Получение синусоидального напряжения и его параметры

 

Промышленными источникамисинусоидального тока являются электромеханические генераторы, в которых механическая энергия паровых и гидравлических турбин преобразуется в электрическую.

Пусть имеется однородное магнитное поле, образованное между полюсами N – S электромагнита. Внутри поля под действием посторонней силы вращается по окружности в сторону движения против часовой стрелки металлический прямолинейный проводник. Как известно, пересечение проводником магнитных линий приведет к появлению а проводнике индуцируемой ЭДС. Величина этой ЭДС зависит от величины магнитной индукции В, активной длины проводника l, скорости пересечения проводником магнитных линий v (; ; ) и синуса угла α между направлением движением проводника и направлением магнитного поля:

При движении проводник занимает различные положения при этом меняется значение угла, а в мести с ним и значение ЭДС, определяемое по правилу правой руки.

За один полный оборот проводника ЭДС в нем сначала увеличивается от нуля до максимального значения (E_m), а затем уменьшается до нуля и, изменив свое направление, вновь уменьшается до максимального значения (-E_m) и вновь уменьшается до нуля. При дальнейшем движении проводника указанные изменения ЭДС будут повторятся.

 

 

Рис..

Амплитуда - это максимальное значение периодически изменя­ющейся величины.

Обозначаются амплитуды прописными буквами с индексом m, т. е. Е_m, U_m и I_m.

На основании рис. Можно сделать вывод, что ЭДС достигает своих амплитудных значений тогда, когда рамка повернется на угол α = 90° или на угол α = 270°, так как |sin 90°| = |sin 270°| = 1. Следовательно

(10.1)

Период - это время, в течение которого переменная величина делает полный цикл своих изменений, после чего изменения по­вторяются в той же последовательности.

Обозначается период буквой Т и измеряется в секундах, т.е. [ Т ] = с.

Частота - число периодов в единицу времени, т. е. величина, обратная периоду.

Обозначается частота буквой f, , и измеряется в гер­цах (Гц):

Стандартной частотой в электрических сетях России является частота f = 50 Гц. Для установок электронагрева пользуются частотами f = 50 ÷ 50·10⁶ Гц.

При частоте f = 50 Гц, т. е. 50 периодов в секунду, период

c

Угловая частота (угловая скорость) характеризуется углом пово­рота рамки в единицу времени.

Обозначается угловая частота буквой ω (омега):

(10.2)

Измеряется угловая частота в единицах радиан в секунду (рад/с), так как угол измеряется в радианах (рад).

За время одного периода Т рамка повернется на угол 360° = 2π рад. Следовательно, угловую частоту можно выразить следу­ющим образом:

(10.3)

Мгновенное значение - это значение переменной величины в любой конкретный момент времени.

Мгновенные значения обозначаются строчными буквами, т. е. e, i, u.

Из выражения (10.2) следует, что угол поворота рамки , тогда мгновенные значения синусоидальных величин можно за­висать так:

; ; . (10.4)

Таким образом, любая синусоидальная величина характеризуется амплитудой и угловой частотой, которые являются постоянны­ми для данной синусоиды. Следовательно, по формулам (10.4) можно определить синусоидальную величину в любой конкретный момент времени t, если известны амплитуда и угловая частота.

 

Если в магнитном поле вращаются две жестко скрепленные между собой под каким-то углом одинаковые рамки (рис. 10.4а) т. е. амплитуды ЭДС Ет и угловые частоты со их одинаковы, то мгновенное значение их ЭДС можно записать в виде

; (10.5)

где ψ₁ и ψ₂ - углы, определяющие значения синусоидальных ве­личин е₁ и е₂ в начальный момент времени (t = 0), т. е.

;

Поэтому эти углы ψ₁ и ψ₂ называют начальными фазами сину­соид.

Рис. 10.4

 

Начальные фазы ψ₁ и ψ₂ этих ЭДС различны.

Таким образом, согласно (10.5) каждая синусоидальная величина характеризуется амплитудой Е_m, угловой частотой ω и начальной фазой ψ. Для каждой синусоиды эти величины (Е_m, ω и ψ) явля­ются постоянными. В выражениях (10.4) начальные фазы ψ сину­соид равны нулю.

Величина называется фазой синусоиды.

Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одинаковой частоты определяет угол сдвига фаз этих величин:

(10.6)

При вращении против часовой стрелки (рис. 10.4а) ЭДС в первой рамке достигает амплитудного и нулевого значения раньше чем во второй, т. е. е₁ опережает по фазе е₂ или е₂ отстает по фазе от е₁ (рис. 10.46). Угол сдвига фаз показывает, на какой угол одна синусоидальная величина опережает или отстает от другой (т.е. достигает своих амплитудных и нулевых значений раньше или позже).

Две синусоидальные величины одинаковой частоты, достигаю­щие одновременно своих амплитудных (одного знака) и нулевых значений, считаются совпадающими по фазе (рис. 10.5а).

 

Рис. 10.5

 

Если две синусоиды одинаковой частоты достигают одновре­менно своих нулевых и амплитудных значений разных знаков (рис. 10.56), то они находятся в противофазе.

 

Среднее значение переменного тока равно величине такого постоянного тока, при котором через поперечное сечение проводника проходит то же количество электричества, что и при пере­менном токе.

Таким образом, среднее значение переменного тока эквивалент­но постоянному току по количеству электричества Q, проходящему через поперечное сечение проводника в определенный проме­жуток времени.

Средние значения переменных величин обозначаются пропис­ными буквами с индексом «с», т. е. I_C, U_C, Е_C.

Если ток изменяется по синусоидальному закону, то за полови­ну периода через поперечное сечение проводника проходит опре­деленное количество электричества Q в определенном направле­нии, а за вторую половину периода через то же сечение проходит то же количество электричества в обратном направлении. Таким образом, среднее значение синусоидального тока за период равно нулю, т. е. I_C = 0.

Рис. 10.6

 

Поэтому для синусоидального переменного тока определяется его среднее значение за половину периода Т/2, т. е.

Значение переменного тока определяется выражением , откуда . Следовательно, среднее значение синусоидального тока с начальной фазой ψ = 0 за полупериод определяется (рис. 10.6) выражением

Где , а . Графически среднее за полупериод значение синусоидального тока равно высоте прямоугольника с основанием, равным Т/2, и площадью, равной площа­ди, ограниченной кривой тока и осью абсцисс за по­ловину периода (рис. 10.6). Под средним значением переменной величины по­нимают постоянную со­ставляющую этой величи­ны.

Средние значения сину­соидального напряжения и ЭДС за полупериод можно определить по аналогии с током.

; ; (10.8)

 

Действующее (или эффективное) значение переменного тока - это значение переменного тока, эквивалентное постоянному току по тепловому действию.

Действующее значения переменных величин обозначается про­писными буквами без индексов: I, U, E.

Действующее значение переменного тока I равно величине такого постоянного тока, которое за время, равное одному периоду пере­менного тока Т, выделит в том же сопротивлении R такое же ко­личество тепла, что и переменный ток I:

Откуда действующее значение переменного тока

или

Если переменный ток изменяется по синусоидальному закону с начальной фазой, равной нулю, т.е. , то действующее значение такого синусоидального тока будет равно

Действующее значение синусоидального тока в =1,41 раза ме­ньше его амплитудного значения. Так же можно определить действующие значения синусоидального напряжения и ЭДС.

; ; (10.9)

Номинальные значения тока и напряжения в электрических цепях и устройствах выражаются их действующими значениями. Так, например, стандартные напряжения электрических сетей U = 127 В или U = 220 В выражают действующие значения этих на­пряжений. А изоляцию необходимо рассчитывать на амплитудное значение этих напряжений, т. е.

В или В.

При расчете цепей переменного тока и их исследованиях чаще всего пользуются действующими (эффективными) значениями тока, напряжения и ЭДС.

На шкалах измерительных приборов переменного тока указыва­ется действующие значение переменного тока или напряжения.

Именно действующие значения тока, напряжения и ЭДС ука­зываются в технической документации, если нет специальных оговорок.

 

Пусть магнитный поток постоянного магнита равен Ф_m. Из пространственного расположения магнитного потока следует, что мгновенное значение составляющей магнитного потока, пронизывающей виток, т.е. направленной вдоль оси х, равно

(1)

где Ф _m – максимальное значение (амплитуда) магнитного потока, пронизывающего виток;

a - начальный (т.е. в момент t = 0 принятый за начало отсчета времени) угол пространственного расположения постоянного магнита относительно оси х;

j_Ф - начальная фаза магнитного потока, ;

- фаза магнитного потока. Здесь и в дальнейшем начальная фаза определяет значение синусоидальной величины в момент времени t = 0.

Согласно закону электромагнитной индукции при изменении потокосцепления витка в нем индуцируется ЭДС

Подставляя сюда (1), имеем

где - амплитуда ЭДС,

- начальная фаза ЭДС,

Синусоидальные величины принято изображать графически в виде зависимости . Поэтому начальная фаза определяет смещение синусоидальной величины относительно начала координат т.е. от .

Если начальная фаза >0, то начало синусоидальной величины сдвинуто влево, если <0, то – вправо от начала координат.

Если к выводам «а» и «в» генератора подключить резистор, то в полученной цепи возникнет синусоидальный ток i.

 

Коэффициент мощности

Номинальные параметры, т. е. мощность источника S_ИСТ, мощность потребителя Р_ПОТР и коэффициент мощности cosφ_ПОТР, связаны следующим соотношением

(1)

Из (1) следует, что чем меньше cosφ_ПОТР, тем большую мощность S должен иметь источник для питания этого потребителя, т. е. тем больше его габариты, вес, расход материалов, стоимость и д.р.

Ток в цепи потребителя с определенным cosφ_ПОТР равен

(2)

Из (2) видно, что чем меньше cosφ_ПОТР, тем больше ток потребителя I, тем больший ток проходит по проводам линии электропередачи, тем больше потери энергии в этой линии и меньше КПД ее и всей системы. Кроме того, увеличение тока требует для его передачи проводов большего сечения, т. е. большего расхода цветных металлов.

Таким образом, низкий коэффициент мощности потребителя cosφ_ПОТР, приводит к увеличению мощности источника, питающего этот потребитель, уменьшению КПД линии электропередачи и к увеличению сечения проводов линий электропередачи.

В России установлен минимально допустимый коэффициент мощности не менее 0,93, т. е. cosφ_ПОТР должен быть равен или больше 0,93 (cosφ_ПОТР > 0,93).

Однако cosφ_ПОТР, большинства электрических потребителей переменного тока меньше этой нормы. Так, например, cosφ_ПОТР асинхронных двигателей, в зависимости от нагрузки, составляет 0,2-0,85, трансформаторов - 0,5-0,9, выпрямителей - 0,7-0,85 и т. д. Следовательно, коэффициент мощности этих потребителей необходимо повышать.

Так как большинство потребителей представляет собой нагрузку индуктивного характера, то для улучшения cosφ_ПОТР параллельно с ним подключаются конденсаторы (рис. 13.5а).

Рис. 13.5.

 

Из векторной диаграммы (рис. 13.5б) видно, что с подключением конденсатора С (ключ К замкнут) появляется I_C, за счет которого уменьшается угол φ (φ<φ_Н) и увеличивается cosφ установки. При этом уменьшается ток цепи I, который до подключения конденсатора был равен току нагрузки I_Н.

Для повышения коэффициента мощности (cosφ) конденсатор можно включить последовательно с потребителем индуктивного характера. Однако при этом нарушается режим работы (напряжение) потребителя. Поэтому для улучшения cosφ конденсатор подключают параллельно с нагрузкой (рис. 13.5а).

Коэффициент мощности можно повысить, увеличив активную нагрузку. При этом увеличивается потребляемая энергия, что экономически нерационально (уменьшается КПД установки).

Энергетические процессы в резистивном, индуктивном и емкостном элементе

Мгновенная мощность в цепи с активным сопротивлением определяется произведением мгновенных значений напряжения и тока, т. е. .

Рис. Изменение мощности в активном сопротивлении.

 

Мощность в цепи с ак­тивным сопротивлением изменяется по величине, но не изме­няется по направлению. Эта мощность (энергия) не­обратима. От источника она поступает потребителю и полно­стью преобразуется в другие виды мощности (энергии), т.е. потребляется. Такая потребляемая мощность называется актив­ной.

Поэтому и сопротивление R, на котором происходит подобное преобразование, называется активным сопротивлением.

В цепи с активным сопротивлением мгновенная мощность ха­рактеризует скорость преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Количественно мощность в цепи с активным сопротивлением определяется следующим образом:

Мгновенная мощность в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением представляет собой сумму двух величин - постоянной мощности UI и переменной , изменяющейся с двойной частотой.

Средняя за период мощность, равная постоянной составляю, щей мгновенной мощности UI, является активной мощностью P. Среднее за период значение переменной составляющей, как и всякой синусоидальной величины, равно нулю, то есть .

Таким образом, величина активной мощности в цепи синусои­дального тока с активным сопротивлением с учетом закона Ома определяется выражением:

где U - действующее значение напряжения; I - действующее зна­чение тока.

Единицей активной мощности является ватт:

 

Мгновенная мощность для цепи синусоидального тока с идеа­льной катушкой равна произведению мгновенных значений на­пряжения и тока

где

Следовательно, . Полученное уравнение умножают и делят на 2:

Таким образом, мощность в цепи синусоидального тока с идеаль­ной катушкой индуктивности изменяется по синусоидальному зако­ну с двойной частотой. То есть в 1-ю и 3-ю четверти периода мощность (энергия) ис­точника накапливается в магнитном поле индуктивности. Макси­мальное значение накапливаемой в магнитном поле идеальной катушки энергии равно

Во 2-ю и 4-ю четверти периода эта мощность (энергия) из маг­нитного поля идеальной катушки возвращается к источнику.

Рис. Изменение мощности в катушке индуктивности..

 

Следовательно, среднее значение этой мощности за период Р_С, как и любой синусоидальной величины, т. е. активная потребляе­мая мощность, в этой цепи равна нулю, Р = 0.

Таким образом, в цепи переменного тока с идеальной катушкой, мощность не потребляется (Р = 0), а колеблется между источ­ником и магнитным полем индуктивности, загружая источник и провода.

Такая колеблющаяся мощность (энергия), в отличие от активной, т. е. потребляемой, называется реактивной.

Обозначается реактивная мощность буквой Q и измеряется в варах, т.е. [ Q ] = вар (вольт-ампер реактивный).

Величина реактивной мощности в рассматриваемой цепи опре­деляется выражением

Так как реактивная мощность Q_L имеет место в цепи с индук­тивным сопротивлением, то индуктивное сопротивление считает­ся реактивным сопротивлением X индуктивного характера (ин­декс L), т.е. Х_L.

 

Если в цепи конденсатора емкостью С, R_C = 0 прохо­дит ток i, изменяющийся по синусоидальному закону:

то напряжение u, приложенное к этому конденсатору, будет равно

Мгновенная мощность в цепи с конденсатором

Мощность в цепи с конденсатором, подключенным к источнику с синусоидальным напряжением, изменяется по синусоидальному зако­ну с двойной частотой.

Следовательно, активная мощность Р в рассматриваемой цепи, равная среднему значению мгновенной мощности за период, имеет нулевое значение, Р = 0.

Во 2-ю и 4-ю четверти периода мощность (энергия) источника на­капливается в электрическом поле конденсатора.

Максимальное значение энергии, накапливаемой в электриче­ском поле конденсатора, равно

В 1-ю и 3-ю четверти периода эта мощность (энергия) из элект­рического поля конденсатора возвращается к источнику.

Рис. Изменение мощности в емкостном элементе.

 

Таким образом, в цепи переменного тока с конденсатором про­исходит колебание мощности (энергии) между источником и электрическим полем конденсатора.

Величина реактивной мощности в цепи конденсатора определя­ется выражением

Реактив­ная мощность в цепи конденсатора изменяется в противофазе с реактивной мощностью в цепи с идеальной катушкой. Отсюда и знак «минус» в уравнении - аналитическом выражении мгновенной мощности в цепи с конденсатором.

Так как реактивная мощность Q_C имеет место в цепи с емкост­ным сопротивлением, то это емкостное сопротивление считается реактивным сопротивлением X емкостного характера (Х_C).

Полная мощность определяет эксплуатационные возможности многих электротехнических устройств. Связь между активной, реактивной и полной мощностью видно из выражения

Она измеряется в вольт-амперах . Величина полной мощности, равна произведению U·I, определяет основные габариты генераторов и трансформаторов. В самом деле, величина тока I определяет необходимое по условиям нагрева сечение проводов генераторов и трансформаторов, а число витков обмоток, их изоляция, а также размеры магнитопроводов пропорциональны величине напряжения U.

Таким образом, чем больше значения U и I, на которое рассчитаны генераторы и трансформаторы, тем больше должны быть их размеры.