Формирование модели постепенных отказов элемента

Основной причиной постепенных отказов является старение материалов иизнос отдельных частей элементов. Они возникают вследствие теплового,вибрационного старения изоляции трансформаторов, генераторов, кабельныхлиний, коррозии металлических частей проводов, опор, оболочек кабелей,износадугогасительных устройств коммутационных аппаратов приотключении токов короткого замыкания, вследствие деформации материалов идиффузии одного материала в другой.По мере эксплуатации электротехнических изделий в изоляциипроисходят сложные физико-химические процессы старения. Изоляциястановится хрупкой, ломкой, появляются трещины, в результате чегоуменьшается ее электрическая прочность, и при случайном превышениинапряжения сверх допустимого значения происходит отказ. Аналогичныеситуации наблюдаются при коррозии и окислении металлических частейэлементов и при воздействии механических нагрузок (постепенное снижениепрочности и в случае превышения запаса прочности – отказ). Таким образом,постепенный износ отдельных частей элемента представляет собой как бынакопление элементарных повреждений в различных его частях и снижениеобщего предела прочности. После накопления определенного числаэлементарных повреждений происходит отказ элемента.Сравнивая рассматриваемую ситуацию с предыдущей, т.е. с внезапнымотказом, необходимо отметить их принципиальную разницу. Внезапный отказпроисходит при первом превышении предела прочности, а для наступленияпостепенного отказа необходимо многократное превышение допустимогопараметра, например, температуры изоляции сверх допустимого значения либомногократное отключение выключателем токов коротких замыканий.Для построения математического описания этих явлений используютпростейший поток событий в случайные моменты времени происходятединичные элементарные повреждения и при их накоплении объект отказывает.Число этих повреждений зависит лишь от продолжительности наблюдения, ноне от времени его проведения. Выберем интервал времени так, чтобы в неммогло произойти только одно элементарное повреждение (ординарностьпотока). Тогда вероятность этого повреждения равна:

а вероятность его отсутствия определится как:

Разделим интервал времени (0,t) на n равных отрезков

Так каквероятности возникновения элементарных повреждений в рассматриваемыхотрезках независимы, то вероятность появления m элементарных поврежденийна интервале времени (0,t) можно определить, используя схему независимыхиспытаний (биноминальный закон распределения):

Предел этого выражения при неограниченном увеличении числаинтервалов n →∞ и ∆ t → 0, согласно предельной теореме Муавра-Лапласа,равен

т.е. вероятность числа элементарных повреждений на интервале (0,t) зависитот длины этого интервала и распределена по закону Пуассона с параметром λ t. Объект не откажет до тех пор, пока не произойдет m или более элементарныхповреждений.Отсюда вероятность отказа определится как:

частота отказов равна:

Заменяя (m − 1)! гамма-функцией частоту отказов можно представить вследующем виде:

Это гамма-распределение безотказной работы, графическое изображениекоторого показано на рис. 7.1. Если m=1, то оно превращается в показательное,т.е. одно повреждение приводит к отказу элемента. Следовательно, внезапныйотказ является частным случаем постепенного.

Рисунок 7.1. Гамма-распределение безотказной работы

Интенсивность отказов не постоянна во времени, как при внезапномотказе, а увеличивается с течением времени и тем медленнее, чем большейпрочностью обладает элемент, то есть чем больше m:

Числовые характеристики времени безотказной работы: математическоеожидание и дисперсия соответственно равны:

С ростом m закон гамма-распределения асимптотически приближается кнормальному. И если коэффициент вариации

то в инженерныхрасчетах частота отказов описывается нормальным законом распределения:

где σ_T – среднеквадратическое значение времени безотказной работы;

Законы гамма-распределения и нормальный имеют возрастающуюинтенсивность отказов с течением времени эксплуатации, что хорошосогласуется с физической сущностью протекающих процессов износа. При рассмотрении модели постепенных отказов число элементарныхповреждений m принималось целым, в предположении, что износ происходит

дискретно. В действительности износ элемента происходит практическинепрерывно, поэтому параметры закона гамма-распределения в общем случаемогут быть и целыми, и дробными. Тогда плотность гамма-распределения иличастота отказов записывается так:

где α и β – параметры распределения, определяемые из выражений длячисловых характеристик времени безотказной работы:

Рассмотренные алгоритмы формирования времени безотказной работыэлемента в значительной степени идеализированы. В действительности налюбой элемент ЭЭС воздействуют как внезапные случайные факторы, так ифакторы, приводящие к износу или старению отдельных частей элемента.Поэтому законы распределения вероятностей, получаемые в результатеобработки статистических данных, представляют собой композициюрассмотренных выше.Если элемент подвержен внезапным отказам и в его состав входят

стареющие изнашиваемые части, то часто используют композициюпоказательного и нормального законов:

интенсивность отказов при этом будет равна:

Если среднее время до отказа из-за мгновенного повреждения меньшесреднего времени до появления отказа из-за износа, то кривая распределенияблизка к экспоненциальному закону, если же внезапные отказы очень редки,то – к нормальному.