Суміщення фільтрації та інтерполяції (екстраполяції)

 

В інженерній практиці досить часто приходиться мати справу з вимірами фізичних величин, зроблених у різні моменти часу. Разом з тим, контроль і аналіз ходу виробничого процесу потребує суміщення результатів вимірювань у часі: одні величини оцінювати у майбутньому (екстраполяція), інші — в минулому (інтерполяція). Наявність завад обумовлює ще й необхідність фільтрації вимірювальних сигналів. При необхідності, як інтерполяція чи екстраполяція вимірюваного значення змінної, так і фільтрації її від завад, ці обидва обчислювальні алгоритми можуть бути суміщені в одній операції.

Теоретичною передумовою такого суміщення операцій служить можливість побудови прогнозуючого фільтра, якщо передаточною функцією вимірювальної системи обрати:

, (11.43)

то оптимальна передаточна функція прогнозуючого фільтра за умови фізичної реалізації розраховується відповідно до (11.19).

Так як для прогнозатора: ,

чи ;

тоді: . (11.44)

Спираючись на (11.32) кінцево будемо мати:

; . (11.45)

де параметри С, τ, Т визначені з (11.31).

І, таким чином, коефіцієнт передачі прогнозуючого фільтру С_Δ стає залежним від часового зсуву Δ.

Можна резюмувати: математична постановка сумісної задачі фільтрації з інтерполяцією чи екстраполяцією різниться від задачі для чистої фільтрації лише тим, що в усіх формулах і критеріях замість представляється . Причому для екстраполяції, для інтерполяції. Більш повно систему прогнозуючої фільтрації розглянемо на прикладі того ж експоненціального згладжування.

Спираючись на (11.43) – (11.45) можна стверджувати, що частотна характеристика прогнозуючого фільтру експоненціального згладжування відповідає:

; . (11.46)

Похибка такої фільтруючої системи відповідно до (11.60):

.

Після перетворення:

, (11.47)

звідки .

Кінцевий вираз для похибки неперервного варіанту прогнозуючого експоненціального фільтру:

. (11.48)

Для того, щоб структура (11.46) стала субоптимальною, необхідно:

і .

В результаті отримаємо:

. (11.49)

Відмітимо, що раніше отримані результати відносно чистої експоненціальної фільтрації являються лише окремим випадком цієї фільтрації за прогнозом. Справді, виключивши з системи прогноз, , отримаємо відповідні формули.

Резюме.

При виводі виразів (11.46), (11.48), (11.49) використовувалися результати того, що конкретної функції:

,

що має властивості парності, зсув за часом на величину Δ дає :

;

,

що змінює частотну характеристику системи внаслідок отримання нею прогнозуючих властивостей.

,

а значить змінюється і модуль .

Сама система володіє зсуваючими властивостями.

Через це у виразі відносно сигнал входить без зсуву.

Можна поступити інакше:

формально на підставі теорії про зсув оригіналу

,

.

Таким чином , тобто якщо зсунути у часі вхідний сигнал , то частотна характеристика системи залишається колишньою:

і тоді

.

або

. (11.50)

Звідси похибка:

. (11.51)

Мінімізуючи останній вираз по γ, отримаємо:

, (11.52)

котре як і (11.49), при дає вираз (11.47).

 

Контрольні запитання

 

1. В чому парадокс експоненційного згладження білого шуму?

2. Розкажіть про фільтр Вінера, наведіть його структурну схему.

3. Що таке автокореляційна функція?

4. Назвіть критерії статичної оцінки сигналу.

5. Назвіть засоби аналогової корекції.

6. Навести структуру реального неперервного експоненційного фільтра.

7. Розкажіть про операції фільтрації та інтерполяції.

8. Наведіть структуру системи, що володіє зсуваючими властивостями.

9. Як визначається похибка фільтрації?

10. Наведіть основні рекомендації щодо практичного використання експоненційного і стохастичного фільтрів.

11. Розкажіть етапи процедури переходу до субоптимальної стохастичної фільтрації.

12. Як визачається величина обернено пропорційна постійній часу фільтра при одиничному коефіцієнті передачі?

13. Що необхідно для того, щоб дискретний експоненціальній фільтр став субоптимальним?

14. Наведіть приклади застосування експоненційної і стохастичної фільтрації.

Лекція 12. Стохастичний синтез завадостійких систем нижнього рівня