Последовательное соединение элементов R, L, C

Пусть в цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L, C (рис. 2.12), известен ток i(t)=I_msin(ωt + ψ_i).

Необходимо определить напряжение на зажимах цепи.

Запишем для цепи уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений:

Сумме синусоидальных напряжений соответствует сумма изображающих их комплексных величин:

Комплексное действующее значение напряжения:

где - действую-

щее значение напряжения, приложенного к цепи;

- начальная фаза напряжения;

- угол сдвига фаз между напряжением на зажимах участка цепи и током; сдвиг фаз определяется соотношением реактивных и активных сопротивлений, включенных на этом участке.

Амплитудные значения тока и напряжения связаны с действующими соотношениями:

, .

Для амплитудного значения входного напряжения можно записать:

Мгновенное значение напряжения на входе цепи будет изменяться по синусоидальному закону:

Введем еще ряд величин, характеризующих цепь синусоидального тока.

Величину

называют комплексным сопротивлением цепи с последовательным соединением элементов R, L, C. Заметим, что в этом случае комплексные сопротивления отдельных участков складываются, как и для цепей постоянного тока.

Запишем комплексное сопротивление в показательной форме:

Модуль комплексного сопротвления

- называют полным сопротивлением цепи.

Аргумент комплексного сопротивления

- угол сдвига фаз между входным напряжением и током.

При угол φ>0, ток отстает по фазе от напряжения. При угол φ <0, ток опережает напряжение по фазе. При угол φ=0, ток совпадает по фазе с напряжением и цепь ведет себя, как чисто активное сопротивление. Такой режим работы цепи называют резонансным режимом.

Построим на комплексной плоскости вектора тока и напряжений на всех элементах цепи с последовательным соединением элементов R, L, C. Ток во всех участках один и тот же, поэтому при построении векторной диаграммы удобно принять начальную фазу тока равной нулю ψ_i=0.

Напряжения элементов схемы связаны между собой вторым законом Кирхгофа. В комплексной или векторной форме можно записать:

В соответствии с тремя возможными вариантами соотношения между реактивными сопротивлениями X_L и X_C (X_L>X_C, X_L<X_C, X_L = X_C) построим три векторные диаграммы для каждого из случаев (рис. 2.13, а, б, в).

Так как начальная фаза тока равна нулю ψ_i=0, то сдвиг фаз φ между входным напряжением и током будет равен начальной фазе входного напряжения ψ_u. Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе c током, напряжение на индуктивном элементе опережает ток на угол 90°, напряжение на емкостном элементе отстает от тока по фазе на угол 90°.

а) б) в)

Рис. 2.13

 

На векторных диаграммах угол сдвига фаз φ отсчитывается от вектора тока к вектору напряжения . Угол φ положителен при отстающем токе (рис. 2.13, а) и отрицателен при опережающем токе (рис. 2.13, в).

При неизменной частоте источника питания цепь (рис. 2.12) может быть представлена одной из эквивалентных схем, представленных на рис. 2.13, а, б, в: при X_L>X_C как последовательное соединение активного и индуктивного сопротивлений (R и X_L´=X_L-X_C); при X_L=X_C как активное сопротивление R; при X_L<X_C как последовательное соединение активного и емкостного сопротивлений (R и X_С´=X_L-X_C).

Заштрихованные треугольники, показанные на векторных диаграммах, принято называть треугольниками напряжений. Проекцию вектора напряжения на направление вектора тока называют активной составляющей напряжения и обозначают . Проекцию вектора напряжения на направление, перпендикулярное вектору тока, называют реактивной составляющей напряжения и обозначают . Из векторных диаграмм (рис. 2.13) видно, что:

Если каждую сторону треугольника напряжений поделить на величину действующего комплексного тока, то на комплексной плоскости получим треугольник, подобный исходному и называемый треугольником сопротивлений (рис. 2.14).

Треугольник сопротивлений можно получить, построив на комплексной плоскости диаграмму, соответствующую выражению комплексного сопротивления:

Необходимо заметить, что напряжения на L и С - элементах находятся в противофазе, вследствие чего в цепи переменного тока с последовательным соединением элементов могут создаваться условия, невозможные для цепей постоянного тока, когда напряжения на отдельных участках цепи значительно превышают напряжение на входе.