . Традиційно приймають, що якщо , то це достатньо, щоб відхилити нульову гіпотезу на заданому рівні значущості і прийняти альтернативну. Дана ситуація проілюстрована на рис. 1.

Якщо в результаті використання z-критерію було всановлено, що пропорції Р₁ і Р₂ розрізніяються, то для їх різниці корисно побудувати довірчий інтервал. Довірчий інтервал – це інтервал, відносно, якого із заданою імовірністю можна стверджувати, що він містить невідоме значення параметра: : , де - довірча імовірність; - рівень значущості. Таким чином, за допомогою довірчого інтервалу можна оцінити в яких межах із заданою довірчою імовірністю може знаходитися дійсне значення параметра в генеральній сукупності. Наприклад, значення параметрів, отримані в результаті проведення клінічних випробувань, на вибірці відрізняються від дійсних значень в генеральній сукупності унаслідок впливу випадковості. Так, 95% довірчий інтервал означає, що дійсне значення параметра, обчисленого на основі вибіркових даних, з імовірністю 95% знаходиться в межах цього інтервалу. На основі довірчого інтервалу можна судити про клінічну значущість ефекту. За допомогою довірчих інтервалів можна перевіряти статистичні гіпотези. Наприклад, для оцінки статистичної значущості відмінностей існує наступне правило: якщо -процентний довірчий інтервал різниці середніх не містить нуля, то відмінності статистично значимі і, навпаки, якщо цей інтервал містить нуль, то відмінності статистично незначущі . Слід враховувати, що ширина довірчого інтервалу також характеризує ступінь нашого незнання: дуже широкий довірчий інтервал може служити лише вказівкою на те, що слід зібрати більше даних. Довірчі інтервали дають більше інформації про параметр, чим проста точкова оцінка, оскільки відмежовують відразу цілу сукупність допустимих значень. Для побудові довірчого інтервалу спочатку необхідно обчислити оцінку стандартної похибки різниці () використовуючи наступну формулу:

(2), де і . У випадку коли і достатньо великі то % довірчий інтервал для різниці Р₂ - Р₁ визначається наступним виразом:

(3)

де - процентна точка стандартного нормального розподілу.

Побудований на основі виразу (3) інтервал включатиме дійсну різницю пропорцій приблизно в % випадків. Якщо довірчий інтервал включає значення 0, то це свідчить про те, що пропорції Р₁ і Р₂ розрізняються статистично незначущо (при заданому рівні значущості).

 

Приклад

Порівняємо частоту виникнення небажаних побічних реакцій в експериментальній і контрольній групах, початкові дані для яких приведені в табл. 2. Поряд з даними в дужках вказані позначення, які відповідають використовуваним у вищенаведених формулах. Для розрахунків скористаємося електронним таблицями MS Excel. Вид початкових даних і отриманих результатів на робочому листі MS Excel приведений в таблиці 3.

Відповідно до отриманих результатів можна зробити наступні висновки:

 

Таблиця 2. Частота виникнення побічних реакцій і їх доля в відповідних групах

 

Група (метод лікуваня) або вибірка	Побічні реакції	Розмір групи (вибірки)	Пропорція/доля ознаки, що цікавить
Виникли ТАК	Не виникли НІ
Група 1 (експеримента-льна)	24()	142()		0.145
Група 2 (контрольна)	16()	35()		0.314
Сума	40 ()			0.184

1.Оскільки розраховане значення z-критерію (2.5182) більше критичною значення стандартного нормального розподілу при рівні значущості 0,05 (1,96) (за умови, що критерій двосторонній), то нульова гіпотеза відхиляється і приймається альтернативна, яка припускає, що з довірчою вірогідністю 95% пропорції

 

Таблиця №3.

Вихідні дані і результати обчислень за допомогою табличного процесора MS Exel

 

Група (метод лікування)	Частота виникнення побічних реакцій	Сума (розмір вибірки)	Пропорція
Виникли (Так)	Не виникли (НІ)	доля
Группа 1 (експериментальна)				0,145
Группа 2 (контрольна)				0,314
Сума				0,164
Розраховане значення z-критерію	2,5812
Заданий рівень значущості альфа	0.0500
Критичне значення стандартного нормального розподілу при рівні значущості	1,96
Вибіркова різниця Р1-Р2	0,169
Стандартна помилка (Р2-Р1)	0,07
Ліва границя довірчого інтервалу	0,0182
Права границя довірчого інтервалу	0,3201
Досягнутий рівень значущості	0,012

Р₁ і Р₂ розрізняються. Іншими словами, можна стверджувати, що імовірність розвитку небажаних побічних явищ/реакцій при лікуванні пацієнтів першим методом статистично значущо менша, ніж при лікуванні другим методом.

2. Величина значення р рівна 0,012 (досягнутий рівень значущості менше заданого рівня значущості , що також дозволяє відкинути нульову гіпотезу на користь альтернативної.

3. Стандартна помилка різниці оцінок пропорцій Р₁ і Р₂ рівна 0,07.

4. Довірчий інтервал для різниці пропорцій Р₁ і Р₂, отриманий з використанням виразу (3), має наступний вигляд: . Таким чином, можна стверджувати, що дійсна різниця пропорцій Р₁ і Р₂ приблизно в 95% випадків потраплятиме в даний довірчий інтервал. Оскільки довірчий інтервал не включає значення 0 при заданому рівні імовірності, то це також підтверджує зроблені в п.1 виводи.

 

Література

1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. (1983) Таблицы математической статистики. Наука, Москва, 416 с.
2. Лапач С.Н., Чубенко А.В., Бабич П.Н. (2002) Основные принципы применения статистических методов в клинических испытаниях. МОРИОН, Киев, 160 с.
3. Лапач С.Н.,Чубенко А.В., Бабич П.Н.(2002) Статистика в науке и бизнесе. МОРИОН, Киев, 640с.
4. Пегрн А., Сэбин К. (2003) Наглядная статистика в медицине (Пср.с англ.). ГЭОТАР-МЕЛ. Москва, 144с.
5. Фленс Дж. (1989) Статистические методы для изучения таблиц долей и пропорций (Пер. с англ.). Финансы и статис­тика, Москва, 319 с.
6. Чубенко А.В., Бабич П.II., Лапач С.Н., Ефимцева Т.К., Мальцев В. И. и др. (2003) Принципы применения статистических методов при проведении клинических испытаний лекарственных средств. Методические рекомендации. Издательский дом «Авиценна», Киев, 60 с.