Метод путей и минимальных сечений схем систем

Для схем произвольной конфигурации в смысле надежности возникаетзадача определения состояний работоспособности и состояний отказаотносительно узла. Элементы, входящие в такие состояния, образуют такназываемые пути и сечения схемы.

Путями схемы относительно узла (узлов) нагрузки называютсяминимальные совокупности элементов, безотказные состояния которых (влюбой из совокупностей) обеспечивают безотказное состояние схемы(передачу электроэнергии) относительно узла.

Минимальными сечениями схемы называются совокупностиминимального набора элементов, отказы которых в любой из совокупностейприводят к состоянию отказа схемы (прекращение передачи электроэнергии)относительно узла.

Иначе, путь от источника питания (ИП) до узла – это тот минимальныйнабор элементов схемы, который обеспечивает один из возможныхсамостоятельных вариантов выполнения задачи – передачи электроэнергии вузел нагрузки.Минимальные сечения – это тот минимальный набор элементов схемы,отказ которых приводит к отказу системы относительно узла, т.е. кпрекращению передачи электроэнергии.В определении путей и сечений не предусматривается ограничениепропускных способностей элементов. В схеме с последовательнымсоединением элементов имеется один путь, состоящий из совокупностиэлементов 1,2,…,n, и n сечений: (1), (2),…,(n). В схеме с параллельнымсоединением элементов имеется одно сечение (1,2,…,n) и n путей: (1),(2),…,(n). Т. о., данный подход целесообразно использовать для определениявероятностей полного отказа и полной работоспособности системы.Представим все минимальные сечения и пути схемы с последовательнымсоединением элементов в виде матриц минимальных сечений С и путей П. Ихстолбцы соответствуют элементам, строки – сечениям (путям). Если элемент i входит в сечение j, то на пересечении столбца i и строки j ставится 1, впротивном случае – 0:

Отсюда, если элемент входит в состав всех путей, то он образуетодноэлементное сечение. Если элемент входит в состав всех сечений, то онобразует путь.

Для выявления одноэлементных сечений по матрице путей достаточно выявить ее столбцы, состоящие из одних единиц (пересечение всех путей в одном элементе).

Двухэлементные сечения получаются в результате логического сложения двух любых столбцов матрицы путей (пересечение всех путей в двух элементах). Если в результате получается столбец, состоящий из одних единиц, то эти два элемента образуют двухэлементное сечение. Трехэлементные сечения получаются в результате логическогосложения трех столбцов (пересечение всех путей в трех элементах) и т.д. Вспомним правила логического сложения:

В результате подобного анализа можно по матрице путей получитьматрицу сечений.

И еще два важных для расчета надежности сложных систем вывода:

1. Если все пути схемы пересекаются в одном элементе, то этотэлемент является одноэлементным сечением.

2. Если все пути пересекаются в двух элементах, то эти элементыобразуют двухэлементные сечения.

Способ определения одно- и двухэлементных сечений, основанный напересечении путей можно получить иначе, через независимые пути схемы:

- если два независимых пути вынужденно пересекаются в одномэлементе, то он образует одноэлементное сечение.

- если две пары независимых путей вынужденно пересекаются в двухэлементах, то они образуют двухэлементное сечение.

Используя способ вынужденного пересечения независимых путей, можнорегулировать в процессе расчета количество состояний системы, выявляятолько состояния с числом отказавших элементов не более двух. Для этого достаточно найти четыре максимально независимых пути. Вынужденныепересечения двух путей выявляют одноэлементные сечения, пересечения парпутей – двухэлементные сечения.

Подводя итог, можно отметить, если в системе преобладаетпоследовательное соединение элементов, то задача более быстро решается свыделением состояния работоспособности. Если в системе много поперечныхсвязей и резервирования – то с выделением состояний отказов.

Пример. Для схемы, приведенной на рис. 16.5, без учета узловопределить все возможные минимальные сечения по матрице путей между ИП(узел а) и узлом нагрузки (узел н).

Рисунок 16.5. Исходная схема

В результате получили двухэлементное сечение (1,2). Аналогично получаем двухэлементное сечение (3,4), трехэлементныесечения (1,5,4) и (2,5,3). Первые три сечения независимые, т.к. состоят изразных элементов, последние два – зависимые, в них входит общий элемент 5. Отсюда вероятность отказа системы равна:

Если в матрицу входят узлы схемы, то сечения получаются аналогично.Матрица путей схемы, в которую входят узлы, имеет вид: