Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в вакууме

Циркуляцией вектора (по аналогии с циркуляцией вектора напряженности электрического поля) по замкнутому контуру называют интеграл

где

- вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; - составляющая вектора в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода); - угол между векторами и .

Теорема о циркуляции вектора в вакууме гласит: циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

n– число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рисунке

Пример: применяя теорему о циркуляции, рассчитаем магнитное поле прямого тока J, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам.

Замкнутый контур выбираем в виде окружности радиуса r.

В каждой точке этого контура вектор одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции).

Следовательно, циркуляция вектора равна

Согласно теореме о циркуляции

Откуда магнитная индукция

Сравнивая выражения и

Видим, что между ними существует принципиальное отличие. Циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю, т.е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля нулю не равна. Такое поле называется вихревым.

Поток вектора магнитной индукции

Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции

По аналогии с потоком вектора вводят поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь площадку dS

- скалярная величина, где - проекция вектора на направление нормали к площадке dS.

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору , тогда

Единица магнитного потока - вебер (Вб); 1Вб = 1Тл*м².

Магнитный поток характеризует магнитное поле, пронизывающее поверхность.

Теорема Гаусса для поля : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

Контур с током (неподвижный проводник и скользящая по нему перемычка длиной l) помещен во внешнее однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура.

На перемычку (проводник с током) в магнитном поле действует сила Ампера, и перемычка будет перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение по закону Ампера, равна

Работа, совершаемая магнитным полем, из положения 1 в положение 2, равна

Где - площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; - поток вектора магнитной индукции, пронизывающей эту площадь.

т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

Работа по перемещению в магнитном поле замкнутого контура с постоянным током из начального положения 1 в конечное положение 2

где - изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

Аналогом вектора электрического смещения D является вектор напряженности Н магнитного поля.

В случае вакуума , поэтому

Единица напряженности магнитного поля – 1 А/м – напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна Тл.

,

где - безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества.

,

где - магнитная проницаемость вещества.

Тогда .