Основні способи перетворення рядів динаміки

Будуючи та вивчаючи ряди динаміки, важливо виявити закономірність змін досліджуваних явищ або процесів, тенденцій їх розвитку. Часто ряд динаміки досить виразно показує певну закономірність зміни явищ або тенденцію зміни.

Наприклад, у першому десятиріччі незалежності в Україні чітко проявлялися тенденції до зменшення обсягів виробництва промислової та сільськогосподарської продукції, чисельності населення, підвищення цін і собівартості продукції, злочинності тощо.

Тенденції (тренди) бувають позитивні (зростання добробуту населення, заробітної плати, споживання продовольчих і непродовольчих товарів) і негативні (зменшення народжуваності, зростання злочинності, захворюваності та смертності населення, підвищення травматизму, зниження продуктивності праці, рентабельності виробництва тощо).

Знання тенденцій, їх виявлення дає змогу оперативніше, швидше вживати заходів до посилення дії позитивних і послаблення або й припинення дії негативних тенденцій розвитку.

Деколи важко виявити закономірність, тенденції розвитку через випадкові коливання рівнів ряду; без додаткових обчислень їх не видно. Тому ряд динаміки піддають певній попередній обробці, перетворенню.

У статистиці є багато способів обробки динамічних рядів, зокрема:

• укрупнення інтервалів;

• спосіб змінних (рухомих або плинних) середніх;

• зведення рядів динаміки до однієї основи;

• змикання рядів динаміки;

• динамічні ряди нагромаджених підсумків;

• вимірювання сезонних коливань;

• інтерполяція й екстраполяція;

• аналітичне вирівнювання.

Найпростіші методи статистичного виявлення тенденцій — укрупнення інтервалів і рухомих (плинних) середніх.

Укрупнення інтервалів. Цей метод полягає в тому, що замість щоденних рівнів можна обчислювати щотижневі, щодекадні, щомісячні, щоквартальні, замість щорічних — 3-5-річні середні.

Раніше побудований ряд динаміки замінюють іншим, укрупненим.

У нижченаведеному ряді динаміки не помітно ніяких тенденцій.

Помісячний обсяг товарообороту магазину, млн. грн.

Січень.................. 37 Липень 41

Лютий................. 37 Серпень 46

Березень............. 42 Вересень 49

Квітень................ 38 Жовтень 46

Травень............... 42 Листопад 47

Червень............... 48 Грудень 50

Перетворимо ряд динаміки, укрупнивши інтервали. Знайдемо поквартальний обсяг товарообороту (табл. 11).

Таблиця 11

Робоча таблиця для вирівнювання ряду динаміки способом укрупнення інтервалів

Квартал	Техніка розрахунків	Обсяг товарообороту, млн грн.	Середньомісячний товарооборот, млн. грн.
І	37 +37 + 42		116/3 ≈ 39
II	38 + 42 + 48		128/3≈43
III	41 +46 + 49		136/3 ≈ 45
IV	46 + 47 + 50		143/3 ≈ 48

 

З укрупненого ряду видно, що є тенденція до зростання товарообороту, а це дає змогу укласти довгострокові угоди на оренду додаткових приміщень, залучення робочої сили, транспорту тощо.

Спосіб змінних (рухомих, плинних) середніх. Той самий ряд можна вирівняти за допомогою рухомої середньої. Фактичні показники ряду динаміки замінюють розрахунковими, обчисленими як середня арифметична з двох, трьох, п'яти рівнів ряду. Середні визначають способом ковзання, тобто поступовим виключенням із нагромадженої суми першого рівня та включенням наступного.

Наприклад, нехай Y₁, Y₂, … Y_n — показники первинного ряду динаміки за кілька місяців (років). Для визначення першого члена вирівняного ряду динаміки за допомогою тричленної рухомої (плинної) середньої додають перші три члени й ділять одержану суму на 3. Застосовуючи п'ятичленну рухому середню, беруть суму перших п'яти членів і ділять її на 5. Найчастіше використовують тричленну рухому середню:

Одержану середню записують у таблицю проти другого місяця (року). Наступні рівні визначають за формулами

 

і т.д.

Техніку вирівнювання за допомогою тричленної рухомої середньої проілюстровано в табл. 12.

Таблиця 12

Техніка вирівнювання ряду динаміки за допомогою тричленної рухомої середньої

Місяць	Товарооборот, млн грн.	Тримісячний рухомий підсумок	Рухома середня
А	Б	В	Г = В/3
Січень		—	—
Лютий		116 = 37 + 37 + 42
Березень		117 = 37+42 + 38
Квітень		122 = 42 + 38+42
Травень		128 = 38+42 + 48
Червень		131=42 + 48+41
Липень		135 = 48 + 41+46
Серпень		136= 41+46 + 49
Вересень		141= 46 + 49 + 46
Жовтень		142 =49 + 46 + 47
Листопад		143 =46 + 47 + 50
Грудень		—	—

 

Із вирівняного ряду видно, що є тенденція до зростання товарообороту. Дію випадкових причин виключено.

Зведення рядів динаміки до однієї основи. Якщо потрібно порівняти розвиток різних, але споріднених явищ за кілька років і виявити, чи є між ними зв'язок, абсолютні показники ряду перетворюють у відносні, узявши за основу дані якогось певного року. Зазвичай так обчислюють базисні темпи зростання чи приросту (табл. 13).

Із вирівняного ряду видно, що злочинність в Україні зростає значно швидше, ніж покарання за злочини, і цей розрив небезпечно великий.

Як базову для порівняння слід брати не довільний рік, а той, що має певне економічне чи історичне значення в розвитку.

Іноді в процесі аналізу рядів динаміки обчислюють так званий коефіцієнт випередження — відношення більшого середньорічного темпу зростання до меншого. Він показує, у скільки разів швидше зростає рівень одного ряду динаміки порівняно з іншим.

Таблиця 13

Техніка вирівнювання рядів динаміки методом їх зведення до однієї основи

 

 

 

Рік	Кількість зареєстрованих, тис.	Процент покарання	У процентах до 1985 року	Коефіцієнт випередження
злочинів	засуджених	злочини	засудження
А	Б	В	Г = (В/Б)·100	Д	Е	Ж = Д/Е
	249,6	173,9				1,00
	369,8	104,2				2,47
	641,9	212,9				2,11
	567,8	230,9				1,71
	514,6	202,6				1,76
	460,4	194,2				1,64
	566,4	201,1				1,96
	527,8	204,8				1,79

 

Змикання рядів динаміки. Аналізуючи динаміку явищ за кілька років, іноді доводиться розглядати незіставні дані, що належать різним видам досліджуваних об'єктів. Змикання рядів динаміки застосовують тоді, коли окремі їх рівні непорівнянні у зв'язку з територіальними, відомчими, організаційними змінами.

За даними незімкнених рядів визначають коефіцієнт співвідношення рівнів перехідного періоду (моменту), у якому відбулися зміни. Дані попереднього періоду перемножують на одержаний коефіцієнт, унаслідок чого показники ряду динаміки стають зіставними (змикаються) (табл. 14).

Таблиця 14 Техніка змикання рядів динаміки

 

Прибуток, тис. грн.	Місяць
До укрупнення
Після укрупнення
Спосіб змикання	Зімкнений ряд
Перший
Другий (у % до квітня)	77,8	84,4	88,9		111,1	120,4	127,8	129,6

Перший спосіб. Щоб зімкнути ряд динаміки, визначимо, у скільки разів прибуток району у квітні (дата укрупнення) збільшився внаслідок укрупнення. Поділимо прибуток після укрупнення (540 тис. гри) на прибуток до укрупнення (450 тис. грн.) й обчислимо перевідний коефіцієнт: 540/450 =1,2. Тепер збільшимо прибуток січня, лютого та березня на цей коефіцієнт і визначимо гаданий прибуток у нових межах: для січня — 350 • 1,2 = 420 тис. грн.;
лютого — 380 • 1,2 = 456 тис. грн.; березня — 400 • 1,2 = 480 тис. грн. Ряд зімкнено, і можна обчислювати будь-який із показників для його аналізу.

Другий спосіб. Для кожного змиканого ряду динаміки його показники в момент укрупнення беруть за 100%, а інші переобчислюють у процентах щодо відповідних рівнів до та після укрупнення (табл. 14).

Якщо прибуток квітня до укрупнення (450 тис. грн) узяти за 100 %, то в березні він становить (400/450) • 100 = 88,9 %; у лютому — (380/450) 100 = 84,4 % і в січні — (350/450) • 100 = 77,8 %. Такий самий розрахунок роблять і для місяців після укрупнення. Якщо взяти прибуток у квітні (540 тис. грн) за 100 %, то в травні він становить (600/540) · 100 = 111,1 %; у червні — (650/540) • 100 = 120,4 % і т. д.

Динамічні ряди нагромаджених підсумків. їх будують як результат послідовного підсумовування статистичних показників ряду динаміки на кожну наступну дату, наприклад підсумування даних про розмір прибутку за місяцями року (табл. 15).

Таблиця 15

Техніка побудови ряду динаміки нагромаджених підсумків

 

Прибуток фірми, тис. грн.

Місяць

За місяцями

Нагромаджений з початку року

 

Нагромаджений підсумок називають також кумулятивною сумою (частотою). Його використовують для контролю виконання плану чи зобов'язань або погашення заборгованості за місяцями року.

Вимірювання сезонних коливань. Сезонні коливання бувають у багатьох сферах економіки (сільському господарстві, будівництві, транспорті, фінансах, торгівлі та ін.). Вони негативно позначаються на використанні робочої сили й обладнання, витратах виробництва й обігу, тому потрібно досліджувати сезонність і регулювати її.Найпоширеніший спосіб вимірювання сезонності — обчислення індексу сезонності методом простих середніх.

Спочатку визначають середній рівень ряду динаміки, а потім порівнюють кожний рівень з обчисленим середнім, тобто знаходять індекс сезонності І_с:

де Y_п — рівень поточного періоду; Y — середній рівень.

Типова задача. На основі нижченаведеного ряду динаміки обчислити індекси сезонності, які утворюють сезонну хвилю (табл. 16).

Таблиця 16

Динаміка товарообороту овочевого магазину

 

 

Показник

Місяць

Усього

Товарооборот, тис. грн.

Індекс сезонності, %

—

 

Обчислимо середньомісячний товарооборот Y=696/12=58 тис. грн.. та індекси сезонності: за січень — (44/58)100 = 76%; лютий — (45/58)-100 = 78% і т. д.

Сезонну хвилю можна подати у вигляді графіка (рис. 2).

Рис. 2. Сезонна хвиля

Оскільки помісячні дані одного року часто випадкові, частіше користуються даними за кілька років (зазвичай за три). Тоді обчислюють помісячну середню за три роки, а з них — загальну середню. Індекс сезонності визначають як відношення помісячної середньої до загальної (табл. 17).

Таблиця 17

Динаміка товарообороту овочевого магазину

 

 

Місяць	Товарооборот, тис. грн.	Індекс сезонності, %
2001 р.	2002 р.	2003 р.	за 3 роки	середній
А	Б	В	Г	Д=Б+В+Г	Е=Д/3	Ж = Е/К
Січень
Лютий
Березень
Квітень
Травень
Червень
Липень
Серпень
Вересень
Жовтень
Листопад
Грудень
Усього						—

 

Обчислимо помісячні статистичні середні: для січня — (44+44+41)/3 = 43, лютого — (45+ 43+ 43)/3 = 44 і т. д. Потім визначимо середньомісячну середню за три роки:

Нарешті, обчислимо індекси сезонності як відношення помісячних середніх до середньомісячної за три роки: для січня — (43/57)·100=75%; лютого— (44/57)·100 = 77% і т. д.

Обчислені індекси сезонності характеризують сезонну хвилю реалізації овочевої продукції та розмах її коливання за місяцями року.

Є й інші способи вимірювання сезонності: метод помісячних відношень, гармонічний аналіз тощо.

Інтерполяція й екстраполяція. Інтерполяція — це визначення невідомого рівня всередині ряду динаміки. Це можна зробити за допомогою таких показників:

• середньої арифметичної суміжних із невідомим рівнів;

• середніх абсолютних приростів із суміжних рівнів;

• середніх темпів зростання із суміжних рівнів.

Типова задача 1. Зростання заробітної плати характеризується такими даними:

Показник	Січень	Лютий	Березень	Квітень	Травень
Заробітна плата, грн.

 

Потрібно віднайти заробітну плату за березень.

1. Використаємо середню арифметичну рівнів, суміжних із невідомим:

Отже, у березні заробітна плата становила 335 грн.

2. Визначимо середній абсолютний приріст із суміжних:

Тоді заробітна плата в березні дорівнює сумі заробітної плати в лютому та середнього приросту (330 + 5 = 335 грн), або різниці заробітної плати у квітні та приросту (340 - 5 = 335 грн).

3. Обчислимо середній темп зростання із суміжних:

Щоб визначити березневу заробітну плату, потрібно заробітну плату лютого помножити на знайдений коефіцієнт (330 • 1,015 ≈ 335 грн) або поділити на нього заробітну плату квітня (340/1,015 ≈ 335 грн).

Екстраполяція — це визначення невідомого рівня за межами ряду динаміки. Розрізняють перспективну та ретроспективну екстраполяцію.

Перспективна екстраполяція — це визначення невідомих рівнів ряду динаміки в майбутньому періоді на основі виявленої закономірності зміни досліджуваного явища у відомому періоді. Цей метод широко застосовується у плануванні та прогнозуванні розвитку економічних явищ і процесів.

Ретроспективна екстраполяція — це визначення невідомих рівнів ряду динаміки в минулому. Це можна зробити за допомогою таких показників:

• середнього абсолютного приросту

• середніх темпів зростання

Типова задача 2. За нижченаведеними даними визначити перспективну чисельність населення у 2000, 2001 та 2005 р.

Таблиця 18

Робоча таблиця для екстраполяції чисельності населення України

 

 

 

 

Рік	Чисельність населення, млн чол.	Спосіб екстраполяції
Середній абсолютний приріст	Середній темп зростання
	51,7	51,700	51,700
	51,3	51,325=51,700-0,375·1	51,323 = 51,7·0,9927
	50,9	50,950= 51,700-0,375·2	50,948 = 51,7·0,9927^2
	50,5	50,575 = 51,700-0,375·3	50,576 = 51,7·0,9927^3
	50,2	50,200 = 51,700-0,375·4	50,207 = 51,7·0,9927^4
	…	49,825 = 51,700-0,375·5	49,840 = 51,7·0,9927^5
	…	49,450 = 51,700-0,375·6	49,476 = 51,7·0,9927^6
	…	47,950 = 51,700-0,375·10	48,047 = 51,7·0,9927^10

 

Обчислимо середній абсолютний приріст за формулою

де Y_n — чисельність населення у звітному періоді (1999 р.); Y₀ — чисельність населення в базовому періоді (1995 р.); т — кількість календарних дат (1995-1999 рр.), або рівнів ряду динаміки.

Тоді Y₁₉₉₆=51,700 + (-0,375)·1 = 51,325 млн чол., Y₁₉₉₇ =51,700 +(-0,375)·2=50,950 млн чол., Y₂₀₀₀ =51,700+(-0,375)·5 = 49,825 млн чол., Y₂₀₀₁ =51,700 + (-0,375)·6 = 49,450млнчол., Y₂₀₀₅=51,700 + (-0,375) ·10= =47,950 млн. чол.

Фактична ж чисельність населення за даними Держкомстату України становила в 2000 р. 49,7 млн чол., а у 2001 р. — 49,3 млн чол., в 2005 — 47,6 млн чол. Похибка становить менше одного проценту.

Тепер розв'яжемо задачу другим способом. Спочатку обчислимо середній темп динаміки за формулою

де Y_n, Y₀ — чисельність населення відповідно у звітному та базисному періодах; т — кількість календарних років у періоді або рівнів ряду динаміки.

Тут т = 5, тому

Тоді , Y₂₀₀₀ =51,700·0,9927⁵=49,840 млн. чол., Y₂₀₀₁ =51,700·0,9927⁶ = 49,476 млн. чол., Y₂₀₀₅ =51,700·0,9927¹⁰=48,047млн. чол.

Щоб успішно застосовувати методи екстраполяції й інтерполяції, потрібно досконало знати закони розвитку досліджуваних явищ і процесів. Без цього прогнози та плани, складені за принципом "від досягненого", будуть нереальними.

Аналітичне вирівнювання. Цей метод полягає у визначенні розрахункових (теоретичних, вирівняних) значень рівнів ряду динаміки та заміні ними фактичних, щоб виявити закономірності розвитку явища (процесу). Його застосовують зазвичай тоді, коли безпосередньо з показників ряду динаміки не вдається виявити чіткої закономірності, тенденції розвитку.

У більшості розрахунків застосовують переважно метод найменших квадратів. Він полягає в тому, що потрібно знайти таку пряму на графіку, ординати точок якої найближчі до значень фактичного динамічного ряду. Рівняння прямої можна записати у вигляді

де — вирівняне значення членів динамічного ряду; а — вирівняна середня в нульовому році (за умови, що Σ t = 0); b — середній щорічний приріст (або зменшення); t — відрізок або момент часу (порядковий номер року).

Потрібно розв'язати це рівняння щодо a й b. Для цього складають і розв'язують так звані нормальні рівняння, одержані способом найменших квадратів:

 

де п — кількість років у аналізованому періоді.

Цю систему рівнянь можна спростити, якщо починати відлік часу із середини ряду, умовно взятого за нуль. Тому в кожному конкретному випадку Σt = 0. Тоді система рівнянь набере вигляду

 

звідки

Продемонструємо методику розрахунку на такому прикладі (табл. 19).

Таблиця 19

Робоча таблиця для аналітичного вирівнювання ряду динаміки вздовж прямої (на прикладі врожайності картоплі в Україні)

Номер року, п	Рік	Врожайність Y, ц/га	Час, t	r^2	tY	а	b	t	bt		Округлене значення
			-3		-288		0,64	-3	-1,92	103,08
			-2		-238		0,64	-2	-1,28	103,72
			-1		-106		0,64	-1	-0,64	104,36
							0,64		0,00	105,00
							0,64		0,64	105,64
							0,64		1,28	106,28
							0,64		1,92	106,92
Усього	Σ Y =735	Σ t =0	Σ t^2 = 28	Σ tY =18	—	—	—	—	—	—

 

 

Підставивши значення а й b у формулу

,

обчислимо теоретичне значення для кожного року. Отримаємо вирівняний ряд, без випадкових коливань із незначним збільшенням. Згідно з ним урожайність картоплі в Україні з 1995 до 2001 р. має тенденцію до незначного зростання, хоча з офіційних даних для цього періоду такої тенденції не видно.

Є й інші способи вирівнювання, які вивчають економетрія, теорія ймовірностей і математична статистика.

Застосування в статистиці методів збільшення інтервалів і плинної середньої дає змогу виділити тренд, але одержати узагальнювальну його оцінку за допомогою цих методів неможливо. Для цього в статистиці застосовують метод аналітичного вирівнювання, за допомогою якого не тільки виявляють тенденцію розвитку явищ і процесів, але й кількісно вимірюють їх. Тенденцію ряду описують функцією від часу f(t), лінійною чи криволінійною.

Вирівнювання зводиться до вибору функції, ординати точок якої максимально наближені до емпіричних значень динамічного ряду.

Найпоширеніші такі функції:

• пряма Y_t = а+bt;

• гіпербола Y_t=а+b/t;

• показникова Y_t = ab^t

• парабола другого порядку Y_t=a+b₁t+b₂t²;

• парабола третього порядкуY_t=a+b₁t+b₂t²+b₃t³;

• рядФур'є

Вибір функції аналітичного вирівнювання рядів динаміки грунтується на теоретичному аналізі сутності досліджуваних явищ і процесів у сфері соціальної чи економічної діяльності.

У разі більш-менш постійних абсолютних приростів, коли рівні динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії, вирівнювання виконують за допомогою прямої

Y_t=a+bt

де Y — вирівняне значення динамічного ряду; а, b — параметри прямої (початковий і щорічний прирости); t — порядковий номер періоду (умовне позначення часу).

Параметри а, b визначають за допомогою методу найменших квадратів, розв'язуючи систему нормальних рівнянь

 

де Y — фактичний рівень ряду динаміки; п — кількість членів ряду динаміки.

Для зручності розрахунків відлік часу доцільно робити із середини ряду так, щоб сума часу дорівнювала нулю: Σt = 0. Якщо кількість рівнів непарна, серединний момент позначають нулем, попередні періоди — від'ємними числами, наступні — додатними:

Рік
T	-2	-1

Якщо кількість рівнів динамічного ряду парна, то два серединні моменти часу позначають числами -1 і 1, а інші— через два інтервали: попередні — від'ємними, наступні — додатними числами:

Рік
T	-5	-3	-1

 

Якщо Σ t = 0, система рівнянь для обчислення значень а й b має такий вигляд:

 

Розв'язавши її, одержимо:

Ще раз розглянемо методику вирівнювання динаміки доходу банку за рівнянням прямої на умовному прикладі (табл. 20). Для розрахункових даних таблиці обчислимо параметри а й b:

 

Таблиця 20

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки доходу банку рівнянням прямої

Рік	Дохід банку У, млн грн.	Час, t	t^2	Ytі	Yt=a+bt
		-7		-1869	228,02
		-6		-1626	241,56
		-5		-1450	255,10
		-4		-1072	268,64
		-3		-903	282,18
		-2		-414	295,72
		-1		-209	309,26
					322,80
					336,34
					349,88
					363,42
					376,96
					390,50
					404,04
					417,58
n = 15	Σ Y = 4842	Σ t =0	Σ t^2 =280	Σ Yt = 3791	Σ Yt =4842

 

Тоді рівняння тренду має вигляд

Y_t=322,8+13,54t

Із нього випливає, що в середньому дохід банку зростав щороку приблизно на 14 млн грн.

Послідовно підставляючи в це рівняння значення t, отримаємо вирівняний ряд динаміки доходу банку, абстрагований від випадкових коливань, який зростає (остання графа табл. 20).

Можна перевірити правильність розрахунку, порівнявши ΣY та ΣY_t,. Для даних із табл.20 Σ Y = 4842 = Σ Y_t, тобто рівні вирівняного ряду обчислено правильно.

Вирівнювання гіперболою. Його виконують тоді, коли з плином часу динаміка діяльності спадає чи зростає до певної межі.

Способом найменших квадратів обчислимо значення параметрів а та А для рівняння гіперболи

Для цього скористаємося системою нормальних рівнянь

 

Оскільки в разі згладжування гіперболою значення t неможливо вибрати симетрично щодо 0, то умова Σ t = 0 не виконується. У зв'язку з цим система нормальних рівнянь не спрощується.

Виконаємо вирівнювання вздовж гіперболи на умовному прикладі, який відбиває динаміку обсягу витрат обігу супермаркету (табл. 21).

Таблиця 21

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки витрат обігу рівнянням гіперболи

 

 

Вихідні дані	Розрахункові дані
Рік	Витрати, млн грн.	t
Y
			1,00	1,00		83,23
			0,50	0,25	ЗО	54,17
			0,33	0,11		44,29
			0,25	0,06		39,63
			0,20	0,04		36,73
			0,17	0,03		34,95
п=6		—	2,45	1,49		293,0

 

Визначимо параметри а та b, підставивши в систему рівняння параметри, обчислені в табл. 21:

293=6a+2,45b

148=2,45a+1,49b

Розв'язавши систему, отримаємо а ≈ 25,10; b = 58,13. Тоді рівняння гіперболи має вигляд .

В останній графі табл. 21 наведено теоретичні значення Y_t

Вирівнювання параболою другого порядку. У разі вирівнюванні параболою другого порядку Y_t = a+b₁t+b₂t² параметри а, b₁, b₂ також визначимо методом найменших квадратів. Для цього розв'яжемо систему нормальних рівнянь

 

Якщо Σ t =0, то Σ t ³ =0. Тоді система рівнянь має вигляд

 

Вона має такий розв'язок:

Розглянемо на прикладі вирівнювання динамічного ряду кількості клієнтів банку рівнянням параболи другого порядку. Для цього побудуємо розрахункову табл. 22.

Таблиця 22

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки кількості клієнтів банку рівнянням параболи другого порядку

Рік	Кількість клієнтів банку Y	t	t^2	t^4	Yt	Yt^2	Вирівняний рівень Yt=119,471+ +4,112t – 0,587t^2
		-9 -7 -5 -3 -1			-216 -504 -460 -306 -114		34,916 61,924 84,236 101,852 114,772 122,996 126,524 125,356 119,492 108,932
n=1	ΣY= 1001	Σt = 0	Σt^2 = 330	Σt^4=19338	ΣYt=1357	ΣYt^2=28073	1001,000

 

Для розрахункових даних таблиці обчислимо параметр b₁

Параметри а та b₂ визначимо, розв'язавши систему рівнянь

 

Підставивши в рівняння цієї системи дані таблиці, одержимо

100,1= a +33 b₂

85,07= a +58,6 b₂

Віднявши від другого рівняння перше, одержимо -15,03 = 25,6 b₂,, звідки .

Із першого рівняння системи маємо a = 100,1-33 b ₂ =100,1-33-(-0,587) ≈ ≈119,471.

Отже, рівняння параболи другого порядку має вигляд

Y_t=119,471 + 4,112 t -0,587 t ².

Підставивши в нього рівняння значення t й t², одержимо вирівняні рівні (остання графа табл. 22):

y_t1994 =119,471 + 4,112(-9)-0,587·81 = 34,916,

y_t1995=119,471 + 4,112(-7)-0,587·49 = 61,924,

у_t1996 = 119,471 + 4,112(-5)-0,587·25=84,236 і т. д.

Оскільки вирівняні рівні динамічного ряду збігаються з даними емпіричного, парабола другого порядку точно відображає тренд на даному відрізку часу.

Параметри параболи другого порядку можна інтерпретувати так:

а — величина, що виражає середні умови утворення рівнів ряду;

b₁ — швидкість розвитку рівнів динамічного ряду;

b₂ — характеристика прискорення (сповільнення) цього розвитку.

Вирівнювання параболою третього порядку. У ході дослідження аналітичне вирівнювання виконують за допомогою багаточленів вищих степенів, до яких належить, наприклад, парабола третього порядку

Y_t =а+b₁t +b₂t²+b₃t³

Чим більший порядок параболи, тим вона точніше відтворює фактичні дані.

Вирівнювання показниковою функцією. Таке вирівнювання явищ економічної діяльності виконують тоді, коли показники динамічного ряду розвиваються в геометричній прогресії. У цьому разі ланцюгові темпи зростання більш-менш постійні.

Рівняння показникової функції має вигляд Y_t=ab^t.

Параметри а та b визначають методом найменших квадратів. Щоб звести цю функцію до лінійного вигляду, потрібно попередньо прологарифмувати останнє рівняння:

lg Y_t =lg a + t lg b

Тоді система нормальних рівнянь набуває такого вигляду:

 

Якщо Σ t = 0, то останню систему можна записати так:

Звідси

Розглянемо вирівнювання за показниковою функцією на умовному прикладі динаміки середнього залишку товарів супермаркету (табл. 23).

Для розрахункових даних таблиці визначимо , звідки a ≈168,4612; , звідки b≈1,0402. Тоді lg y_t =2,2265 + 0,0171t, або у_t =168,4612·1,0402^t (остання графа табл. 23).

Параметр b в показниковій функції характеризує середній темп зростання середнього залишку товарів. У нашому прикладі, де b =1,0402, це означає, що обсяг середнього залишку супермаркету щорічно збільшується в 1,04 раза, або на 4 %.

Вирівнювання рядом Фур'є. Аналізуючи середньорічну динаміку явищ і процесів, використовують гармоніки ряду Фур'є, які можна описати рівнянням

де k: — номер гармоніки (ступінь її точності, зазвичай від 1 до 4); t — час у градусах або радіанній мірі.

Таблиця 23

Схема ана