Глава 5. Смертність 1 Тривалість життя

1. Ймовірність смерті і числа доживаючих

Історично першими демографічними таблицями, що показують зміну демографічних характеристик як функції віку, були таблиці смертності (Дж.Граунт, 1662). Такі таблиці ще називають таблицями тривалості життя, або таблицями життя.

Вони потрібні для практичних розрахунків - прогнозу чисельності населення, трудових ресурсів, контингентів дітей шкільного віку.

Центральною у цих таблицях с міра ймовірності смерті. Поняття цієї міри слід відрізняти від рівня смертності як характеристики руху населення, або його групи за деякий період часу. Різницю між ними можна пояснити таким прикладом.

На початку п'ятирічного інтервалу була група осіб чисельністю 100 осіб. Припустимо, що щорічно з них помирало по 4 особи. Отже, на кінець п'ятирічки з групи залишилось в живих 80 осіб, а 20 - померло. Щоб одержати характеристику рівня смертності за п'ятирічку, слід мати на увазі, що в останні роки помирало по 4 особи уже не із 100, а з меншої кількості осіб, тобто рівень смертності був вищий за 4%. Протягом усієї п'ятирічки під спостереженням було в середньому 90 осіб: середня із 100 і 80 (при рівномірному переході від одного до другого). Якщо за рік помирало 4 чоловіки, то рівень смертності становив:

4: 90= 4.44%.

Тепер розглянемо ймовірність смерті. Із 100 взятих під спостереження на початку п'ятирічки, кожна особа могла виявитись серед (або в числі) 20 померлих. Отже, можна говорити про ймовірність смерті О, 2 для всього п'ятирічного періоду. Якщо взяти до уваги, що ця смерть могла відбутись у кожному році із п'яти, то для одного року, тобто ймовірність смерті для кожного з початкової сукупності у певному році, маємо;

0,2: 5 --0,04, або 4%.

Ці 4% є мірою ймовірності, а знайдені раніше 4. 44%- мірою рівня.

Знайдемо приблизно середнє населення для першого року:

0.5•(100+96) =98.

Міра рівня смертності складе:

4: 98 -0,0408, або 40,8%о.

Міра ймовірності смерті залишиться 0,04 або 40%о.

Аналогічно для другого року, в якому помирає 4 особи з 96, маємо міру ймовірності смерті:

4;96-0.04}7,-d6o41.7%o, а міру рівня смертності -

4: 94 = 0.0426, або 42.6%о.

Для міри рівня, одержаної діленням на середнє населення, звичайно застосовується термін "коефіцієнт" на відміну від "ймовірності", одержаної діленням на початкову для даного інтервалу чисельність. Стосовно смертності співпадання між цими показниками виключається в силу того, що смертність веде до зменшення початкової маси населення.

У таблицях смертності все людське життя звичайно розбивається на однорічні інтервали, які позначаються числом років на початок кожного з них: 0, 1, 2,.... Часто перший рік додатково розбивається на більш дрібні частини. Таблиця часто обрубується на віці 100 років, іноді 110 років.

Далі наведені фрагменти демографічних таблиць. Всі показники, крім /„ помножені на 100000 (табл. 3).

Рис. 2. Ймовірність смерті (д^)

Тепер уявимо, що ми маємо для осіб віком х=0, х=1, х=2,... ймовірності смерті

протягом року, тобто при переході від віку х до віку х+І, де х - ціле число. Нехай ці ймовірності утворюють ряд qo, qi, q^,..., або у,- ймовірність померти протягом року.

Таблиця 3. Таблиця смертності і середньої тривалості життя ___

Вік	Число доживаючих до віку х років	Число помираючих у віці х років	Ймовірність померти протягом року	Ймовірність прожити від хдох-*-? років	Число живих у віці х років	Число люди-но-років життя у віці х років і більше	Середня тривалість майбутнього життя у роках
х	Іх	dx	qx* 10в5	px*10	L x	Tx	Ex
						6 859 240	68,59
						6 761 968	70,48
						6 666 578	70,08
						б 571 691	69,34

 

Характерна зміна q, залежно від віку подана у логарифмічному масштабі на рис.2.

Від них легко перейти до ймовірностей протилежних подій:

(5.1) Px=l-q x

які називаються ймовірністю дожити до наступного віку.

Визначимо тепер для особи віком 0 років (новонародженого) ймовірність досягти 2-х років. Для цього слід досягти спочатку 1 року, що має ймовірність ро, а потім перейти від 1 року до 2 років, що має ймовірність рі. За теоремою множення ймовірностей одержимо для досягнення новонародженим 2 років ймовірність;

h^Popi-

Подібно ж для досягнення новонародженим віку 3 років, одержуємо ймовірність:

h-Pf/PiPi- Для досягнення новонародженим віку Х років знайдемо ймовірність:

(5. 2) Із ^рорірі- Р,-і= 1,-і

Рх-і, причому /о-1; li~po- Числа ^ називаються числами доживаючих (до віку Х років). Вони утворюють "порядок вимирання", показуючи, яка частина з початкове взятої сукупності новонароджених досягне 1 року, 2, 3 років і так далі до деякого граничного віку w. Графічне зображення ^ (рис.З) утворює лінію дожиття.

Таблиця 4. Таблиця смертності для чоловіків і жінок

 

Вік		Чоловіки			Жінки
х	/,	q.'Kt	е,	/X	q.'IO"	Є,
			64.56	100 000		73.53
			62.02			70.76
				96 748		65.9.5
						61.09
			48.80			56.26
			43.35			51.48
			39.03			46.72
			34.82			42.03
			30.71			37.40
			26.74			32.84
		1 132	22.91			28.43
		1 624	19.30			24.15
			15.96			20.02
			12.97		1 709	16.13
			10.32			12.60
			8.02			9.54
			6.18			7.21
			4.73			5.43
			3.60	11 873		4.08
	1 233		3.72			3.06
			2.05			2.30

 

Лінія їх на малюнку показана у вигляді неперервної кривої, що повністю відповідає смислу зображуваної величини.