Материальная точка. Система отсчёта. Путь и перемещение.

КИНЕМАТИКА

Перемещение и скорость при ПРЯМОЛИНЕЙНОм РАВНОМЕРНОм ДВИЖЕНИи

Начальный уровень:

А1. Выразите в метрах в секунду скорость 72 км/ч.

А2. Выразите в километрах в час скорость 15 м/с.

А3. Какая скорость больше: 5 м/с или 36 км/ч?

А4. В течение 30 с поезд двигался равномерно со скоростью 54 км/ч. Какой путь прошел поезд за это время?

А5. Вычислите скорость лыжника, прошедшего 16 км за 2 ч.

А6. Лифт двигался равномерно со скоростью 3 м/с. За сколько времени лифт поднимется на высоту 60 м?

Средний уровень:

Б1. Поезд длиной 240 м, двигаясь равномерно, прошел мост за 2 мин. Какова скорость поезда, если длина моста 360 м?

Б2. Сколько времени потребуется скорому поезду длиной 150 м, чтобы проехать мост длиной 850 м, если скорость поезда равна 72 км/ч?

Б3. Один автомобиль, двигаясь со скоростью 12 м/с в течение 10 с, совершил такое же перемещение, что и другой за 15 с. Какова скорость второго автомобиля, если оба двигались равномерно?

Б4. Двигаясь равномерно прямолинейно, тело за 10 с прошло 200 см. За сколько часов это тело, двигаясь с той же скоростью и в том же направлении, пройдет путь 36 км?

Б5. По озеру буксир тянет баржу со скоростью 9 км/ч. Длина букси­ра с баржей 110 м. За какое время буксир с баржей пройдет ми­мо теплохода, стоящего у пристани, если длина теплохода 50 м?

Б6. Автомобиль, двигаясь со скоростью 30 км/ч, проехал половину пу­ти до места назначения за 2 ч. С какой скоростью он должен продолжить движение, чтобы достигнуть цели и вернуться об­ратно за то же время?

Достаточный уровень:

В1. При движении вдоль оси ОХ координата точки изменилась за 5 с от значения х1 = 10 м до значения х2 = -10 м. Найдите модуль скорости точки и проекцию вектора скорости на ось ОХ. Запишите формулу зависимости x(t). Считать скорость постоянной.

В2. При движении вдоль оси ОХ координата точки изменилась за 8 с от значения х1 = 9 м до значения х2 = 17 м. Найдите модуль скоро­сти точки и проекцию вектора скорости на ось ОХ. Запишите формулу зависимости x(t). Скорость считать постоянной.

В3. Вдоль оси ОХ движутся два тела, координаты которых изменя­ются согласно формулам: х1 = 10 + 2t и х2 = 4 + 5t. Сделать поясни­тельный рисунок. Как движут­ся эти тела? В какой момент времени тела встретятся? Найдите координату точки встречи.

В4. Вдоль оси ОХ движутся два тела, координаты которых изменя­ются согласно формулам: х1 = 63 – 6t и х2 = -12 + 4t. Сделать поясни­тельный рисунок. Как движутся эти тела? В какой момент времени тела встретятся? Найдите координату точки встречи.

В5. Вдоль оси ОХ движутся два тела, координаты которых изменя­ются согласно формулам: х1 = 5t и х2= 150 - 10t. Сделать поясни­тельный рисунок. Как эти тела движутся? В какой момент времени тела встретятся? Найдите координату точки встречи.

В6. Вдоль оси ОХ движутся два тела, координаты которых изменя­ются согласно формулам: х1 = 4 - 2t и х2 = 2 + 2t. Сделать поясни­тельный рисунок. Как эти тела движутся? В какой момент времени тела встретятся? Найдите координату точки встречи.

В7. (18.Р) По прямолинейной автостраде (см. рис.) движутся равно­мерно: автобус — вправо со скоростью 20 м/с, легковой авто­мобиль — влево со скоростью 15 м/с и мотоциклист — влево со скоростью 10 м/с; координаты этих экипажей в момент начала наблюдения равны соответственно 500, 200 и —300 м. Написать их уравнения движения. Найти: а) координату автобуса через 5 с; б) координату легкового автомобиля и пройденный путь через 10 с; в) через сколько времени коор­дината мотоциклиста будет равна —600 м; г) в какой момент времени автобус проезжал мимо дерева; д) где был легковой автомобиль за 20 с до начала наблюдения.

В8. (19.Р) Движение грузового автомобиля описывается уравне­нием х1 = -270 + 12t, а движение пешехода по обочине того же шоссе — уравнением х2 = -1,5 t. Сделать поясни­тельный рисунок, на котором ука­зать положение автомобиля и пешехода в момент начала наблюдения. С какими скоростями и в каком направлении они двигались? Когда и где они встретились?

Высокий уровень:

Г1. Движение материальной точки в плоскости ХОУ описывается уравнениями: х = 6 + 3t, у = 4t. Постройте траекторию движения.

Г2. Движение материальной точки в плоскости ХОУ описывается уравнениями: х = 2t, у = 4 — 2t. Постройте траекторию движе­ния.

Г3. Координаты материальной точки, движущейся в плоскости ХОУ, изменяются согласно формулам: х= -4t, у = 6 + 2t. Запишите уравнение траектории у = у(х). Найдите начальные координаты движущейся точки и ее координаты через 1 с после начала движения.

Г4. Координаты материальной точки, движущейся в плоскости ХОУ, изменяются согласно формулам: х= -2t, у = -4 + t. Запишите уравнение траектории у = у(х). Найдите начальные координаты движущейся точки и ее координаты через 1 с после начала дви­жения.

Г5. Уравнения зависимостей x(t) для трех автомобилей на прямолиней­ном участке дороги имеют вид х1= -2500 + 25t, х2 = 7500 – 15t, x3 = 500. В течение какого промежутка времени сближаются 1-й и 2-й автомобили? 1-й и 3-й автомобили?

Г6. Велосипедист проехал 3/4 расстояния от поселка А до поселка Б за один час. С какой скоростью он двигался, если увеличив скорость до 25 км/ч, он за следующий час добрался до поселка Б и вернулся в поселок А?

Олимпиадные задачи:

Д1. (26.Р) Самолет в момент начала наблюдения находился в точке с начальными координатами х₀ = 0, у₀ = 400 м и двигался равномерно и прямолинейно в вертикальной пло­скости XOY со скоростью 100 м/с под углом 30° к горизонту. Написать уравнения зависимости координат от времени х = х (t), у = у (t) и уравнение траектории у = у (х).

 

КИНЕМАТИКА

МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА. СИСТЕМА ОТСЧЁТА. ПУТЬ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ.

Начальный уровень:

А1. Приведите примеры задач, при решении которых спортсмена можно считать материальной точкой.

А2. Приведите примеры задач, при решении которых спортсмена нельзя считать материальной точкой.

А3. Приведите примеры задач, в которых поезд: а) можно считать материальной точкой; б) нельзя считать материальной точкой.

А4. Можно ли принять за материальную точку снаряд при расчете дальности его полета?

А5. Укажите, что принимают за тело отсчета, когда говорят: а) ав­томобиль едет со скоростью 60 км/ч; б) пассажир идет по вагону со скоростью 1 м/с.

А6. Укажите, что принимают за тело отсчета, когда говорят: а) бревно плывет по течению реки, поэтому его скорость равна нулю; б) ско­рость плывущей по реке лодки равна скорости течения воды в реке.

А7. Путь или перемещение показывает счетчик на спидометре авто­мобиля?

А8. Путь или перемещение оплачивает пассажир междугороднего автобуса?

А9. Велосипедист едет по ровной прямой дороге. Какие детали вело­сипеда движутся относительно земли по прямолинейным траек­ториям, а какие — по криволинейным?

А10. Приведите по два примера прямолинейных и криволинейных движений.

Средний уровень:

Б1. (4.Р) Указать, в каких из приведенных ниже случаях изуча­емое тело можно принять за материальную точку: а) вычисляют давление трактора на грунт; б) определяют высоту поднятия ракеты; в) рассчитывают работу, совершенную при поднятии в горизонтальном положении плиты перекрытия известной мас­сы на заданную высоту; г) определяют объем стального шарика, пользуясь изме­рительным цилиндром (мензуркой).

Б2. а) По заданной траектории движения тела найдите его переме­щение, если начальная точка траектории А, а конечная — С. Задачу решите графически.

б) Можно ли считать Луну материальной точкой: а) при расчете расстояния от Земли до Луны; б) при измерении ее диаметра?

Рис.Б2 Рис.Б3 Рис.Б4 Рис.Б7

Б3. а) По заданной траектории движения тела найдите его переме­щение при движении тела из точки А в точку В. Задачу решите графически.

б) Можно ли считать футболиста материальной точкой, когда: а) он бежит от середины поля к воротам противника; б) он от­бирает мяч у противника?

Б4. а) По заданной траектории движения тела найдите его переме­щение, если начальная точка траектории А, а конечная — D. Задачу решите графически.

б) Мальчик подбросил мяч вверх и снова поймал его. Считая, что мяч поднялся на высоту 2,5 м, найдите путь и перемещение мяча.

Б5. Сравнить пути и перемещения вертолета и автомобиля, траектории движения которых показаны на Рис.Б5.

Б6. (9.Р) Мяч упал с высоты 3 м, отскочил от пола и был пойман на высоте 1 м. Найти путь и перемещение мяча.

Б7. а) По заданной траектории движения тела найдите его перемеще­ние при движении тела из точки А в точку С. Задачу решите гра­фически.

б) Когда говорят о скорости машины или поезда, тело отсчета обычно не

Рис.Б5 указывают. Что подразумевают в этом случае под те­лом отсчета?

Б8. а) По заданной траектории движения тела найдите его переме­щение, если начальная точка траектории А, а конечная — С. Задачу решите графически.

б) Можно ли считать автомобиль материальной точкой при оп­ределении пути, который он прошел за 1 ч, двигаясь со скоро­стью 100 км/ч? при обгоне им другого автомобиля?

Б9. Поступательным или непоступательным движением является: а) движение минутной стрелки часов; б) движение кабинки «колеса обозрения»?

Б10. (5.Р) На Рис.Б10 изображен план футбольного поля на пришкольном участке. Найти координаты угловых флажков (О, В, С, D), мяча (Е), зрителей (К, L, М).

Б11. (14.Р) Тело переместилось из точки с координатами х1=0, у1 = 2 м в точку с координа­тами х2 = 4 м, у2 = 1 м. Сделать чертеж, найти пере­мещение и его проекции на оси координат.

Б12. (15Р). Вертолет, пролетев в горизонтальном полете по прямой 40 км, повернул под углом 90° и пролетел еще 30 км. Найти путь и переме­щение

Рис.Б10 вертолета.

Достаточный уровень:

В1. а) Изобразите схематически траекторию движения точек винта самолета относительно летчика.

б) Расстояние между пунктами А и В по прямой линии 4 км. Человек проходит это расстояние туда и обратно за 2 ч. Чему равны путь и модуль перемещения человека за 1 ч? За 2 ч?

В2. а) Изобразите схематически траекторию движения точек винта самолета относительно земли.

б) Мячик упал с высоты 4 м, отскочил от земли и был пойман на половине высоты. Каковы путь и модуль перемещения мячика?

В3. а) Нарисуйте примерный вид траектории движения точки обода колеса относительно центра колеса.

б) Вертолет, пролетев в горизонтальном полете по прямой 30 км, повернул под углом 90° и пролетел еще 40 км. Найти путь и модуль перемещения вертолета.

В4. а) Нарисуйте примерный вид траектории движения точки обода колеса относительно дороги при движении велосипедиста.

б) Велосипедист движется равномерно по окружности радиусом 200 м и делает один оборот за 2 мин. Определите путь и модуль перемещения велосипедиста за 1 мин; за 2 мин.

В5. а) Какие части катящегося вагона трамвая движутся и какие находятся в покое относительно дороги? Относительно стен ва­гона?

б) Материальная точка двигалась по окружности радиусом 2 м. Определите путь и модуль перемещения через 1/4, 1/2 части оборота и полный оборот.

В6. а) Из центра горизонтально расположенного вращающегося диска по его поверхности вдоль радиуса пущен шарик. Каковы траектории шарика относительно земли и диска?

б) Мальчик вышел из дому и прошел по прямым улицам сначала 2 квартала в направлении на восток, а затем 2 квартала — на се­вер. Определите путь и модуль перемещения, если длина квар­тала 150 м.

В7. а) Можно ли принять за материальную точку поезд, движущий­ся со скоростью 72 км/ч из одного города в другой?

б) Мотоциклист движется равномерно по круговой трассе ра­диусом 2 км, затрачивая на каждый круг 5 мин. Найдите путь и модуль перемещения за 2,5 мин; 5 мин; 10 мин.

В8. а) Можно ли при определении объема стального шарика с по­мощью мензурки считать этот шарик материальной точкой?

б) Дорожка имеет форму прямоугольника, меньшая сторона кото­рого равна 21 м, а большая — 28 м. Человек, начиная двигаться равномерно из правого верхнего угла, обходит всю дорожку за 1 мин. Определи­те путь и модуль перемещения человека за 1 мин и за 0,5 мин.

В9. (10.Р) Движущийся равномерно автомобиль сделал разво­рот, описав половину окружности. Сделать чертеж, на кото­ром указать пути и перемещения автомобиля за все время раз­ворота и за треть этого времени. Во сколько раз пути, пройденные за указанные проме­жутки времени, больше мо­дулей векторов соответству­ющих перемещений?

В10. (11.Р) На Рис.В10 показаны перемещения пяти материаль­ных точек. Найти проекции векторов перемещения на оси координат.

В11. (12.Р) На Рис.В11 показана траектория движения мате­риальной точки из А в В. Найти координаты точки в начале и конце движения, проекции перемещения на оси координат, модуль переме­щения.

В12. (13.Р) Нa Рис.В12 показана траектория ABCD движения материальной точки из A b D. Найти координаты точки в начале и конце движения, пройденный путь, перемеще­ние, проекции перемещения па оси координат.

Рис. В10 Рис.В11 Рис.В12

Высокий уровень:

Г1. а) Изобразите траекторию движения, при котором модуль пере­мещения равен 10 см, а путь 30 см.

б) Автомобиль, двигаясь прямолинейно, проехал путь 10 м, затем сделал поворот, описав четверть окружности радиусом 10 м, и про­ехал далее по перпендикулярной улице еще 10 м. Определите пройденный им путь и модуль перемещения.

Г2. а) Перенесите рисунок в тетрадь и покажите на нем траекторию и перемещение при движении маятника из точки В в точку С; из точки С в точку А.

б) Движущийся равномерно автомобиль сделал разворот, описав половину окружности. Изобразите с помощью чертежа путь и перемещение автомобиля за все время разворота. Во сколько раз путь больше модуля перемещения?

Г3. а) Изобразите траекторию движения, при котором путь превы­шает модуль перемещения в π/2 раз.

б) Моторная лодка прошла по озеру в направлении на северо-восток 2 км, а затем в северном направлении еще 1 км. Найдите геометрическим построением модуль и направление перемещения.

Г4. а) Лошадь движется на арене цирка по окружности. Перенесите рисунок в тетрадь и определите длину пути, пройденного лошадью при движении из точки А в точку В; модуль перемещения при движении из точки А в точку В, в точку С, в точку D, в точку А

б) Турист вышел из поселка А в поселок В. Сначала он прошел 3 км на север, затем повернул на запад и прошел еще 3 км, а по­следний километр он двигался по проселочной дороге, идущей на север. Какой путь проделал турист и каково его перемеще­ние? Начертите траекторию движения.

Г5. а) Во время равномерного движения поезда с верхней полки па­дает мяч. Будет ли он падать вертикально? Одинаково ли отве­тят на этот вопрос наблюдатели, находящиеся в вагоне и на платформе?

б) Туристы прошли сначала 400 м на северо-запад, затем 500 м на восток и еще 300 м на север. Найдите геометрическим по­строением модуль перемещения и направление перемещения.

Г6. а) Как должен подпрыгнуть наездник, скачущий на лошади по прямой с постоянной скоростью, чтобы, проскочив сквозь об­руч, снова встать на лошадь? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

б) Теплоход, двигаясь по реке, прошел на восток 30 км, затем свернул на северо-восток и прошел еще 20 км, последние 20 км он двигался строго на север. Какой путь проделал теплоход и каково его перемещение? Начертите траекторию движения.

Г7. а) При каком условии путь равен модулю перемещения? Может ли модуль перемещения быть больше пройденного пути?

б) Катер прошел из пункта А по озеру расстояние 5 км, затем повернул под углом 30° к направлению своего движения. После этого он двигался до тех пор, пока направление на пункт А не стало составлять угол 90° с направлением его движения. Каково перемещение катера? Какое расстояние до пункта А ему еще предстоит пройти?

Г8. а) Траектории движения двух материальных точек пересекают­ся. Означает ли это, что тела сталкиваются? Приведите пример, подтверждающий ваш ответ.

б) Горная тропа проходит в северном направлении 3 км, затем сворачивает на юго-восток и тянется еще 4 км, затем делает по­ворот на северо-восток и тянется еще 4 км. Последние 11 км она направлена строго на юг. Определите путь, который прошел по ней турист, и его перемещение. На какое расстояние сме­стился турист в восточном и южном направлениях? Начертите траекторию движения.