Задача №2. Показательный закон распределения

Гистограмма распределения

Имеется наблюдаемая случайная величина X, которая имеет общее показательное распределение, с заданными параметрами a и b:

Рассчитаем аналитически числовые характеристики этой случайной величины.

Теперь найдём функцию распределения случайной величины X:

Построим графики плотности вероятностей (Рисунок 2) и функции распределения (Рисунок 3).

 

Рисунок 2 – график функции плотности вероятностей

 

Рисунок 3 – график функции распределения

 

Найдём функцию, обратную к функции распределения:

Таким образом,

Теперь пусть у нас имеется случайная величина . Тогда можно смоделировать случайную величину X как функцию от случайной величины U, обратную функции распределения случайной величины X: . Пронаблюдав эту величину n раз, мы получим выборку объёма n.

Итак, у нас имеется выборка объёма n , полученная при n наблюдениях за случайной величиной X. Требуется построить гистограмму распределения по этой выборке.

Аналогично расчетам из раздела 2.1.1 найдем выборочные максимум, минимум, количество интервалов группировки и ширину интервалов группировки. В нашем случае: , , N = 10, Полученные данные занесем в Таблицу3.

Таблица 3 - Статистический интервальный ряд

Номер интервала	Интервал
	[1.0003159; 1.8035824)		0.45	0.5602126	0.5283273
	[1.8035824; 2.606849)		0.27	0.2987800	0.30110961
	[2.606849; 3.4101155)		0.13	0.1618392	0.1715960
	[3.4101155; 4.213382)		0.075	0.0933688	0.0977933
	[4.213382; 5.0166485)		0.0575	0.0715827	0.0557328
	[5.0166485; 5.819915)		0.175	0.0217860	0.0317624
	[5.819915; 6.6231815)		0.015	0.0186738	0.0181015
	[6.6231815; 7.426448)		0.0075	0.0093369	0.0103161
	[7.426448; 8.2297145)		0.005	0.0062246	0.0058792
	[8.2297145; 9.032981]		0.0025	0.0031123	0.0033506
Σ

Подробное описание величин в таблице можно найти в пункте 2.1.1.

С помощью функции histplot() одновременно строим гистограмму выборки (Рисунок4).

 

Рисунок 4 – гистограмма выборки и график теоретической функции вероятностей

Выборочные числовые характеристики

Описание используемого метода, необходимых формул и пояснений к ним соответствуют описанию из раздела 2.1.1. Для случая общего показательного распределения:

Отклонения от теоретических характеристик составляют:

Метод моментов

У нас имеется выборка объёма n , полученная при n наблюдениях за случайной величиной X, имеющей плотность вероятностей с неизвестными параметрами , > 0. Требуется оценить значение параметров методом моментов, т.е. указать для него точечные оценки и .

Составим систему уравнений, используя найденные ранее выражения для дисперсии и математического ожидания.

,

После подсчёта получаем: . Отклонение от реальных значений составляют: .

Доверительные интервалы

Если распределение наблюдаемой случайной величины произвольное (не обязательно нормальное), то, используя асимптотическую нормальность выборочных моментов, можно показать, что при больших объемах выборки приближенными (асимптотическими) доверительными интервалами для математического ожидания и дисперсии являются:

где - выборочное среднее; - выборочная дисперсия; ; - выборочный центральный момент четвертого порядка[1].

В результате вычислений получаем: .Очевидно, как найденные ранее выборочные, так и теоретические значения параметра попадают в полученные интервалы.

Критерий Пирсона

Описание используемого метода, необходимых формул и пояснений к ним соответствуют описанию из раздела 2.1.5. Для случая общего показательного распределения составим таблицу для получившихся интервалов группировки:

Таблица 4 - Статистический интервальный ряд

Номер интервала	Интервал
	[1.0003159, 1,8035824)		0.45	0.4394059
	[1,8035824, 2.606848)		0.24	0.2561539
	[2,606848, 3,4101155)		0.13	0.13911087
	[3,4101155, 4,213382)		0.075	0.0755454
	[4,213382, 5,0166485)		0.0575	0.0410262
	[5.0166485, 5,819915)		0.0175	0.0222800
	[5,819915, 6,6231815)		0.015	0.0120995
	[6,6231815, 9.032981]		0.015	0.0120772
Σ

Подробное описание величин в таблице можно найти в пункте 2.1.5.

Найдём значение статистики: , где N – количество интервалов группировки. Получаем: . Определим порог (здесь k=2 – число неизвестных параметров распределения). Таким образом, искомый порог =15,086.

Теперь следует сравнить значение статистики и порога и сделать вывод о принятии гипотезы о законе распределения. Очевидно, что значение статистики меньше чем значение порога, следовательно, можно принять гипотезу о виде распределения.

Задача №3. Случайный вектор