Классическая электронная теория металлов (КЭТ)

Классическая электронная теория металлов (КЭТ)

Природа носителей тока в металлах

Носители тока в металлах – свободные электроны (электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки). Это представление основывается на электронной теории проводимости металлов, а также на ряде опытов, подтверждающих ее положения.

Опыт Рикке

Электрический ток пропускался в течение года через три последовательно соединенных с тщательно отшлифованными торцами цилиндра (медь, алюминий, медь) одинакового радиуса. В результате, никаких, даже микроскопических следов переноса вещества не обнаружилось: следовательно, ионы в металлах не участвуют в переносе электричества, а перенос заряда в металлах осуществляется частицами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами могли быть открытые Д. Томсоном (1897 г) электроны.

Опыты Стюарта и Толмена

(идея Мандельштама и Папалекси)

Катушка с большим числом витков, замкнутая на чувствительный гальванометр, приводилась в быстрое вращение вокруг своей оси, а затем резко тормозилась.

Если в металле имеются подвижные, слабо связанные с решеткой носители тока, то при резком торможении проводника эти частицы должны по инерции смещаться вперед, как смещаются вперед пассажиры, стоящие в вагоне при его торможении. Результатом смещения зарядов должен быть импульс тока, что и наблюдалось: по направлению тока можно определить знак носителей тока, а зная размеры и сопротивление проводника, можно вычислить удельный заряд носителей. Оказалось, что значения удельного заряда и массы носителей тока и электронов, движущихся в вакууме, совпали. Таким образом, было окончательно доказано, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.

В узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами идеального газа.

По теории Друде-Лоренца электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного газа. Средняя скорость теплового движения электронов определяется по формуле

м/с(при Т=300К).

Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока. При наложении внешнего электрического поля на металлический проводник кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное движение, т.е. возникает электрический ток. Среднюю скорость упорядоченного движения электронов можно оценить по формуле

ϳ = ne

при плотности тока ϳ =10⁷ А/м²(допустимая для медных проводников) n = 8∙ 10²⁸ м^-3, = 7,8 ∙10^-4 м/с. Значит, << т.е. даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов, обуславливающего электрический ток, значительно меньше скорости их теплового движения. Поэтому при вычислениях результирующую скорость ( + ) можно заменять скоростью теплового движения .

Электромагнетизм

Магнитное поле и его характеристики

Обнаружение магнитного поля

Магнитное поле – силовое поле в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты.

Магнитное поле обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты.

Характерная особенность магнитного поля – магнитное поле создается только движущимися зарядами и действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды.

Электрическое поле создается и действует как на неподвижные, так и подвижные заряды.

Характер воздействия магнитного поля на ток зависит от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока.

Чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмотреть его действие на определенный ток. Для исследования магнитного поля используется контур, линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве характеризуется направлением нормали к контуру. Направление нормали определяется правилом правого винта: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего в рамке.

За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к свободно подвешенной рамке с током, или направление, совпадающее с направлением силы, действующей на северный полюс магнитной стрелки, помещенный в данную точку. Следовательно, на магнитную стрелку действует пара сил, поворачивающая её так, чтобы ось стрелки, соединяющая южный полюс с северным, совпадала с направлением поля.

Наблюдение магнитных полей

Линии магнитной индукции можно «проявить» с помощью железных опилок, намагничивающихся в исследуемом поле и ведущих себя подобно маленьким магнитным стрелкам.

 

Магнитное поле Земли

Магнитное поле Земли подобно полю магнита (рис. а). Под действием этого поля заряженные частицы в радиационных поясах движутся по спирали (рис. б).

Поскольку северный полюс магнитной стрелки указывает на север, соответствующий магнитный полюс Земли оказывается южным магнитным полюсом (так как северный полюс одного магнита притягивается к южному полюсу другого). Магнитные полюса Земли не совпадают с положением географических полюсов, находящихся на оси вращения Земли.

Поле макро- и микротоков

Гипотеза Ампера

В любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные токи создают свое магнитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях макротоков. Например, если вблизи какого-то тела поместить проводник с током (макроток), то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле дополнительное магнитное поле.

Вектор магнитной индукции - характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро - и микротоками, т.е. при одном и том же токе и прочих равных условиях вектор в различных средах будет иметь разные значения.

Вектор напряженности - описывает магнитное поле макротоков.

Связь и

Эта формула справедлива для однородной изотропной среды.

= 4π∙10^-7 Н/м²=4π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная; - безразмерная величина – магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды.

Принцип суперпозиции

Магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности.

Пример применения принципа суперпозиции. На рисунке в точке А определена индукция магнитного поля, создаваемого двумя проводниками с токами J₁ (направлен перпендикулярно чертежу от нас) и J₂ (направлен перпендикулярно чертежу к нам)

 

(их направления указаны на рисунке).

Магнитное поле прямого тока

Ток течет по тонкому прямому проводнику бесконечной длины. На расстоянии R находится точка А, в которой надо показать направление и рассчитать магнитную индукцию.

 

За постоянную интегрирования выбираем угол , который для всех элементов прямого провода изменяется от 0 до .

Получаем

Магнитная индукция

Модуль магнитной индукции

- радиус-вектор, проведенный из заряда Q к точке наблюдения М; - угол между . Записанный закон определяет магнитную индукцию положительного заряда, движущегося со скоростью . Если движется отрицательный заряд, то Q надо заменить на – Q.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы .

Сила Лоренца

Модуль силы Лоренца

Сила Лоренца – сила, с которой магнитное поле действует на движущиеся заряды.

Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор , а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора (для >0 направления I и совпадают, для <0 – противоположны), то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующий на положительный заряд.

Сила Лоренца не совершает работы. Магнитное поле не действует на покоящийся электрический заряд. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды.

Формула Лоренца определяет силу, если на движущийся заряд одновременно действуют магнитное поле с индукцией и электрическое поле с напряженностью .

Эффект Холла

Эффект Холла – возникновение поперечного электрического поля в проводнике (или полупроводнике) с током при помещении его в магнитное поле. Это явление обусловлено действием силы Лоренца на носители тока.

Электромагнитная индукция

Энергия магнитного поля

Замкнутый проводящий контур с током создает в окружающем пространстве магнитное поле, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока.

Если сила тока в замкнутом контуре возрастает, то в нем возникает ЭДС самоиндукции, противодействующая увеличению силы тока. Для увеличения силы тока необходимо, чтобы источник сторонних ЭДС совершил работу против ЭДС самоиндукции (возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока). Если контур не деформируется и среда, заполняющая магнитное поле контура, неферромагнитна, то коэффициент индуктивности и

Ԑ = ,

Знак «минус» обусловлен правилом Ленца, согласно которому наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Индуктивность измеряется в генри (Гн): 1Гн = 1Вб/А.

Итак, при совершении работы против ЭДС самоиндукции происходит превращение энергии источника сторонних ЭДС в энергию магнитного поля в контуре, поэтому .

Интегрируя это выражение, получим формулу, определяющую энергию магнитного поля, создаваемого током силы в контуре индуктивностью :

.

Энергию магнитного поля можно представить, как функцию величин, характеризующих само поле.

В случае соленоида ((изолированный проводник, равномерно намотанный на цилиндрическую поверхность, по которому течет электрический ток, длиной l, имеющий N витков, причем диаметр витков соленоида), т.е. соленоид можно принять бесконечно длинным)).

 

Индуктивность соленоида

Подставляя это значение в формулу для - энергии магнитного поля, получим

,

где - объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью

.

Ток смещения

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

Для установления количественных связей между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел понятие тока смещения.

Током смещения сквозь произвольную поверхность S называют

где - плотность тока смещения, т.е. ток смещения определяется потоком вектора плотности тока смещения сквозь поверхность .

 

Рассмотрим направление векторов и . При зарядке конденсатора (рис. а) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от верхней обкладки к нижней. В данном случае поле в конденсаторе усиливается , вектор направлен в ту же сторону, что и , т.е. направления и совпадают.

В случае разрядки конденсатора (рис. б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от нижней обкладки к верхней. Ток в конденсаторе ослабляется , т.е. вектор направлен противоположно вектору . Однако вектор опять-таки направлен, как и вектор .

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно – способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

Токи смещения при зарядке и разрядке конденсатора показаны на рисунках а, б штриховыми линиями.

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости (а также конвекционных токов) и смещения.

Плотность полного тока

Введя понятие тока смещения и полного тока, Максвелл по-новому подошел к рассмотрению замкнутости цепей переменного тока. Полный ток в них всегда замкнут, т.е. на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости.

Уравнения Максвелла

Открытие Максвеллом тока смещения привело его к созданию единой теории электрических и магнитных явлений.

В основе теории Максвелла лежат четыре уравнения.

1. Электрическое поле может быть потенциальным (его циркуляция определяется по формуле ), так и вихревым (его циркуляция определяется по формуле , где символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл является функцией только времени). Поэтому циркуляция вектора напряженности суммарного электрического поля равна

(1)

 

Это уравнение Максвелла показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Введя понятие тока смещения, Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора , добавив в правую часть уравнения ток смещения сквозь поверхность , натянутую на замкнутый контур :

 

(2)

 

Это выражение – обобщенная теорема о циркуляции вектора : циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и тока смещения, охватываемых этим контуром.

Данное уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля , которая, как предположил Максвелл, справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного,

,

где - алгебраическая сумма заключенных внутри поверхности свободных электрических зарядов.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то эта формула запишется в виде

 

(3)

 

4. Теорема Гаусса для поля :

 

(4)

Уравнения (1) – (4) представляют собой полную систему уравнений Максвелла в интегральной форме:

 

;

 

; (5)

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные не сегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

,

где - соответственно электрическая и магнитная постоянные; - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; - удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но отсутствуют магнитные.

Для стационарных полей ()уравнения Максвелла примут вид:

Т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, а источниками магнитного – только токи проводимости. Электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрические и магнитные поля.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. В учении об электромагнетизме они играют такую же роль, как законы Ньютона в механике.

Электромагнитные колебания

Колебательный контур

Среди различных физических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью , конденсатора емкостью и резистора сопротивлением .

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды (см. табл.1).

В начальный момент времени при между обкладками конденсатора возникает электрическое поле, энергия которого равна .

Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки возрастать.

Так как , согласно закону сохранения энергии, полная энергия

Поскольку она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент времени , когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а, следовательно, и ток) достигает наибольшего значения.

С этого момента () ток в контуре будет убывать, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней будет индуцироваться ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в конце концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума. Далее () те же процессы начнут протекать в обратном направлении, и система к моменту времени придет в первоначальное состояние. После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора.

Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменялись (колебались) бы заряд на обкладках конденсатора, напряжение на конденсаторе и сила тока , текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электромагнитные колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Электромагнитные колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (см. табл. 1), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора () аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки () – кинетической энергии, сила тока в контуре – скорости движения маятника. Индуктивность играет роль массы , а сопротивление контура – роль силы трения, действующей на маятник.

Электрический резонанс.

Резонансные кривые

Из формулы, записанной в виде

(25)

Следует, что при некоторой определенной для данного колебательного контура частоте амплитуда достигает максимального значения.

Для определения резонансной частоты - частоты, при которой амплитуда заряда достигнет максимума, нужно найти максимум функции (25) или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по и приравняв его нулю, получим, что резонансная частота для заряда равна

(26)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешней ЭДС к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательного контура, называют электрическим резонансом. Подставив формулу (26) в выражение (25), получим

(27)

На рис. 3 приведено семейство резонансных кривых – зависимостей от при различных коэффициентах затухания .

Из рисунка и формулы (27) следует, что с уменьшением максимумы кривых лежат выше и правее. При все кривые приходят к так называемому статическому отклонению . Если , то все кривые асимптотически стремятся к нулю.

Резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура:

Амплитуда силы тока максимальна при . Семейство резонансных кривых для силы тока в контуре от частоты внешней ЭДС при различных коэффициентах затухания - представлено на рис.4.

 

Рис. 4

Амплитуда силы тока максимальна при и . Чем больше коэффициент затухания , тем ниже максимум резонансной кривой.

 

ВОЛНЫ

Шкала электромагнитных волн

Классическая электронная теория металлов (КЭТ)