Линейные цепи синусоидального тока

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Синусоидальный ток и его основные параметры

Синусоидальными токами и напряжениями называются токи и напряжения, которые изменяются во времени по синусоидальному закону.

Мгновенные значения синусоидальных тока и напряжения определяются выражениями:

i(t)= I_m sin(ωt + ψ_i), u(t)= U_m sin(ωt + ψ_u),

где I_m, U_m – амплитудные значения тока и напряжения;

(ωt + ψ) – фаза колебания, аргумент синусоидальной функции, [рад];

ω– угловая частота, которая может быть определена как

ω =2πf = 2π/T, [рад/с];

f– линейная частота, [Гц]; Т– период колебаний, [c];

ψ_i , ψ_u - начальные фазы тока и напряжения, которые отсчитываются от начала координат до ближайшей точки на оси абсцисс перехода синусоидальной функции через ноль от отрицательных к положительным ее значениям. Начальная фаза может быть положительной, отрицательной и равной нулю. При ψ>0 начало синусоиды сдвинуто влево относительно начала координат, при ψ < 0 – вправо, а при ψ = 0 синусоида проходит через начало координат.

На рис. 2.1 построены временные графики мгновенных значений тока и напряжения одинаковой частоты:

i(t)= I_m sin(ωt + ψ_i), u(t)= U_m sin(ωt + ψ_u).

Угол, на который синусоида тока сдвинута относительно синусоиды напряжения, называют углом сдвига фаз φ и его определяют как разность начальных фаз напряжения и тока:

φ = ψ_u – ψ_i.

Если угол φ>0, то ток отстает по фазе от напряжения; если угол φ <0, то ток опережает напряжение по фазе; при значении угла φ=0, ток совпадает по фазе с напряжением.

 

Рис. 2.1

Действующие значения синусоидальных ЭДС,

Напряжений и токов

О величине периодических ЭДС, напряжений и токов обычно судят по их средним квадратичным значениям за период, которые называются действующими значениями ЭДС, напряжения или тока и обозначаются, соответственно, E, U, I.

Под действующим значением синусоидального тока i(t)= I_m sin(ωt + ψ_i), понимают такой постоянный ток I, который при протекании через сопротивление R (рис. 2.2) выделяет такое же количество тепла, что и синусоидальный ток за время, равное одному периоду синусоидального тока: .

Откуда

Действующие значения ЭДС и напряжения определяются аналогичными соотношениями:

, , .

Большинство систем измерительных приборов измеряют действующие значения токов и напряжений, поэтому расчеты в цепях синусоидального тока чаще всего выполняют по действующим значениям.

 

Действия с комплексными числами

Пусть мы имеем два комплексных числа, записанных в показательной и алгебраической формах записи:

и .

Рассмотрим основные действия, выполняемые над комплексными числами.

Алгебраическое сложение комплексных чисел выполняется при записи их в алгебраической форме, при этом суммируются отдельно действительные части комплексных величин, отдельно - мнимые:

Умножение комплексных чисел удобнее всего выполнять в показательной форме записи, при этом модуль нового комплексного числа получается путем перемножения модулей комплексных величин, а аргумент – путем сложения фаз:

Перемножение комплексных чисел также можно выполнять и при их записи в алгебраической форме. При этом необходимо помнить, что мнимое число j = , а :

Деление комплексных величин удобно выполнять в показательной форме записи. Для получения модуля новой комплексной величины модуль числителя необходимо разделить на модуль знаменателя, а для получения аргумента необходимо из фазы числителя вычесть фазу знаменателя:

Также деление можно выполнять и при записи в алгебраической форме. При этом необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное

Возведение в степень n выполняется в показательной форме, для этого модуль комплексного числа возводят в соответствующую степень, а показатель просто умножают на n:

.

Извлечение корня n-ой степени равносильно возведению в степень 1/n:

.

 

Линейные элементы R, L, C

В цепи синусоидального тока

Резистивный элемент. Резистивный элемент (рис.2.6) с сопротивлением R, как элемент схемы, учитывает необратимые преобразования электрической энергии в другие виды энергии (тепловую, механическую и т.д.).

Такой элемент называют идеальным в том случае, если можно пренебречь энергиями магнитных и электрических полей, всегда имеющихся в реальном элементе.

При синусоидальном токе, протекающем по резистивному элементу i(t)= I_m sin(ωt + ψ_i), напряжение между зажимами резистивного элемента и ток связаны законом Ома:

u_R (t) = R i(t)= R I_m sin(ωt + ψ_i) = U_Rm sin(ωt + ψ_u).

Амплитудные и действующие значения тока и напряжения на резистивном элементе также связаны законом Ома:

U_Rm = RI_m, U_R = RI.

Из полученного выражения для мгновенного значения напряжения видно, что начальные фазы напряжения и тока одинаковы, то есть напряжение и ток резистивного элемента совпадают по фазе. Их временные диаграммы представлены на рис. 2.8, а. При построении временных диаграмм начальная фаза тока принята положительной ψ_i > 0.

Если синусоидальную функцию i(t)=I_m sin(ωt+ψ_i) заменить изображающей ее комплексной величиной, то закон Ома в комплексной форме запишется следующим образом:

где , - комплексные амплитуды.

Для действующих комплексных величин будем иметь:

.

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, представлены на векторной диаграмме рис. 2.7, б.

 

Мгновенная мощность резистивного элемента:

 

p(t) = u_R·i = U_Rm sin(ωt + ψ_u)·I_m sin(ωt + ψ_i) =

= U_Rm I_m sin²(ωt + ψ_i)= U_Rm I_m =

= .

Временная диаграмма мгновенной мощности представлен на рис. 2.7, а. Из графика видно, что вся энергия, поступающая в резистивный элемент, расходуется в нем и не возвращается генератору.

Среднее значение мгновенной мощности за время, равное периоду синусоидального тока, называется активной мощностью:

Индуктивный элемент. Идеальный индуктивный элемент с индуктивностью L (рис. 2.8) учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции. В этом случае пренебрегают потерями энергии и наличием энергии электрического поля.

Напряжение на зажимах индуктивного элемента при протекании синусоидального тока i(t)=I_m sin(ωt + ψ_i) будет определяться:

где - индуктивное реактивное сопротивление синусоидальному току;

- амплитудное значение напряжения на индуктивном элементе;

- начальная фаза напряжения, то есть напряжение на индуктивном элементе опережает свой ток на угол π/2.

При переходе к действующим значениям имеем:

В комплексной форме записи:

Для действующих комплексных значений:

здесь - индуктивное реактивное сопротивление в комплексной форме записи ().

На рис. 2.9, а представлена временная диаграмма тока и напряжения индуктивного элемента. На рис. 2.9, б построена векторная диаграмма для действующих комплексных значений тока и напряжения.

 

а) б)

Рис. 2.9

 

Угол сдвига фаз φ на векторной диаграмме показывается стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.

Мгновенная мощность индуктивного элемента может быть определена:

Как видно из полученного выражения мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с частотой в два раза большей, чем частота тока. График мгновенной мощности для индуктивного элемента представлен на рис. 2.9, а. Среднее значение мгновенной мощности за период равно нулю. В те промежутки времени, когда значение мгновенного тока увеличивается, мощность имеет положительное значение, то есть энергия передается от генератора к индуктивному элементу и накапливается в нем. При уменьшении мгновенного тока мощность имеет отрицательное значение, энергия возвращается от индуктивного элемента к генератору. Для того, чтобы количественно охарактеризовать обменные процессы магнитной энергией между источником и индуктивным элементом, вводят понятие индуктивной реактивной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности: (ВАр –вольтампер реактивный – единица измерения реактивной мощности).

 

Емкостный элемент. Емкостный элемент (рис. 2.10) схемы с емкостью С учитывает только энергию электрического поля , пренебрегая при этом необратимым расходом энергии в диэлектрике и наличием энергии магнитного поля.

Ток ветви с конденсатором определяется:

или

В приведенных выражениях:

- амплитудное значение напряжения на конденсаторе;

- реактивное емкостное сопротивление синусоидальному току;

ψ_u=(ψ_i - π/2) – начальная фаза напряжения, напряжение на емкостном элементе отстает от своего тока на угол π/2.

Для действующих значений:

В комплексной форме записи:

здесь -реактивное емкостное сопротив-

ление в комплексной форме записи ().

На рис. 2.11, а и б представленны временная и векторная диаграммы тока и напряжения емкостного элемента.

Мгновенная мощность емкостного элемента будет определяться:

Временная диаграмма мгновенной мощности построена на рис. 2.11, а.

а) б)

Рис. 2.11

 

Из графика мгновенной мощности следует, что среднее значение мощности за период также, как и у индуктивного элемента, равна нулю. В промежутки времени, когда напряжение на емкостном элементе увеличивается, конденсатор заряжается, то есть энергия поступает от генератора к элементу (мощность положительна). В промежутки времени, когда напряжение уменьшается, емкостный элемент возвращает генератору накопленную энергию (мощность отрицательна). Для того чтобы количественно охарактеризовать эти обменные процессы, вводят понятие реактивной емкостной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности:

Как видно из временных диаграмм (рис. 2.10 и 2.11) в каждый момент времени индуктивная и емкостная мгновенные мощности находятся в противофазе. При расчете суммарной реактивной мощности значение индуктивной реактивной мощности берется положительным, а емкостной реактивной мощности - отрицательным.

Комплексный метод расчета

Для расчета цепей синусоидального тока используется комплексный метод расчета. Он основан на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами. Соответственно дифференциальные и интегральные зависимости между напряжениями и токами в цепях синусоидального тока, заменяются линейными зависимостями между комплексными токами и напряжениями:

 

→

→

→

→

→

 

Далее расчеты в цепях синусоидального тока выполняются теми же методами, что и расчеты в цепях постоянного тока (метод эквивалентных преобразований, законов Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов и т.д.), только все сопротивления, токи и напряжения записываются в комплексной форме записи.

Рассмотрим определение всех токов и напряжений в схеме, показанной на рис.2.19, питающейся от источника синусоидального напряжения, комплексное действующее значение которого

Параметры элементов цепи:

R₁=50 Ом; R₂=X_L=X_C =100 Ом.

Расчет будем выполнять, применяя эквивалентные преобразования в электрических цепях и закон Ома.

Определим комплексные сопротивления ветвей:

Ом; Ом;

Ом.

Для того чтобы по закону Ома определить ток на входе цепи, необходимо рассчитать комплексное сопротивление цепи относительно входных зажимов.

Сопротивления второй и третьей ветвей соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление относительно зажимов 2-4 можно рассчитать:

Относительно входных зажимов сопротивление первой ветви и сопротивление Z₂₃ соединены последовательно, поэтому входное сопротивление всей цепи можно определить как сумму комплексных сопротивлений:

Входной ток

Напряжение на зажимах параллельных ветвей:

Зная напряжения параллельных ветвей, можно определить по закону Ома токи

Определим напряжения на участках цепи:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений цепи. Для этого на комплексной плоскости в соответствующих масштабах тока m_i и напряжения m_u построим векторы рассчитанных напряжений и токов со своими начальными фазами (рис. 2.20). На векторной диаграмме хорошо видно выполнение законов Кирхгофа:

,

2.10. Топографическая диаграмма

 

При анализе электрических цепей синусоидального тока весьма полезно строить топографические диаграммы. С их помощью можно легко определять напряжения между различными точками схемы и фазы этих напряжений. Топографическая диаграмма представляет собой графическое изображение на комплексной плоскости распределения потенциалов в схеме. При этом каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме.

Отличительная особенность этих диаграмм состоит в том, что векторы напряжений на зажимах элементов сложной цепи на топографической диаграмме располагают в том порядке, в котором расположены соответствующие элементы цепи. При этом вектор напряжения на последующем элементе цепи обязательно примыкает к вектору напряжения на предыдущем элементе, в то время как на обычных векторных диаграммах любой вектор можно переносить параллельно самому себе в любое место комплексной плоскости.

Проведем качественное построение топографической диаграммы для неразветвленной цепи (рис. 2.21).

Отложим вектор тока в произвольно выбранном направлении (рис. 2.22). Примем потенциал точки g равным нулю () и определим потенциалы остальных точек схемы относительно этого потенциала. Обход схемы при построении топографической диаграммы выберем навстречу току. Тогда потенциал точки f будет больше потенциала точки g на величину напряжения на резисторе R₁: . Наносим вектор на комплексную плоскость и конец этого вектора обозначаем буквой f. Причем сам вектор комплексного потенциала не изображается на плоскости, а показывается только

точка, соответствующая концу этого вектора.

Аналогично рассчитываем и наносим на комплексную плоскость потенциалы остальных точек схемы:

; ; .

Для определения напряжения между двумя любыми точками схемы достаточно соединить соответствующие точки топографической диаграммы отрезком прямой и придать этому вектору надлежащее направление. Так, вектор напряжения представлен на топографической диаграмме отрезком прямой, соединяющим точки а и d, соответствующие концам векторов комплексных потенциалов и . Этот вектор направлен от точки d к точке а, что соответствует правилу вычитания векторов.

Топографическую диаграмму практически всегда строят в одних осях координат с векторной диаграммой токов.

Заметим, что при выборе обхода ветвей схемы навстречу положительному направлению тока топографическая диаграмма совпадает с понятием векторной диаграммы. То есть ее можно строить, употребляя привычные нам знания: напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивном элементе опережает ток на угол 90º, а на емкостном элементе напряжение отстает от тока на угол 90º.

При выборе обхода схемы по току все векторы изменяют свое направление на 180º.

 

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА