Стохастичний синтез форсованих систем другого порядку

 

Розглянемо суму спектральної щільності випадкового сигналу з періодичною складовою та перешкоди – білого шуму. Поширені дві апроксимації спектральної щільності корисного сигналу – диференцьованою і недиференцьованою функціями.

Для першої апроксимації маємо:

Оскільки для спектральної щільності сигналу використовується відношення резонансної частоти до параметру затухання як ступінь регулярності сигналу, то логічно ввести аналогічну характеристику для полінома чисельника сумарного сигналу. Дрібно-раціональна функція має вигляд:

(4.18)

Невідомі параметри знайдемо із системи рівнянь:

Рішення системи рівнянь можна представити в тригонометричній і алгебраїчній формах. В тригонометричній формі невідомі параметри – параметр затухання і ступінь регулярності полінома чисельника сумарного сигналу дорівнюють:

(4.19)

В алгебраїчній формі вони дорівнюють:

(4.20)

Легко показати, що одержані - алгебраїчна та тригонометрична форми запису є еквівалентні.

Якщо рівень перешкоди дуже малий, то ступінь регулярності наближається до одиниці. Коли рівень перешкоди дуже великий, тоді параметр затухання сумарного сигналу співпадає з параметром затухання сигналу, як і резонансні частоти, а ступінь регулярності чисельника сумарного сигналу дорівнює ступіню регулярності корисного сигналу.

Таким чином, при малому рівні перешкоди ступінь регулярності чисельника сумарного сигналу не залежить від ступіня регулярності корисного сигналу і відношення середньоквадратичних відхилень сигналу і перешкоди і близьке до одиниці. З підвищенням рівня перешкоди ступінь регулярності чисельника сумарного сигналу наближається до ступеня регулярності корисного.

Якщо корисний сигнал з періодичною складовою апроксимовано більш простою недиференцьованою функцією, тоді сумарний сигнал має вигляд:

Невідомі параметри знайдемо із системи рівнянь:

Звідки знайшли параметри сумарного сигналу. Параметр затухання:

(4.21)

Ступінь регулярності дорівнює:

(4.22)

Для великого рівня перешкоди залежності ступенів регулярності корисного сигналу і чисельника сумарно одинакові для недиференційної і диференційної апроксимацій сигналу. Але для малого рівня перешкоди для недиференційної апроксимації сигналу ступінь регулярності чисельника сумарного сигналу дорівнює 0,408 для нульового рівня ступеня регулярності сигналу і відповідно одиниці для рівня сигналу, рівного безкінечності. Вказані криві мають спільну точку, коли ступіні регулярності однакові для недиференційної апроксимації і дорівнюють 0,46, а для диференційної апроксимації відповідно одиниці. Для других відношень середньоквадратичних відхилень сигналу і перешкоди криві знаходяться в заштрихованих секторах з тими же точками однакового рівня ступіней регулярності.

Оскільки вхідний сигнал може бути добутком більш простих, розглянемо найбільш поширені випадки.

При переході від змінної р до змінної ω ліва та права напівплощини переходять відповідно в верхню та нижню напівплощини комплексної площини ω. Дійсно, в наслідок зміни р на іω, одержали:

(4.23)

При переході від якої-небудь точки площини р до відповідної точки площини ω треба повернути радіус-вектор, проведений в площині р, до цієї точки на 90˚ по годнниковій стрільці.

Наприклад, спектральна щільність сумарного корисного диференцьованого випадкового сигналу і перешкоди має вигляд:

(4.24)

Корені верхньої напівплощини параметру ω мають вигляд і нижньої (для знаменника) та і (для чисельника).

Якщо сумарний сигнал записати в плошині р, тоді:

(4.25)

Корені, які знаходяться в лівій напівплощині параметру р, дорівнюють для знаменника і для чисельника, а в правій напівплощині відповідно і .

Перехід від якої-небудь точки площини ω до відповідної точки площини р означає поворот радіуса-вектора, проведеного до цієї точки, на 90˚ проти годинникової стрілки, оскільки із відомої формули:

. (4.26)

при ωτ=π/2, можна записати, що , тому .

 

Приклад. Розглянемо задачу оптимальної фiльтрацiї, коли на входi випадковий корисний сигнал має перiодичну складову i апроксимований диференцiйною або недиференцiйною функцiями, а перешкода - бiлим шумом. Спектральну щiльнiсть суми корисного сигналу i перешкоди в загальному виглядi представимо так:

,

де полiноми чисельника i знаменника являють собою добуток чотирьох спiвмножникiв, якi мають дiйсну частину – параметр затухання корисного або сумарного сигналу i уявну частину - резонансну частоту як добуток ступеня регулярностi на параметр затухання корисного i сумарного сигналiв.

Розглянемо спектральну щiльнiсть, апроксимовану диферен цiйною функцiєю. Виконаємо структурний синтез за методикою Ван-Трiса, а для порівняння за методикою виконанням операцiї сепарацiї по теоремi Кошi про лишки (див. додаток 1 приклад 6.1).

Методика Ван-Трiса.

Виконаємо операцiю факторизацiї, коли комплексно спряженi функцiї, всi нулi та полюси яких знаходяться вiдповiдно в верхнiй та нижнiй напiвплощинах параметра частоти, дорiвнюють:

Оптимальна передаточна функцiя дорiвнює:

Пiсля перетворень одержали передатну функцію форсованої ланки другого порядку:

, (4.27)

дe K – коефiцiєнт передачi;

Т,Т ₁– постiйнi часу;

ξ – вiдносний коефiцiєнт затухання.

Постiйна часу знаменника дорiвнює:

, (4.28)

де μ – параметр затухання корисного сигналу;

ψ – cтупiнь регулярностi корисного сигналу;

α – вiдношення середньоквадратичних вiдхилень сигналу i перешкоди.

Чим бiльше ступiнь регулярностi корисного сигналу, тим менше згаданий добуток, що тим сильнiше, чим бiльше вiдношення параметрiв сигналу i перешкоди.

Вiдносний коефiцiєнт затухання:

. (4.29)

Для дуже малого вiдносного рiвня перешкоди вiдносний коефiцiєнт затухання не залежить вiд ступеня регулярностi корисного сигналу i наближається до постiйного значення 0,707. Для дуже великого рiвня перешкоди формула для оцiнки добутку постiйної часу на параметр затухання спiвпадає з вiдносним коефiцiєнтом затухання:

.

Вiдносний коефiцiєнт затухання завжди менше одиницi, для одиничного ступеня регулярностi корисного сигналу дорiвнює 0,707 незалежно вiд корисного сигналу i перешкоди. Для ступеня регулярностi в межах вiд нуля до одиницi вiдносний коефiцiєнт затухання знаходиться в межах вiд 0,707 до одиницi.

Коефiцiєнт передачi системи дорiвнює:

. (4.30)

Чим бiльше ступiнь регулярностi корисного сигналу, тим менше значення коефiцiєнту передачi. Для дуже малого рiвня перешкоди коефiцiєнт передачi дорiвнює одиницi i не залежить вiд ступеня регулярностi. При дуже великому рiвнi перешкоди коефiцiєнт передачi зменшується до нуля.

Постiйна часу форсування:

. (4.31)

Добуток постiйної часу на параметр затухання корисного сигналу зменшується з ростом ступеня регулярностi i збiльшенням рiвня перешкоди. Коли вiдносний рiвень перешкоди дуже малий, указаний добуток не залежить вiд ступеня регулярностi i дорiвнює 0,5.

Для поширених в техніці спектральних щiльностей корисних сигналів без періодичної складової та з періодичною складовою, яка описується диференційною і недиференційною функціями, а також більш складних моделей та перешкоди в виді білого шуму виконали оптимальний синтез перешкодостійких систем. Повні і неповні поліноми характеристичних рівнянь сигналу мають порядок два, чотири, шість, що відповідає такій же кількості полюсів, причому в двох останніх випадках можуть включати дві пари комплексно-спряжених, характеризуючих коливальні процеси (приклади стохастичного синтезу наведені в додатку 1).