Параллельное соединение потребителей

Параллельным соединением участков электрической цепи называют соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, т. е. находятся под действием одного и того же напряжения (рис. 3.8). Токи параллельно включенных участков обратно пропорциональны сопротивлениям этих участков.

При параллельном соединении сопротивлений R₁, R₂ и R₃ токи потребителей соответственно равны

 

Воспользовавшись первым законом Кирхгофа, можно определить ток I в неразветвленной части цепи

или

Тогда (1.30)

Таким образом, обратная величина общего (эквивалентного) сопротивления R параллельно включенных потребителей равна сумме обратных величин сопротивлений этих потребителей.

Величина, обратная сопротивлению, определяет проводимость потребителя g. Тогда общая (эквивалентная) проводимость цепи при параллельном соединении потребителей определяется суммой проводимостей потребителей

(1.31)

Если параллельно включены n одинаковых потребителей с сопротивлением R^/ каждый, то эквивалентное сопротивление этих потребителей . Если параллельно включены два потребителя с сопротивлениями R₁ и R₂, то их общее (эквивалентное) сопротивление в соответствии с (1.30) равно

Откуда (1.32)

Если параллельно включены три потребителя с сопротивлениями R₁, R₂, R₃, то общее их сопротивление (см. (1.30))

Откуда (1.33)

Изменение сопротивления какого-либо из параллельно соединенных потребителей не влияет на режим работы (напряжение) других потребителей, включая изменяемое. Поэтому параллельное единение нашло широкое практическое применение.

При параллельном соединении потребителей на большем сопротивлении тратится меньшая мощность:

 

Потенциальная диаграмма

 

При изучении и расчете некоторых электрических цепей необходимо определить потенциалы отдельных точек цепи и построить потенциальную диаграмму. Для этого можно использовать выражение (3.4) (рис. 3.1а).

На участке АВ точка В имеет положительный потенциал , точка А - отрицательный потенциал , поэтому , так как источник работает в режиме генератора, т. е.

.

На участке ВС точка В имеет положительный потенциал , точка С - отрицательный , поэтому , источник с ЭДС Е₂ работает в режиме потребителя, т. е.

.

Таким образом, потенциал точки D можно записать

,

если обходить цепь по направлению тока, или

,

если обходить цепь против направления тока.

Отсюда можно сделать следующий вывод (правило): если обходить цепь или участок цепи по направлению тока, то потенциал в каждой точке определяется потенциалом предыдущей точки плюс ЭДС источника, работающего в режиме генератора, минус ЭДС источника, работающего в режиме потребителя, и минус падение напряжения на участке между точками цепи.

При обходе контура против направления тока знаки ЭДС и падения напряжения изменяются на противоположные.

Это правило особенно удобно применять в тех случаях, когда в цепи имеются участки с несколькими источниками.

Потенциальная диаграмма представляет собой график зависимости потенциалов точек цепи от величины сопротивлений участков между этими точками.

Для построения потенциальной диаграммы одну из точек электрической цепи условно заземляют, (потенциал ее принимают равным нулю), а потенциалы остальных точек равны напряжению между ними и заземленной точкой.

Потенциальная диаграмма представляет собой ломаную линию (рис. 3.3).

 

Пример 3.2

Для цепи, изображенной на рис. 3.2, дано:

Е₁ = 8 В; Е₂ = 24В; Е₃ = 9,5 В; R₁ = 0,5 Ом; R₂ = 1 Ом; R₃ = 1,5 Ом; R₀₁ = 0,15 Ом; R₀₂ = 0,1 Ом; R₀₃ = 0 Ом.

1. Определить величину и направление тока в цепи.

2. Определить потенциал точек В, С, D, Е, G, приняв потенциал точки А равным нулю, .

3. Построить потенциальную диаграмму.

4. Составить и проверить баланс мощностей для цепи.

 

 

 

Рис. 3.2.

 

Решение

1. Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке, тогда величина тока

Знак «минус», полученный в результате вычислений, указывает на то, что ток направлен против выбранного направления обхода, как показано на рис. 3.2. В дальнейших расчетах знак «минус» не учитывается. Таким образом, источник ЭДС Е₂ работает в режиме генератора, а Е₁ и Е₃ - потребителей.

2. Для определения потенциалов указанных точек обходим контур по направлению тока. При этом получаем

3. Для построения потенциальной диаграммы по оси ординат в масштабе откладываются потенциалы точек, а по оси абсцисс - сопротивления участков. Потенциальная диаграмма изображена на рис. 3.3.

Рис. 3.3

 

4. Баланс мощностей в электрической цепи с несколькими источниками соблюдается при условии, что сумма мощностей источников, работающих в режиме генераторов, равна сумме мощностей источников, работающих в режиме потребителей, и потерям мощностей на всех сопротивлениях цепи, включая внутренние сопротивления источников:

48 Вт = 48 Вт.

Пример 2.

Рассчитать и построить потенциальную диаграмму для электрической цепи постоянного тока (рис. 1.19, а), если дано: ЭДС источников питания Е₁ = 16 В; Е₂ = 14 В, внутреннее сопротивление R₀₁ = 3 Ом; R₀₂ = 2 Ом, сопротивления резисторов R₁ = 20 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 10 Ом. Определить положение движка потенциометра, в котором вольтметр V покажет нуль, составить баланс мощностей для цепи. Как повлияет на вид потенциальной диаграммы выбор другой точки с нулевым потенциалом?

б)

Рис. 1.19.

 

Решение. Ток в цепи определяют по уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа, приведенному к виду:

Потенциальную диаграмму строят в прямоугольной системе координат. При этом по оси абсцисс откладывают в соответствующем масштабе сопротивления всех участков цепи, а по оси ординат - потенциалы соответствующих точек. При построении потенциальной диаграммы одна из точек цепи условно заземляется, т. е. принимается, что потенциал ее φ = 0. На диаграмме эта точка помещается в начале координат.

В соответствии с условием задачи определяют потенциалы точек 1 - 5 электрической цепи, при этом принимают потенциал φ₁ точки 1 цепи равным нулю.

Потенциал φ₂ точки 2 находят из выражения, записанного по второму закону Кирхгофа для участка 1 - 2 цепи:

откуда .

Координаты точки 2: R = 20 Ом; φ₂ = -12 В.

По второму закону Кирхгофа для участка цепи 1 - 3 справедливо уравнение:

,

откуда потенциал точки 3 цепи: .

Координаты точки 3 цепи: R = 20 + 3 = 23 Ом; φ₃ = 2,2 В. Аналогично определяют потенциал точки 4 цепи:

,

откуда .

Координаты точки 4 цепи: R = 23 + 15 = 38 Ом; φ₄ = - 6,8В.

Потенциал φ₅ точки 5 цепи находят из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для участка 4 - 5 цепи:

,

откуда .

Координаты точки 5 цепи: R = 38 + 2 = 40 Ом; φ₅ = 6 В. Потенциал φ₁ точки 1 цепи находят из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для участка 4 - 5 цепи: ; . Координаты точки 1 цепи: R = 40 + 10 = 50 Ом; φ₁ = 0.

Для рассматриваемой электрической цепи по результатам расчетов на рис. 1.19, б приведена потенциальная диаграмма.

Из этой диаграммы следует, что положение движка потенциометра в точке 6 цепи соответствует показанию вольтметра, равному нулю, так как потенциалы точек 1 и 6 цепи равны.

При выборе другой точки электрической цепи с нулевым потенциалом разности потенциалов на соответствующих участках цепи не изменяются, так как они определяются величиной тока и величиной сопротивления. Если принять потенциал точки 3 цепи φ₃ = 0, то ось абсцисс переместится в точку 3 потенциальной диаграммы (пунктирная линия), т. е. потенциалы всех точек цепи уменьшаются на величину потенциала φ, равного отрезку 0 К = 2,3 В.

Баланс мощностей соответствует следующему уравнению:

;

16 ∙ 0,6 + 14 ∙ 0,6 = 0,6²(20 + 3 + 15 + 2 + 10).

18 Вт = 18 Вт.

 

Пример 3.

Составить схему электрической цепи постоянного тока исходя из данных потенциальной диаграммы, приведенной на рис. 1.20,а.

Решение. Построение электрической цепи целесообразно начать с точки 1, которая совпадает с началом координат и, следовательно, имеет потенциал φ = 0 (точка заземлена).

Так как на потенциальной диаграмме сопротивления отдельных участков цепи откладываются в определенном масштабе по оси абсцисс, а по оси ординат - потенциалы, то каждой точке цепи соответствует точка на потенциальной диаграмме.

Из приведенной потенциальной диаграммы следует, что при переходе от точки 1 к точке 2 цепи потенциал линейно возрастает. При этом тангенс угла α₁ наклона прямой 0 - 2 к оси абсцисс пропорционален потенциалу точки 2. Следовательно, согласно диаграмме, на участке цепи 1 - 2 должен быть включен резистор с сопротивлением R₁ = 2 Ом.

Так как при переходе от точки 1 к точке 2 цепи потенциал увеличивается, то ток цепи направлен от точки 2 к точке 1 цепи:

, где .

На участке 2 - 3 диаграммы потенциал растет скачком. Это свидетельствует о том, что между соответствующими точками цепи включен источник ЭДС, направление которой встречно току (источник работает в режиме потребителя электроэнергии).

Согласно потенциальной диаграмме ЭДС, Е₂₃ = 40 В.

На участке 3 - 4 цепи, согласно диаграмме, должен быть включен резистор, имеющий сопротивление R₂ = 1 Ом. На этом участке . При этом .

На участке 4 - 5 цепи, согласно диаграмме, должен быть включен источник ЭДС Е₄₅ =75 В. Так как при переходе от точки 4 к точке 5 цепи потенциал понижается, то ЭДС должна быть направлена от точки 5 к точке 4 цепи.

На участке 5 - 6 цепи потенциал повышается на величину , поэтому здесь должен быть включен резистор с сопротивлением R₃ = 1 Ом.

На участке 6 - 7 цепи потенциал резко возрастает. Здесь, согласно диаграмме, должен быть включен источник ЭДС Е₆₇ = 45 В, который работает в схеме в режиме потребителя.

При переходе от точки 7 к точке 8 цепи потенциал возрастает на величину, равную произведению , так как здесь должен быть включен резистор с сопротивлением R₄ = 3 Ом.

На участке 8 - 9 цепи потенциал уменьшается скачком вследствие того, что источник ЭДС Е₈₉ = 55 В подключен положительным полюсом к точке 8, а отрицательным - к точке 9. В данном случае источник ЭДС Е₈₉ работает в цепи в качестве источника питания.

На участке 9 - 1 цепи потенциал повышается на величину, равную произведению . Поэтому здесь должен быть включен резистор с сопротивлением R₅ = 2 Ом.

Результаты определения потенциалов рассматриваемой электрической цепи приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Участок электрической цепи	Сопротивление участка, Ом	Потенциалы точек, В
- 1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 – 5 5 – 6 6 – 7 7 – 8 8 – 9 9 - 1	-

 

По результатам анализа представленной потенциальной диаграммы составлена схема неразветвленной электрической цепи постоянного тока (рис. 1.20, 6).

Проверка. Пользуясь вторым законом Кирхгофа, составляем уравнение электрического равновесия для полученной в результате расчета электрической цепи:

,

откуда ток в цепи

На всех участках цепи углы α одинаковы, следовательно:

или

I = 10/2 = 5/1 = 5/1 = 15/3 = 10/2 = 5А.

Уравнение баланса мощностей:

;

225 Вт = 225 Вт.

Баланс мощностей соблюдается.

а)

Рис. 1.20.

 

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ