Динаміка гармонічних коливань.

Для визначення характеру руху механічної системи необхідно, використовуючи закони динаміки або збереження енергії, отримати рівняння руху системи, і якщо воно приводиться до вигляду , то можна однозначно твердити, що дана система є гармонічним осцилятором, частота w₀ якого дорівнює квадратному кореню з коефіцієнта при х. Розглянемо декілька прикладів і потім узагальнимо отримані результати.

Пружній маятник. Нехай кулька маси m підвішена на невагомій пружині жорсткості k, здійснює вертикальні коливання. У положенні рівноваги, в точці О, сила тяжіння зрівноважується силою пружності:

(5)

Якщо кульку вивести з положення рівноваги і вважати додатним напрямом зміщення х від положення рівноваги вниз, то рівняння динаміки для кульки матиме такий вигляд:

, (6)

а враховуючи (5) отримуємо:

,

або, після перетворення

.

Легко перевірити підстановкою, що розв'язок цього рівняння виражає гармонічне коливання

з циклічною частотою

і періодом

.

Отже, кулька, підвішена на пружині й виведена з положення рівноваги, перебуватиме в гармонічному коливанні. Характерно, що її коливання не залежить від сили тяжіння, а лише від повертаючої сили пружності, тому вони будуть однаковими в усіх місцях на Землі і навіть на інших планетах.

Математичний маятник. Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. Нехай маса маятника m, а довжина нитки підвішування l. З відхиленням маятника від положення рівноваги виникає повертаюча сила :

,

де – кутове відхилення маятника.

Складова зрівноважується реакцією нитки. При малих кутових відхиленнях sinj»j, тому повертаючу силу можна записати у вигляді:

,

де х – зміщення маятника від положення рівноваги, а знак мінус показує, що повертаюча сила протилежна до напряму зміщення.

Враховуючи, що за другим законом Ньютона , отримуємо:

,

звідки

.

Період коливання математичного маятника:

.

З формули періоду коливання випливають такі закономірності коливання математичного маятника:

- період коливання маятника не залежить від його маси;

- період коливання не залежить від амплітуди;

- період коливання прямо пропорційний квадратному кореню з довжини маятника і обернено пропорційний квадратному кореню з прискорення вільного падіння.

Фізичний маятник. Фізичним маятником називають тверде тіло довільної форми, яке коливається під дією тяжіння навколо горизонтальної вісі. Якщо маятник вивести з положення рівноваги, то на нього діятиме повертаючий момент М сили тяжіння, знак якого протилежний знаку кута відхилення маятника, а саме:

,

де L – відстань центра маси від точки підвішування.

При малих кутах відхилення (рад) повертаючий момент . Цей момент надає тілу кутового прискорення:

.

Після відповідних підстановок матимемо рівняння фізичного маятника:

,

де I – момент інерції тіла відносно осі коливання.

Це рівняння цілком аналогічне рівнянню динаміки гармонічного осцилятора. І в цьому разі легко перевірити підстановкою, що розв'язок отриманого рівняння задає гармонічне коливання:

з циклічною частотою

і періодом коливання

.

Фізичний маятник можна розглядати і як сукупність багатьох математичних маятників різної довжини. Оскільки вони жорстко зв'язані, то короткі маятники спонукають фізичний маятник до частіших коливань, а довгі – до повільніших. Для кожного фізичного маятника можна підібрати такий математичний маятник, який матиме однаковий період коливання з даним фізичним. Довжина такого математичного маятника, який має однаковий період з даним фізичним, називається зведеною довжиною фізичного маятника. З рівності періодів коливання цих маятників можна знайти вираз для зведеної довжини l₀ фізичного маятника:

.

Точка на фізичному маятнику О₁ що відповідає зведеній довжині, називається центром коливань. Центр коливань і точка підвішування – спряжеш точки. Якщо їх поміняти ролями, то період фізичного маятника не зміниться.

Енергія коливального руху. Щоб надати матеріальній точці коливального руху, треба вивести її з положення рівноваги. Для цього виконують певну роботу проти повертаючої сили. Ця робота буде мірою потенціальної енергії, наданої точці ззовні:

.

Із отриманого рівняння випливає, що потенціальна енергія точки в коливальному русі пропорційна квадрату її зміщення з положення рівноваги. Після припинення дії зовнішньої сили точка повертатиметься до положення рівноваги під дією квазіпружної сили. У міру зменшення зміщення, відповідно до закону збереження енергії, потенціальна енергія точки перетворюватиметься в кінетичну енергію. Оскільки зміщення точки і коефіцієнт квазіпружної сили , то потенціальну енергію точки в коливальному русі можна визначити за формулою:

.

Кінетичну енергію точки з масою m і швидкістю v запишемо так:

.

У положеннях крайнього зміщення потенціальна енергія максимальна, а кінетична дорівнює нулю. З рухом до положення рівноваги потенціальна енергія зменшується, а кінетична збільшується; у момент рівноваги потенціальна енергія дорівнює нулю, а кінетична набуває максимального значення. Повна енергія точки в коливальному русі складається із суми потенціальної і кінетичної енергії:

,

або після спрощення:

.

Отже, енергія точки в коливальному русі пропорційна квадрату амплітуди і квадрату частоти. Якщо система ізольована від інших зовнішніх впливів і точка коливається без тертя, то згідно з законом збереження енергія Е коливального руху точки залишається сталою.

Практично всяке коливання матеріальної точки, якщо воно не підтримується ззовні, затухає, його амплітуда з часом зменшується. Причинами затухання коливань є сила тертя в точці, де підвішене тіло, сила опору середовища, передавання коливань іншим тілам, теплові ефекти в деформаціях пружин.

Найістотніше впливає на коливання тіла опір середовища. Коли швидкість руху тіла мала, сила опору середовища пропорційна швидкості:

,

де r – коефіцієнт опору.

Знак мінус показує, що сила опору завжди напрямлена проти руху.

Визначимо зміщення як функцію від часу у випадку затухаючих коливань. На точку в коливальному русі діють квазіпружна сила і сила опору, тому основне рівняння динаміки має такий вигляд:

. (1)

Масу m, коефіцієнт пружності k і коефіцієнт опору г називають параметрами коливальної системи. Поділивши рівняння (1) на масу m і ввівши заміну

і ,

дістанемо однорідне диференціальне рівняння другого порядку:

. (2)

Слід відзначити, що частота w₀ являє собою частоту власних коливань без тертя, її називають власною частотою осцилятора. Коефіцієнт b – коефіцієнт затухання. За умовою b < w₀ рівняння (2) описує затухаючи коливання. Його розв’язок має вигляд:

,

де А₀ – амплітуда коливань у момент початку спостережень, а – рівняння залежності амплітуди коливань від часу. – частота затухаючих коливань, яка визначається за формулою:

.

З останнього виразу визначаємо умовний період затухаючого коливання:

.

Період називається умовним тому, що затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними – внаслідок зменшення амплітуди коливання повторюються не абсолютно точно. Період коливання тіла у в'язкому середовищі більший, ніж період його власного коливання. Коли опір середовища значний, коливання не виникає, зміщене тіло повільно без коливання повертається в положення рівноваги. Графік затухаючих коливань зображено на рисунку.

Характеристики затухання:

- час релаксації – це час, за який амплітуда коливань зменшиться в e разів. Оскільки

і ,

то

;

- логарифмічний декремент затухання – логарифм відношення двох послідовних амплітуд:

.

Якщо замість b підставити його значення, то дістанемо:

;

- добротність коливальної системи визначається за формулою . Визначає якість коливальної системи.

Щоб коливання не затухали, до системи треба підводити енергію ззовні. Енергію можна поповнювати додатковими зовнішніми поштовхами в такт коливанням. Практично використовуються такі пристрої, за допомогою яких сама коливальна система в потрібний момент зумовлює зовнішній поштовх. Таку систему називають автоколивальною, а її коливання – автоколиваннями. Прикладом автоколивальної системи є годинник.

Незатухаючі коливання, що виникають під дією зовнішньої періодично змінної сили, називають вимушеними. Нехай зовнішня сила змінюється за гармонічним законом:

.

Складемо рівняння динаміки вимушених коливань. При цьому врахуємо, що крім змушувальної сили на систему діють також квазіпружна сила і сила опору середовища, яка пропорційна швидкості руху. Основне рівняння динаміки буде мати такий вигляд:

(3)

Поділивши це рівняння на масу і ввівши позначення:

, , ,

дістанемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку:

(4)

Досвід показує, що через деякий час у системі встановляться гармонічні коливання з частотою змушувальної сили, які відстають по фазі від останньої на j:

(5)

Задача полягає в знаходженні А і j. Для цього продиференціюємо рівняння (5) два рази:

(6)

(7)

Підставивши рівняння (5), (6) і (7) у (4), одержуємо:

(8)

Записавши рівняння (8) для моментів часу, коли і , отримуємо систему з двох рівнянь, розв’язуючи які одержуємо:

(9)

(10)

Отже, вирази (5), (9) і.(10) цілком визначають зміщення вимушених коливань. З отриманих рівнянь свідчить:

- вимушені коливання є гармонічні коливання, частота яких дорівнює частоті змушувальної сили;

- амплітуда вимушених коливань залежить не тільки від амплітудного значення змушувальної сили, а й від її частоти коливання. При певній частоті змушувальної сили w_рез амплітуда вимушених коливань різко зростає, досягаючи максимального значення. Це явище називається резонансом. Резонансну частоту можна визначити з умови максимуму амплітуди або мінімуму підкореневого виразу в знаменнику рівняння (10):

.

Підставивши це значення частоти в (0), знайдемо резонансне значення амплітуди:

.

З отриманих виразів свідчить, що коли опір середовища малий , резонансна частота збігається з частотою власних коливань:

.

У цьому випадку амплітуда вимушених коливань стає дуже великою. Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти і коефіцієнта затухання зображено на рисунку. Із зростанням коефіцієнта затухання b максимум резонансної кривої швидко опускається і крива згладжується. Явище резонансу стає малопомітним.