Топография с основами геодезии. Курс лекций

Топография с основами геодезии. КУРС ЛЕКЦИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Предмет и задачи топографии и геодезии

Топография (от греч. topos – место, местность и grapho – пишу), научно-техническая дисциплина, изучающая земную поверхность и размещенные на ней объекты в геометрическом отношении, с целью изображения их на топографических картах, планах и профилях. Главной задачей топографии является – создание топографических карт и планов. Основной метод изучения земной поверхности – топографическая съемка. Топографическая съемка – это комплекс (совокупность) полевых измерений на местности и камеральных работ для создания топографических карт земной поверхности в заданном масштабе.

Термин «топография» часто принимают эквивалентным термину «геодезия», что в переводе с греческого означает землеразделение (geodaisia, ge – земля и daizo – делю на части, разделяю). С современной точки зрения, геодезия является наукой о методах изучения формы и размеров Земли, изображения ее поверхности на картах, а также о методах специальных измерений необходимых для решения инженерных, экономических и других задач. В процессе своего развития геодезия разделилась на ряд связанных между собой самостоятельных научных дисциплин – высшую геодезию, топографию, космическую геодезию, фототопографию и инженерную геодезию.

К задачам высшей геодезии относятся определение фигуры и размеров Земли, изучение гравитационного поля Земли, определение на Земле взаимного положения точек, составляющих государственную геодезическую сеть (ГГС), необходимую для изучения земной поверхности и точного ее картографирования на плоскости с учетом возникающих при этом искажений.

В 1960-х гг. начал интенсивно развиваться новый раздел высшей геодезии – космическая (спутниковая) геодезия. Задачами данной дисциплины являются исследование основных параметров и внешнего гравитационного поля Земли и других планет Солнечной системы, а также определение координат пунктов земной поверхности в геоцентрической системе координат.

Фототопография (аэрофототопография) занимается изучением методов и средств создания топографических карт и планов по фотоснимкам поверхности Земли. Аэрофототопографиятесно связана с фотограмметрией. Фотограмметрия – это научная и инженерно-техническая дисциплина, занимающаяся определением формы, размеров и положения различных объектов местности путем измерения их изображения на фотоснимках.

Инженерная геодезия, имеющая прикладное значение, представляет комплекс геодезических работ, выполняемых при изысканиях, строительстве и эксплуатации различных сооружений, а также при монтаже оборудования, при наблюдениях за вертикальными и горизонтальными смещениями инженерных сооружений.

В своей теории и практическом применении топография использует достижения целого ряда наук: математики, физики, электроники и др. Большое значение топография имеет для изучения географических дисциплин картографии, геоморфологии, почвоведения, геологии, ландшафтоведения и др.

В задачу картографии входят вопросы теории и способов изображения на плоскости частей земной поверхности (отдельных государств, материков, земного шара), а также разработка методов и процессов создания и использования различных карт.

Значение топографии для науки и практики трудно переоценить. Особенно велика роль топографии при картографировании природной среды. Описания местности не могут заменить топографических карт и планов, на которых наглядно передаются все подробности местности. Топографические карты являются необходимыми при проведении полевых экспедиционных работ и представляются незаменимыми при выполнении картометрических исследований. Созданные топографические карты являются основным материалом для составления общегеографических карт.

Большая роль принадлежит топографии и геодезии в народном хозяйстве. Геодезические измерения предшествуют многим основным видам деятельности в развитии народного хозяйства страны. Геодезические измерения производятся на поверхности Земли и в ее недрах, в приземных слоях атмосферы, в океанах и морях.

Геодезические изыскания выполняются на стадии проектирования, строительства и реконструкции населенных пунктов, железных и шоссейных дорог, тоннелей, мостов, магистральных нефте- и газопроводов и других объектов, а также для наблюдений за сдвигом и осадкой крупных сооружений.

Огромное значение геодезические работы имеют в сельском хозяйстве, с которым геодезия связана с древних времен. Проведение землеустроительных работ, направленных на рациональное использование земельных ресурсов, учет сельскохозяйственных земель и их качества, строительство гидромелиоративных и гидротехнических сооружений – все это тесно связано с геодезическими измерениями.

Геологические изыскания начинаются и заканчиваются с использованием геодезических материалов и измерений. Строительство метро, шахт и карьеров невозможно без проведения геодезических работ, которые выполняют горные геодезисты – маркшейдеры.

Особая роль принадлежит геодезии в вопросах обороноспособности государства. Топографические карты используются для изучения местности, при разработке военных операций и отображения на них боевой обстановки.

Единицы мер в топографии и геодезии

Совокупность единиц физических величин, принятых в государстве для измерений называется системой мер.

При производстве геодезических измерений единицей угла служит градус, равный 1/360 части окружности или 1/90 части прямого угла (1º = 60΄, 1΄= 60΄΄). Пример: 11º 07´ 56´´.

Наряду с градусной системой мер в некоторых странах употребляется десятичная или децимальная система, в которой прямой угол делят на 100 частей, называемых градами. Град делится на 100 минут или сантиград, а минута – на 100 секунд. Пример: 46^g 68^s 98^ss или 46,6898 ^g.

Значение угла может быть выражено в радианной мере. Радиан ρ – центральный угол, соответствующий длине дуге окружности, равной ее радиусу. Величина радиана – ρ = 57º 17΄ 44,8΄΄ или ρ° ≈ 57,3; ρ΄ ≈ 3438; ρ΄΄ ≈ 206 265, где ρ°, ρ΄, ρ΄΄ – число градусов, минут, секунд в радиане.

Единица длины – метр (м). За метр принята длина “архивного метра” платинового жезла, хранящегося в международном бюро мер и весов во Франции. Длина жезла была принята равной одной десятимиллионной части четверти Парижского меридиана. В 1889 г. была изготовлена 31 копия «архивного метра», две из которых были переданы в Россию. Для создания надежно воспроизводимого эталона метра в 1960 г. было решено выражать его через длину световых волн. В 1983 г. принято новое определение метра, согласно которому метр равен расстоянию, проходящему в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299 792 458 доли секунды. Кратные единицы метра –1 км = 1000 м; 1 дм = 0,1 м; 1 см = 0,01 м и 1мм = 0,001 м.

Единица площади – квадратный метр (м²). Кратные единицы – 1км² = 1 000 000 м² ; 1 см² = 0,0001 м² ; 10 000 м² = 1 га; 1 км² = 100 га.

Единица времени – секунда (s). Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего перехода между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома Цезия-133. 1^m(мин) = 60^s; 1^h (час) = 3600 ^s.

Единица температуры – градус по шкале Цельсия (°С).

Единицей массы служит килограмм (кг).Копия представляет платиново-иридиевую гирю – цилиндр диаметром и высотой 39 мм.

Единица силы – ньютон (Н). 1Н равен силе, сообщающей телу массой 1кг ускорение 1 м/сек²в направлении действия силы.

Единицей измерения давления служит паскаль (Па).Паскаль равен давлению, вызываемому силой 1Н равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1м². 1 Па= 9,87 × 10 ^–6 атм. или 7,60 × 10^–3 мм.рт.ст. Давление, равное 1013 г Па на уровне моря на широте 45° принято считать нормальным.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

 

Форма и размеры Земли

Физическая поверхность Земли представляет собой сочетание бесконечно большого числа неровностей. Она состоит из океанов, морей и материков с островами. Поверхность океанов в их спокойном состоянии ровная, а суша, составляющая только 29 % от общей площади Земли, представляет собой сложные сочетания гор, возвышенностей, равнин и низменностей. Поэтому поверхность Земли не имеет математического выражения, хотя для решения задач науки и практики требуется знать пространственное положение ее точек. Устанавливать их удобно относительно вспомогательной поверхности, близкой к реальной (физической) поверхности Земли. Такую поверхность называют поверхностью относимости, за которую принимается основная уровенная поверхность Земли, в каждой точке которой нормаль совпадает с направлением отвесной линии (с направлением силы тяжести). Это поверхность воды океанов и открытых морей, находящаяся в спокойном состоянии и мысленно продолженная под материками так, что к ней отвесные линии перпендикулярны во всех точках на Земле. Выбор поверхности воды океанов и морей за уровенную поверхность Земли, объясняется тем, что поверхность открытых водных пространств занимает 71 % общей площади Земли.

В 1873 г. немецкий физик И. Б. Листинг назвал эту поверхность поверхностью геоида. Однако и фигура геоида сложна и строго неопределима, поскольку зависит от малоизученного распределения масс внутри Земли. Поэтому поверхность геоида не соответствует поверхности ни одной правильной математической фигуры, что не позволяет проводить расчеты, связанные с обработкой геодезических измерений на земной поверхности.

По предложению ученого М. С. Молоденского вместо геоида в качестве промежуточной поверхности относимости используется квазигеоид, выполняющий роль «уровня моря». Положение его поверхности рассчитывается на основе гравиметрических измерений (см. 2.2). Поверхности квазигеоида и геоида совпадают с поверхностью Мирового океана и различаются по высоте на суше не более чем на 2,5 м.

Геоид и квазигеоид по форме близко подходят к правильной математической фигуре – эллипсоиду вращения. Поэтому в качестве основной уровенной поверхности при обработке геодезических измерений, выполняемых на земной поверхности принята поверхность эллипсоида вращения, представляющего собой фигуру, полученную в результате вращения эллипса вокруг его малой оси (земной) эллипсоид.

Угол между отвесной линией pq к поверхности геоида в данной точке и нормалью mn к поверхности эллипсоида называется уклонением отвесной линии e (рис. 2.1). В среднем, значение e составляет 3–4″, а в местах аномалий достигает десятков секунд.

 

 

Рис. 2.1

 

Земной эллипсоид характеризуется следующими основными элементами (рис. 2.2.): малой полуосью (полярный радиус) , которая совпадает с осью вращения Земли; большой полуосью (экваториальный радиус) , которая перпендикулярна оси вращения Земли и полярным сжатием .

Элементы земного эллипсоида, рассчитан–ные Деламбром (1800), Бесселем (1841), Хейфордом (1909) и другими учеными неоди–наковы, так как вычислены по геодезическим измерениям разных по протяженности дуг ме–ридианов и параллелей.

Земной эллипсоид, принятый для обработки геодезических измерений и установления единой государственной системы координат называется референц-эллипсоидом.

На территории СССР пользовались эллипсоидом Ф. В. Бесселя до 1946 г. Однако этот эллипсоид был рассчитан в основном по данным Западной Европы. На Дальнем Востоке его поверхность сильно уклонялась от поверхности Земли.

Более точные результаты размеров земного эллипсоида были получены в 1940 г.Ф. Н. Красовским и А. А. Изотовым по результатам астрономо-геодезических работ, выполненных на территории СССР, Западной Европы и США. Размеры земного эллипсоида, получившего название «референц-эллипсоида Красовского», были приняты для геодезических и картографических работ на всей территории СССР. Отклонения поверхности референц-эллипсоида Красовского от поверхности геоида не превышают 150 м. Точкой ориентирования референц-эллипсоида Красовского является центр круглого зала Пулковской обсерватории, широта В₀ и долгота L₀ которого определены из астрономических наблюдений и приняты исходными, а поверхность эллипсоида совмещена со средним уровнем воды в Финском заливе и отмечена на Кронштадском футштоке.

В настоящее время основные геометрические параметры общеземного эллипсоида определяются более точными методами с использованием искусственных спутников Земли. Для сравнения в табл. 2.1 приведены размеры земного эллипсоида, определенные Бесселем, Красовским и в глобальной геоцентрической системе координат WGS – 84 (World Geodetic System 1984).

Таблица 2.1.

Размеры земного эллипсоида

Автор	Годы	Размеры земного эллипсоида
а, м	b, м	a
Бессель		6 377 397	6 356 079	1:299,15
Красовский		6 378 245	6 356 863	1:298,3
WGS - 84		6 378 137	6 356 752	1: 298,257

 

При картографических работах (составление карт мелких масштабов) Землю достаточно принимать за шар, объем которого равен объему земного сфероида. Исходя из размеров эллипсоида Красовского R = 6 371 110 м.

 

2.2. Методы определения формы и размеров Земли

Астрономо-геодезический метод. Определение формы и размеров Земли при помощи этого метода основано на использовании градусных измерений, суть которых сводится к определению линейной величины дуг меридианов и параллелей на разных широтах.

Первое известное в истории определение длины земного меридиана, выполненное в античное время в Египте принадлежит Эратосфену. По его определениям длина меридианной окружности, равнялась 39 500 км, то есть очень близко к действительной величине меридиана 40 009 км. Ряд допущений, сделанных Эратосфеном, и несовершенный метод линейных измерений (расстояние определялось по длине караванного пути, измеренное в египетских стадиях (1 стадия может быть приравнена к 157,5 м) привели к приближенным результатам. Однако значение выполненных работ заключается в том, что Эратосфен впервые применил геодезический метод определения размеров Земли и получил довольно удовлетворительные для того времени результаты.

Высокая точность измерения значительных по протяженности расстояний обеспечивается методом триангуляции, который был разработан в 1615 г. голландским ученым В. Снеллиусом. Триангуляция (от лат. triangulum – треугольник) – способ определения положения опорных геодезических пунктов А, В, С,… на местности путем построения сети примыкающих друг к другу треугольников, в которых измеряются все углы, а с помощью базиса аb определяется длина выходной стороны АВ в их ряду, длины же других сторон вычисляют по координатам этих пунктов (рис. 2.3).

Рис. 2.3

 

Триангуляция являлась основным способом создания опорной геодезической сети и градусных измерений до развития и становления космического метода. Триангуляционные работы по определению длины дуг меридианов и параллелей проводились учеными разных стран (см. п. 1.2 и 2.1).

Геофизический (гравиметрический) метод. Геофизика – это наука, изучающая физические свойства Земли в целом и процессы, происходя­щие в ее геосферах. Этот метод основан на измерении величин, характе­ризующих земное поле силы тяжести, и их распределение на по­верхности Земли. Измерения потенциала силы тяжести, выполняемые на поверхности Земли, позволяют вычислять сжатие Земли с большей точностью, чем астрономо-геодезическим методом.

Преимуществом этого метода является то, что его можно использо­вать на акваториях морей и океанов, где возможности астрономо-геодезического метода ограничены. С именем французского ученого А. Клеро (1713–1765) связано применение гравиметрического метода. В 1743 г. предполагая, что Земля состоит из сфероидальных слоев с общим центром, плотность которых возрастает к центру, он получил формулу для вычисления ускорения силы тяжести в любой точке Земли:

,

где g_φ; g_э; g_n – ускорение силы тяжести, соответственно, на определяемой широте φ, на экваторе и на полюсе. Если в имеющуюся формулу подставить числовые значения g_э и g_n, полученные путем измерений, то формула примет вид: g _φ = 978, 030 (1+ 0,005302 sin² φ).

Развитие космического метода относится к периоду освоения космического пространства с помощью ИСЗ. Этот метод основан на наблюдениях за ИСЗ и определении координат в заданный момент времени. Выявление отклонений реальных орбит ИСЗ от предвычисленных, вызванных неравномерным распределением масс в земной коре, позволяет уточнить представление о гравитационном поле Земли, а, следовательно, о ее форме и размерах (см. п. 7.5).

Принимаемые за плоскость

Рассмотрим, для каких по размерам участков местности можно применять ортогональное проецирование, т. е. при которых кривизна Земли может не учитываться в процессе создания карты или плана. На рис. 2.7 изображена часть поверхности Земли в виде дуги BCD радиуса R и ее проекция PQ на плоскость PCQ, где PC = CQ.

Рис. 2.7

Для простоты рассуждений рассмотрим правую половину изображения проекции. Из рисунка видно, что с удалением от точки С разница между длиной линии на сферической поверхности CD = S ₁ и ее проекцией на плоскость CQ = S возрастает, а расстояние OD увеличивается на величину D h, характеризующую изменение высоты точки местности. Проекция кривой уровенной поверхности СD на горизонтальную плоскость CQ приводит к получению разностей Δ S = CQ – CD иΔ h = OQ – OD, которые возникают из-за влияния кривизны при проецировании сферы на плоскость.

Определим разность между длиной касательной S и длиной дуги S₁. Выразим угол a в радианах, тогда согласно рис. 2.7 получим, что S = R × tga, а S₁ = R×a. Откуда следует, что

D S = R(tga -a). (2.1)

Центральный угол a по своей величине незначителен. Поэтому при разложении tga в убывающий ряд можно ограничиться вторым членом ряда и пренебречь последующими из-за их незначительности. Тогда . Подставим это значение в формулу 2.1. В результате получим, что

. (2.2)

Из формулы S₁=R×a получим, что и заменим a в форму­ле 2.2. Окончательно найдем, что

. (2.3)

Из рис. 2.7 видно, что точка D находится на уровенной поверхности и ее высота равна нулю. Определим величину отрезка, характеризующего отклонение точки Q от уровенной поверхности. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник OCQ, откуда (R + D h) ² = S ² + R ². Упростив данное равенство, имеем . Ввиду малого значения D h в сравнении с 2R окончательно получим, что

. (2.4)

Сравнивая формулы 2.3 и 2.4 видно, что значение D h существенно больше D S. Если условно принять радиус Земли постоянным, то можно вычислить расхождения D S между длинами дуг на уровенной поверхности и их проекциями на плоскость, а также отклонения высот точек D h от их положения на поверхности сферы из-за кривизны Земли (табл. 2.2).

Таблица 2.2

S , км	DS, м	D h, м
	0,00	0,08
	0,00	1,96
	0,01	7,85
	0,07	31,39
	1,02	196,20

 

Значение величины D S возрастает незначительно. При дуге 11 км D S составляет лишь 1:1 000 000 ее длины. Относительная погрешность измерения расстояний современными приборами составляет порядка 1:1 000 000. Поэтому принято считать, что участок радиусом 11 км можно принимать за плоскость, а при определении превышений между точками местности необходимо вводить поправку D h.

 

2.5. Cистемы координат, применяемые в топографии
и геодезии

 

Координаты – это величины, определяющие положение любой точки на поверхности или в пространстве в принятой системе координат. Система координат устанавливает начальные (исходные) точки, линии или плоскости для отсчета необходимых величин – начало отсчета координат и единицы их исчисления. В топографии и геодезии наиболь­шее применение получили системы географических, прямоугольных, полярных и биполярных координат.

Географические координаты (рис. 2.8) применяются для определения положения точек поверхности Земли на эллипсоиде (шаре). В этой системе координат исходными являются плоскость начального меридиана и плос­кость экватора. Меридианом называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и ось вращения Земли. Параллелью называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и пер­пендикулярную земной оси. Параллель, плоскость которой проходит через центр эллипсоида, называется экватором. Через каждую точку, лежащую на поверхности земного шара, можно провести только один меридиан и только одну параллель.

Географические координаты – это угловые величины: долгота l и широта j.

Географической долготой l называется двугранный угол, заключенный между плоскостью данного меридиана (проходящего через точку В) и плоскостью начального меридиана. За начальный (нулевой) меридиан принят меридиан, проходящий через центр главного зала Гринвичской обсерватории в пределах г. Лондона. Для точки В долгота определяется углом l = WCD. Счет долгот ведут от начального меридиана в обе стороны – на восток и на запад. В связи с этим различают западные и восточные долготы, которые изменяются от 0° до 180°.

Географической широтой j называется угол, составленный плоскостью экватора и отвесной линией, проходящей через данную точку. Если Землю принимать за шар, то для точки В (рис. 2.8) широта j определяется углом DCB. Широты, отсчитываемые от экватора к северу, называются северными, а к югу – южными, они изменяются от 0° на экваторе до 90° на полюсах.

Географические координаты могут быть получены на основании астрономических наблюдений или геодезических измерений. В первом случае их называют астрономическими, а во втором – геодезическими (L – долгота, B – широта). При астрономических наблюдениях проецирование точек на поверхность относимости осуществляется отвесными линиями, при геодезических измерениях – нормалями. Поэтому величины астрономических и геодезических координат отличаются на величину уклонения отвесной линии.

Использование разными государствами различных референц-эллип­соидов приводит к различиям координат одних и тех же пунктов, вычисленных относительно разных исходных поверхностей. Практически это выражается в общем смещении картографического изображения относительно меридианов и параллелей на картах крупного и среднего масштабов.

Прямоугольными координатами (рис. 2.9)

называются линейные величины – абсцисса и ордината, определяющие положение точки на плоскости относительно исходных направлений.

В геодезии и топографии принята правая система прямоугольных координат. Это отличает ее от левой системы координат, используемой в математике. Исходными направления­ми служат две взаимно перпендикулярные ли­нии с началом отсчета в точке их пересечения О.

Прямая ХХ (ось абсцисс) совмещается с направлением меридиана, проходящего через начало координат, или с направлением, параллельным некоторому меридиану. Прямая YY (ось ординат) проходит через точку О перпендикулярную оси абсцисс. В такой системе положение точки на плоскости определяется кратчайшим расстоянием до нее от осей координат. Положение точки А определяется длиной перпендикуляров X_а и Y_а. Отрезок X_а называется абсциссой точки А, а Y_а – ординатой этой точки. Прямоугольные координаты обычно выражаются в метрах. Осями абсцисс и ординат участок местности в точке О делится на четыре четверти (рис. 2.9). Название четвертей определяется принятыми обозначениями стран света. Четверти нумеруются по направлению хода часовой стрелки: I – СВ; II – ЮВ; III – ЮЗ; IV – СЗ.

В табл. 2.3 показаны знаки абсцисс Х и ординат Y для точек, находящихся в разных четвертях и даны их названия.

Таблица 2.3

Угол направления, градус	Четверть	Знаки координат
Х	У
0 – 90	I – СВ	+	+
90 – 180	II – ЮВ	–	+
180 – 270	III – ЮЗ	–	–
270 - 360	IV – СЗ	+	–

 

Абсциссы точек, расположенные вверх от начала координат считаются положительными, а вниз от нее – отрицательными, ординаты точек, расположенные вправо – положительными, влево – отрицательными. Система плоских прямоугольных координат применяется на ограниченных участках земной поверхности, которые могут быть приняты за плоские.

Координаты, началом отсчета которых является какая-либо точка местности, называются полярными. В данной системе координат производится измерение углов ориентирования. На горизонтальной плоскости (рис. 2.10) через произвольно выбранную точку О, называемую полюсом, проводят прямую ОХ – полярную ось. Тогда положение любой точки, например, М будет определяться радиусом – вектором r ₁ и углом направления a₁, а точки N – соответственно r ₂ и a₂. Углы a₁ и a₂ измеряют от полярной оси по ходу часовой стрелки до радиуса-вектора. Полярная ось может располагаться произвольно или совмещаться с направлением какого-либо меридиана, проходящего через полюс О.

Система биполярных координат (рис. 2.11) представляет собой два выбранных неподвижных полюса О₁ и О₂, соединенные прямой – полярной осью. Данная система координат позволяет определить положение точки М относительно полярной оси на плоскости при помощи двух углов b₁ и b₂, двух радиусов-векторов r ₁ и r ₂ или их комбинаций. Если известны прямоугольные координаты точек О₁ и О₂, то положение точки М можно вычислить аналитическим способом (см. 7.4).

 

Рис. 2.11	Рис. 2.12

.

Высоты точек земной поверхности. Для определения положения точек физической поверхности Земли недостаточно знать только плановые координаты X, Y или l, j, необходима третья координата – высота точки Н. Высотой точки Н (рис. 2.12) называется расстояние по отвесному направлению от данной точки (А ´; В ´´) до принятой основной уровенной поверхности MN. Числовое значение высоты точки называется отметкой. Высоты, отсчитываемые от основной уровенной поверхности MN, называют абсолютными высотами (АА ´; ВВ´´), а определяемые относительно произвольно выбранной уровенной поверхности – условными высотами (В´В´´). Разность высот двух точек или расстояние по отвесному направлению между уровенными поверхностями, проходящими через две любые точки Земли называется относительной высотой (В´В´´) или превышением этих точек h.

В России, Украине, Беларуссии принята Балтийская система высот 1977 г. Счет высот ведется от уровенной поверхности, совпадающей со средним уровнем воды в Финском заливе, от нуля Кронштадского футштока.

 

2.6. Ориентирование направлений в топографии
и геодезии

 

Ориентировать линию местности – значит определить ее направление относительно другого направления принятого за исходное. В топографии и геодезии исходными направлениями для ориентирования приняты географический меридиан, магнитный меридиан и осевой меридиан геодезической зоны, которые на топографических картах соответственно обозначаются: – линией со звездочкой (ê); – линией со стрелкой (­) и линией с угольником на конце (U).

Направление географического меридиана получают из астрономических наблюдений, а направление магнитного меридиана определяет свободно подвешенная и уравновешенная магнитная стрелка. Магнитная ось стрелки в каждой точке земной поверхности совпадает с направлением магнитного меридиана этой точки.

Географическим азимутом А направления, называется горизонтальный угол А, измеренный по ходу часовой стрелки от северного направления географического меридиана, проходящего через данную точку до ориентируемой линии (рис. 2.13). По абсолютному значению азимуты изменяются от 0 до 360°. На рисунке горизонтальные углы А ₁, А ₂, А ₃, А ₄ будут географическими азимутами ориентируемых направлений О1; О2; О3; О4. Точка О – начало ориентируемых направлений; а линия СЮ – географический меридиан точки О.

 

Рис. 2.13	Рис. 2.14

 

Магнитным азимутом направления называется горизонтальный угол А _м между северным направлением магнитного меридиана и направлением данной линии, отсчитываемый по ходу часовой стрелки (рис. 2.14). Вследствие не совпадения географических и магнитных полюсов магнитный и географический меридианы в данной точке земной поверхности образуют между собой угол d, называемый склонением магнитной стрелки (рис. 2.14).

Магнитное склонение может быть восточным – положительным, если северное направление магнитного меридиана находится к востоку от географического и западным – отрицательным, если северное направление магнитного меридиана проходит к западу от географического. Зависимость между географическим и магнитным азимутами выражается формулой А = А _м + d.

Склонение магнитной стрелки изменяется в зависимости от места и времени. Различают: суточные, годовые и вековые изменения склонения. Кроме того, величина склонения изменяется под влиянием магнитных бурь, связанных с полярным сиянием, солнечной активности, землетрясений, в районах магнитных аномалий и т. д. Суточные колебания склонения магнитной стрелки не превышают 5–15¢. Вследствие этого, ориентирование по магнитному азимуту проводится лишь в тех случаях, когда не требуется большая точность.

В топографии и геодезии применяется также ориентирование направлений относительно северного направления оси абсцисс в системе прямоугольных координат. Угол, отсчитываемый от северного направления оси абсцисс или линии параллельной ему до данного направления, по ходу часовой стрелки называется дирекционным углом a (рис. 2.15). Дирекционный угол изменяется от 0⁰ до 360⁰.

Рис. 2.15	Рис. 2.16

 

Угол между географическим меридианом данной точки и северным направлением оси абсцисс (вертикальной линией координатной сетки) называется сближением меридианов g (рис. 2.15). Сближение меридианов бывает восточным со знаком плюс и западным со знаком минус. При восточном сближении меридианов, линии параллельные осевому меридиану отклоняются к востоку от географического меридиана, проходящего через эту точку, а при западном – к западу. Зависимость между географическим азимутом и дирекционным углом выражается формулой А = a + g.

Для того чтобы перейти от дирекционного угла к магнитному азимуту необходимо знать две величины – склонение магнитной стрелки и сближение меридианов. Данные об этих величинах в виде графика и текста помещаются под южной рамкой топографической карты. Магнитный азимут равен разности дирекционного угла и поправки направления А _м = a – П. Поправка направления П – это угол между магнитным меридианом и северным направлением оси абсцисс. Поправка вычисляется по формуле .

Иногда ориентирование линии выражается острыми углами – румбами r. Румбом называют острый угол, отсчитываемый от ближайшего направления меридиана (северного или южного) до данной линии (рис. 2.16). Румбы имеют значения от 0° до 90° и сопровождаются названием четверти в которой проходит линия. Румбы переводят в азимуты и дирекционные углы и наоборот (табл. 2.4).

Таблица 2.4

 

Четверть	Название четверти	Связь между азимутами и румбами
I	СВ	A1 = r1	r1 = A1
II	ЮВ	А2 = 180º - r2	r2 = 180º - А2
III	ЮЗ	А3 = 180º + r3	r3 = А3 - 180º
IV	СЗ	А4 = 360º - r4	r4 = 360º - А4

 

Зависимость между азимутами или дирекционными углами и румбами линий, расположенных в разных четвертях, устанавливают по формулам.

 

Системами координат

 

В геодезии угловые измерения выполняются в полярной системе координат, а нанесение на карту пунктов и объектов местности более точно производится по их прямоугольным координатам. Перевычисление полярных координат к прямоугольным и наоборот производится по формулам прямой и обратной геодезических задач(рис. 2.17).

Прямая геодезическая задачасостоит в том, что по известным координатам точки А (Х_А; Y_А), горизонтальному проложению S линии АВ и дирекционному углу a, вычисляют приращения координат D х; D у и координаты точки В (Х_В; Y_В). Приращениями координат D х и D у называются разности координат конечной В и начальной А точек линии АВ. Значения приращений определяются из прямоугольного треугольника АВС по заданным S и a: D х = S cos a; D у = S sin a. В зависимости от названия четверти прямоугольной системы координат приращения D х и D у имеют определенные знаки (см. табл. 2.3).

Координаты конечной точки В вычисляются по формулам: Х_В = Х_А + D х; Y_B = Y_A + D у.

Обратная геодезическая задачазаключается в том, что по известным координатам начальной точки А (Х_А; Y_А) и конечной точки В (Х_В и Y_В) определяют горизонтальное проложение S и дирекционный угол a линии АВ (рис. 2.17).

Вначале